En matemáticas, la Fórmula de Abel-Plana es una fórmula descubierta independiente por Abel (1823) y Plana (1820) en la que se expresa resultado de una serie en función de ciertas integrales.
f ( n ) =
f ( x )
d x +
f ( i y ) − f ( − i y )
Esta fórmula es válida para funciones
f ( z )
que sean holomorfas en la región
{\displaystyle {\text{Re}}(z)\geq 0}
del plano complejo que satisfagan una condición de crecimiento adecuado en esta región.
Por ejemplo, es condición suficiente asumir que
f ( z )
está acotada por
en esta región para alguna constante
, aunque la fórmula sigue siendo válida para cotas mucho menos estrictas.
Por ejemplo, se puede expresar a la función zeta de Hurwitz como
ζ ( s , α ) =
( n + α
s arctan
y α
fórmula válida
En el caso particular
tenemos la función zeta de Riemann, que se puede escribir como:
ζ ( s ) =
s arctan
fórmula también válida
Abel también desarrolló la siguiente fórmula para series alternantes:
f ( i y ) − f ( − i y )
2 sinh ( π y )
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(n)={\frac {1}{2}}f(0)+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(iy)-f(-iy)}{2\sinh(\pi y)}}\,dy.}