Función de correlación

En física estadística, la función de correlación es una medida del orden en un sistema, como se caracteriza por una función de correlación matemática.

Más específicamente, las funciones de correlación cuantifican cómo las variables microscópicas varían entre sí en promedio en el espacio y el tiempo.

Un ejemplo clásico de tales correlaciones espaciales es en los materiales ferro y antiferromagnéticos, donde los giros prefieren alinearse en paralelo y antiparalelo con sus vecinos más cercanos, respectivamente.

La correlación espacial entre los espines en dichos materiales se muestra en la figura de la derecha.

A menudo, a uno le interesa únicamente la influencia espacial de una variable aleatoria dada, digamos la dirección de un giro, en su entorno local, sin considerar los tiempos posteriores,

En este caso, descuidamos la evolución temporal del sistema, por lo que la definición anterior se vuelve a escribir con

A menudo, se omite el tiempo de referencia,

, al asumir el equilibrio (y, por lo tanto, la invariancia de tiempo del conjunto) y promediar todas las posiciones de la muestra, dando como resultado:

donde, nuevamente, la elección de si restar las variables no correlacionadas difiere entre los campos.

También podría interesarse la evolución temporal de las variables microscópicas.

En otras palabras, cómo el valor de una variable microscópica en una posición y tiempo dados,

, influye en el valor de la misma variable microscópica en un momento posterior,

Se definen de manera análoga a las funciones de correlación superiores al mismo tiempo, pero ahora descuidamos las dependencias espaciales estableciendo

La suposición anterior puede parecer no intuitiva al principio: ¿cómo puede un conjunto que es invariante en el tiempo tener una función de correlación temporal no uniforme?

Las correlaciones temporales siguen siendo relevantes para hablar en sistemas de equilibrio porque un conjunto macroscópico invariante en el tiempo aún puede tener una dinámica temporal no trivial al microscopio.

Sin embargo, si uno observa el movimiento microscópico de cada átomo, las fluctuaciones en la composición ocurren constantemente debido a los recorridos cuasialeatorios tomados por los átomos individuales.

Sin embargo, es posible definir funciones de correlación para sistemas alejados del equilibrio.

, está claro que se pueden definir las variables aleatorias utilizadas en estas funciones de correlación, como las posiciones atómicas y los giros, lejos del equilibrio.

Como tal, su producto escalar está bien definido lejos del equilibrio.

Este proceso de promediación para el sistema de no equilibrio generalmente se reemplaza al promediar el producto escalar en toda la muestra.

También se pueden definir promedios sobre estados para sistemas perturbados ligeramente desde el equilibrio.

La microscopía óptica es, por lo tanto, común para las suspensiones coloidales, especialmente en dos dimensiones.

, debe pasar continuamente de infinita a finita cuando el material se calienta a través de su temperatura crítica.

Esto se muestra en la figura de la izquierda para el caso de un material ferromagnético, con los detalles cuantitativos enumerados en la sección sobre magnetismo.

Aquí los paréntesis significan el promedio térmico mencionado anteriormente.

Se muestran diagramas esquemáticos de esta función para un material ferromagnético por debajo, a la temperatura de Curie y por encima de ella, a la izquierda Incluso en una fase desordenada magnéticamente, los giros en diferentes posiciones están correlacionados, es decir, si la distancia r es muy pequeña (en comparación con alguna escala de longitud), la interacción entre los giros hará que se correlacionen.

La alineación que naturalmente surgiría como resultado de la interacción entre giros se destruye por efectos térmicos.

A altas temperaturas, se observan correlaciones en descomposición exponencial a medida que aumenta la distancia, y la función de correlación se asigna de forma asintótica por donde r es la distancia entre los giros y d es la dimensión del sistema, y

, pero con el límite a grandes distancias es la magnetización media

Todos los exponentes mencionados son independientes de la temperatura.

Funciones esquemáticas de correlación de espín en el mismo tiempo para materiales ferromagnéticos y antiferromagnéticos tanto por encima como por debajo de versus la distancia normalizada por la longitud de correlación, . En todos los casos, las correlaciones son más fuertes cerca del origen, lo que indica que un espín tiene la mayor influencia en sus vecinos más cercanos. Todas las correlaciones decaen gradualmente a medida que aumenta la distancia desde el espín en el origen. Por encima de la temperatura de Curie, la correlación entre los espines tiende a cero a medida que la distancia entre los espines se hace muy grande. En contraste, debajo de , la correlación entre los espines no tiende a cero en grandes distancias, sino que decae a un nivel consistente con el orden de largo alcance del sistema. La diferencia en estos comportamientos de descomposición, donde las correlaciones entre las variables aleatorias microscópicas se vuelven cero frente a no cero a grandes distancias, es una forma de definir el orden de corto plazo frente a largo.
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Funciones de correlación de tiempo igual, , como una función del radio para un sistema de giro ferromagnético por encima, a y por debajo de su temperatura crítica, . Sobre , exhibe una dependencia exponencial y de ley de potencia combinada en la distancia: . La dependencia de la ley de poder domina en distancias cortas en relación con la longitud de correlación, , mientras que la dependencia exponencial domina en distancias grandes en relación con . En , la longitud de la correlación diverge, , dando como resultado únicamente un comportamiento de ley de potencia: . se distingue por la extrema no localidad de las correlaciones espaciales entre los valores microscópicos del parámetro de orden relevante sin un orden de largo alcance. Debajo de , los giros muestran una ordenación espontánea pero la longitud de la correlación finita nuevamente. Las transiciones continuas de desorden de orden pueden entenderse como el proceso de la longitud de correlación, , la transición de ser finito en el estado ordenado a baja temperatura, a infinito en el punto crítico, y luego nuevamente finita en una alta temperatura, estado desordenado.