Análisis de la respuesta temporal de un sistema
Una señal de entrada del tipo escalón (Step response) permite conocer la respuesta del sistema frente a cambios abruptos en su entrada.
Así mismo, nos da una idea del tiempo de establecimiento de la señal, es decir, cuanto se tarda el sistema en alcanzar su estado estacionario.
Otra de las características de esta señal es que producto de la discontinuidad del salto, contiene un espectro de frecuencia en una amplia banda lo cual hace que sea equivalente a aplicar al sistema una gran cantidad de señales senoidales con un intervalo de frecuencias grande.
: constante En la figura que se muestra a continuación, el escalón comienza en el tiempo t=1 (no en t=0),
Esta señal permite conocer cual es la respuesta del sistema a señales de entrada que cambian linealmente con el tiempo.
La representación matemática de la función impulso unitario, o Delta de Dirac es:
Un sistema se representa matemáticamente a través de su función de transferencia.
En el plano de laplace la expresión matemática que lo representa es:
salida del sistema y
La transformada de Laplace del impulso unitario es la unidad; es decir,
De ello, se deduce que la respuesta impulsional y la función de transferencia contienen la misma información.
Un sistema de primer orden se puede modelar por la siguiente ecuación diferencial ordinaria en el dominio de Laplace: siendo
la señal de salida, es decir, la respuesta del sistema en el tiempo a la entrada dada.
Para calcular la respuesta del sistema en el dominio del tiempo deberíamos aplicar la transformada inversa de Laplace a la expresión recién hallada en el dominio de Laplace.
Al hacerlo se observa que la constante
es la ganancia de estado estacionario, la cual nos entrega el valor que toma la respuesta del sistema para un tiempo tendiendo a infinito, y que la constante
es la constante de tiempo del sistema de primer orden, que es el tiempo en el cual el sistema alcanza un 63,21% del valor en estado estacionario.
Se puede observar que este tipo de sistemas tiene un polo en
Donde L es el tiempo en que tarda en reaccionar el sistema desde el momento en que se aplica el escalón.
Un sistema de segundo orden tiene como función de transferencia a la siguiente ecuación: Donde:
frecuencia natural de oscilación ,
coeficiente de amortiguamiento y
La ganancia de estado estacionario corresponde al valor constante que toma el sistema para un tiempo muy grande.
Puede ser calculada a través del teorema final del límite de la función de transferencia
Para un sistema de segundo orden los polos se expresan como: Dependiendo del valor
, los sistemas de segundo orden presentan distintos comportamientos.
(curva de color azul) las oscilaciones continuarán indefinidamente.
se obtiene un decaimiento más rápido de las oscilaciones, pero con un ascenso más lento de la respuesta (La curva en verde tiene un valor
, el sistema se torna críticamente amortiguado a tal punto que desaparecen las oscilaciones (Ver curva rosada).
En la teoría de control, la caracterización de la respuesta temporal de un sistema se suele hacer mediante lo que se conoce como especificaciones del sistema.
