Al cambiar los parámetros del objetivo, el teorema de la envolvente muestra que, en cierto sentido, los cambios en el optimizador del objetivo no contribuyen a la variación de la función objetivo.
( x , α ) , j = 1 , 2 , … , m
{\displaystyle g_{j}(x,\alpha ),j=1,2,\ldots ,m}
funciones diferenciables de valor real continuas en
son variables de elección y
es un parámetro, y considérese el problema de elegir
dada, tal que: La expresión lagrangiana de este problema viene dada por donde
son los multiplicadores de Lagrange.
juntos, la solución que maximiza la función objetivo f sujeta a las restricciones (y por lo tanto son puntos de silla del lagrangiano), y define la función de valor Entonces se formula el siguiente teorema:[2][3] Teorema: Sea
que denota el conjunto de elección, tal que el parámetro relevante sea
y la elección óptima correspondiente
, y se define su derivada como: dónde
indica la derivada parcial de
A saber, la derivada de la función de valor con respecto al parámetro es igual a la derivada parcial de la función objetivo con respecto a
manteniendo el maximizador fijo en su nivel óptimo.
Las deducciones del teorema de la envolvente tradicional usan la condición de primer orden para (1), que requiere que el conjunto de elección
tenga una estructura topológica convexa, y la función objetivo
sea diferenciable en la variable
(El argumento es que los cambios en el maximizador solo tienen un "efecto de segundo orden" en el óptimo y, por lo tanto, se pueden ignorar).
Sin embargo, en muchas aplicaciones, como el análisis de restricciones de incentivos en teoría de contratos y teoría de juegos, problemas de producción no convexos, y en la estática comparativa "monótona" o "robusta", los conjuntos de elección y las funciones objetivas generalmente carecen de las propiedades topológicas y de convexidad requeridas por los teoremas de envolvente tradicionales.