Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de integración., especialmente en la forma de una asíntota vertical, o sini siquiera está definida, puesto que las integrales de la parte positiva y negativa deson ambas infinitas, sin embargo el límite puede existir.Estos casos corresponden a las llamadas "integrales impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.La integral puede interpretarse como: pero desde el punto de vista del análisis matemático no es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervaloPor otro lado, el uso del límite de integrales definidas en intervalos finitos es útil, aunque no sea como forma de calcular su valor.En contraste al caso anterior, no puede ser interpretada como una integral de Lebesgue, ya que Ésta es una "verdadera" integral impropia, cuyo valor está dado por Llamamos singularidades de una integral impropia a los puntos de la recta real extendida en los cuales debemos utilizar límites.Tales integrales son frecuentemente escritas en forma simbólica de igual forma que una integral definida, utilizando un infinito como límite de integración.Pero si solo se desea evaluar el límite para obtener un valor definido, tal mecanismo pudiera no resultar de ayuda.Sin embargo, para propósitos de calcular esta integral, es más conveniente tratarla como un integral impropia, i.e., evaluarla cuando el límite superior de integración es finito y entonces coger el límite ya que este límite se acerca aLa primitiva de la función que está siendo integrada es arctan x.La integral es por lo que el área bajo la curva nunca puede ser definida de forma verdadera.Considera Esta integral involucra una función con una asíntota vertical enUno puede obtener el valor de esta integral evaluándola desdeNótese que la anti-derivativa de la anterior función es la cual puede ser evaluada por sustitución directa para dar el valor El límite cuandoConsidera la diferencia en los valores de dos límites: La primera es el valor principal de Cauchy Similarmente, tenemos pero La primera es el valor principal Todos los límites anteriores son casos de la forma indeterminada ∞ − ∞.Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter mediante el cálculo de la integral impropia.Según el resultado que obtengamos sabremos si es convergente o divergente.no está definida en todo el intervalo o los extremos de integración.Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración.Por lo tanto deberemos seguir los pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge.
