Indicatriz de Dupin
En la geometría diferencial de superficies curvas en el espacio, una indicatriz es una sección cónica plana, que describe el comportamiento de la curvatura local de una superficie en un punto determinado.
[1] El término fue introducido por el matemático francés Charles Dupin a principios del siglo XIX y, por lo tanto, también se le llama indicatriz de Dupin.
[2] En un entorno suficientemente pequeño de un punto de una superficie (dada, por ejemplo, por z = f(x,y) con f dos veces continuamente diferenciable), la superficie puede aproximarse con la precisión que se desee mediante una cuádrica, es decir, generando una superficie de segundo orden de la forma z = g(x,y).
Para generar la indicatriz de Dupin, esta cuádrica osculadora es cortada por un plano paralelo y tan próximo como se desee al plano tangente, desplazado en la dirección normal a la superficie o en la dirección opuesta a ella.
Pueden producirse cuatro casos: Estos cuatro casos se suelen diferenciar utilizando las dos curvaturas principales de la superficie, teniendo en cuenta lo siguiente: El producto de las dos curvaturas principales, denominado curvatura de Gauss, es positivo en el caso de un punto elíptico y negativo en el caso de un punto hiperbólico, y en caso contrario es cero.
La indicatriz de Dupin se encuentra en el plano tangente a la superficie
en el plano tangente y que tienen una longitud igual a
es el vector del plano tangente, y
es la segunda forma fundamental de la superficie
