Función zeta de Igusa

En matemáticas, una función zeta de Igusa es un tipo de función generadora, que cuenta el número de soluciones de una ecuación, módulo p, p2, p3, y así sucesivamente Para un número primoun cuerpo p-ádico, es decir{\displaystyle [K:\mathbb {Q} _{p}]<\infty }el anillo de valuación yexpresa la valuación deuna función Schwartz-Bruhat, es decir una función constante local con soporte compacto y seaEn este caso se asocia un polinomio no constantea la función zeta de Igusa donde{\displaystyle s\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (s)>0,}d xes una medida de Haar normalizada de forma tal queposee una medida unitaria.Junichi Igusa demostró que( s , χ )es una función racional enLa demostración utiliza el teorema de Heisuke Hironaka sobre la resolución de singularidades.Sin embargo, se sabe muy poco, en cuanto a fórmulas explícitas.(Existen algunos resultados sobre las funciones zeta de Igusa de variedades de Fermat.)Por tanto, seala función característica deel número de soluciones de la congruencia Entonces, la función zeta de Igusa está relacionada con la serie de Poincaré por