La identidad de Roy es un resultado importante en la microeconomía que tiene aplicaciones en la teoría del consumidor y la teoría de la empresa.
Específicamente, denota la función de utilidad indirecta como
, la función de demanda marshalliana para el bien
[1] La identidad es nombrada a partir del economista francés René Roy, quien la publicó en Econometrica en 1947.
El primer paso es considerar la identidad obtenida al sustituir la función de gasto por riqueza o ingreso
en la función de utilidad indirecta
ː Esto dice que la función de utilidad indirecta evaluada de tal manera que minimiza el costo de lograr una determinada utilidad dado un conjunto de precios (un vector
Tomando la derivada de ambos lados de esta ecuación con respecto al precio del bien
(manteniendo el nivel de utilidad constante) tiene como resultadoː Reorganizandoː con la penúltima igualdad siguiendo el lema de Shephard y la última igualdad de una propiedad básica de la demanda hicksiana (compensada).
Para facilitar la explicación, considere un caso de dos bienes.
La función de utilidad indirecta
es el maximizador (es decir, la función de demanda marshalliana para el bien 1).
Es fundamental para derivar la ecuación de Slutski.