Teorema de Pascal
En el ámbito de la geometría proyectiva, el teorema de Pascal (también denominado Hexagrammum Mysticum Theorem) establece que: Si un hexágono arbitrario ABCDEF se encuentra inscrito en alguna sección cónica no degenerada, y se extienden los pares de lados opuestos hasta que se cruzan, los tres puntos OPQ en los que se intersecan se encontrarán ubicados sobre una línea recta, denominada la recta de Pascal de esta configuración.
En su configuración más clásica, el teorema se suele visualizar sobre un hexágono cíclico inscrito en una elipse (es decir, con sus vértices unidos correlativamente en el orden en que aparecen al recorrer la cónica).
Sin embargo, el teorema también se cumple sea cual sea el orden en el que se conecten los seis puntos (de acuerdo con el concepto de hexágono arbitrario que se incluye en el enunciado del teorema).
De igual manera, se cumple para cualquier cónica no degenerada (como es bien sabido, circunferencia, elipse, parábola o hipérbola).
Por ejemplo, en la segunda imagen se representa la materialización del teorema en un hexágono autointersecante inscrito en una elipse, en el que los puntos de la recta de Pascal resultan del corte de los propios lados del polígono, sin necesidad de prolongarlos.
Así mismo, también se cumple en el caso de "hexágonos degenerados", en los que varios vértices pueden ser coincidentes entre sí (es decir, con lados de longitud cero), en la práctica polígonos de 5, 4 o 3 lados.
En estos casos, los lados se sustituyen por tangentes a la cónica en los puntos dados.
El teorema de Pascal fue descubierto por Blaise Pascal, a quien debe su nombre, en 1639, cuando solamente tenía dieciséis años.
Heurísticamente, se puede ver este teorema como una generalización del teorema del hexágono de Pappus, que afirma lo mismo para un par de rectas (una cónica degenerada) y, por tanto, sería un caso límite del teorema de Pascal.
Sin embargo, la demostración de este último, como se puede leer más adelante, usa la no degeneración de la cónica.
Por tanto, en realidad el teorema de Pappus no se puede demostrar como consecuencia del teorema de Pascal.
En la figura (Teoremas de Pascal-Brianchon) puede verse una demostración del teorema utilizando el concepto de inversión y la propiedad de que una figura es una recta si y solo si su inversa es una circunferencia que pasa por el centro de inversión.
El teorema fue generalizado por Möbius en 1847, en la siguiente forma: si un polígono con 4n + 2 lados se encuentra inscrito en una sección cónica, y se prolongan los pares de lados opuestos hasta que se intersecan en 2n + 1 puntos.
Entonces si 2n puntos se encuentran sobre una línea común, el punto remanente también se encontrará ubicado sobre dicha línea.
El recíproco del teorema también es cierto, es decir, si un hexágono es tal que sus lados opuestos se cortan en puntos alineados, entonces está inscrito en una cónica.
las intersecciones de sus lados opuestos.
A partir del recíproco del teorema de Steiner de generación de cónicas se demuestra que se puede definir la razón doble de cuatro puntos
{\displaystyle P,Q,R,S}
sobre una cónica tomando un cuarto punto
sobre la misma y calculando la razón doble de las rectas
{\displaystyle PM,QM,RM,SM}
Esto se puede demostrar usando que las perspectividades conservan la razón doble.
Vamos a explotar los resultados anteriores, junto que las perspectividades conservan la razón doble, para demostrar el teorema.
(las intersecciones no etiquetadas de las rectas grises del dibujo).
{\displaystyle (B,A,C,E)={\begin{cases}{\overset {{\text{fijando }}F}{=}}(FB,FA,FC,FE){\overset {{\text{cortando con }}BC}{=}}(B,G,C,Q)\\{\overset {{\text{fijando }}D}{=}}(DB,DA,DC,DE){\overset {{\text{cortando con }}AB}{=}}(B,A,H,O)\end{cases}}\quad (*)}
{\displaystyle B\mapsto B,\quad G\mapsto A,\quad C\mapsto H,\quad Q\mapsto f(Q)}
, un cierto punto (queremos ver que es
En efecto, como las perspectividades son proyectividades y, en particular, conservan la razón doble, tenemos que
, cualquier punto y su imagen deben estar alineados con
En particular, en este caso tenemos que
