Es análoga a la famosa función zeta de Riemann.
es el conjunto de los números primos.
Para toda superficie hiperbólica de área finita existe una función zeta de Selberg asociada; esta función es una función meromórfica definida en el plano complejo.
La función zeta se define a través de las geodésicas cerradas de la superficie.
Los ceros y polos de la función zeta de Selberg, Z(s), pueden ser descritas mediante los datos espectrales de la superficie.
Los ceros se encuentran en los siguientes puntos: La función zeta también tiene polos en
, y puede tener ceros o polos en los puntos
Para este caso en especial la función zeta de Selberg esta íntimamente conectada con la función zeta de Riemann.
En este caso la matriz de scattering está expresada por:
En particular, se ve que si la función zeta de Riemann tiene un cero en
, entonces la matriz de scattering tiene un polo en
, y por lo tanto la función zeta de Selberg tiene un cero en