Integración indefinida

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración.Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.La derivada de cualquier función constante es cero.Si se dibuja en cada punto (x, y) del plano cartesiano un pequeño segmento con pendiente f (x), se obtiene un campo vectorial como el que se representa en la figura de la derecha.La primitiva es lineal, es decir: La linealidad se puede expresar como sigue: En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar.Para probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abcisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x.La figura siguiente muestra tres áreas iguales.Se puede mostrar utilizando la periodicidad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras!(cortando y superponiendo las áreas de color).En término de primitiva, significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A.Para simplificar, se impone f(0) = 0; a es un número cualquiera del dominio de f. Entonces tenemos la relación: El área morada es la integral de f, el área amarilla es la de f -1, y la suma es el rectángulo cuyos costados miden a y f(a) (valores algebraicos).La propiedad definitoria de dichos espacios es que toda funciónPara encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral: Aquí están las principales funciones primitivas: Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2-3x).Como no se conocen primitivas de un producto, desarrollemos la expresión: x(2-3x)= 2x - 3x2.En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7.