De esa forma se tiene que siendo
el vector velocidad del flujo que tiene componentes
denotando las componentes del vector de coordenadas
denota la parte fluctuante (turbulencia) de la velocidad.
Consideramos un fluido homogéneo, cuya densidad ρ se toma como constante.
Para ilustrar, se utiliza la notación de índice vectorial cartesiano.
en función de la posición y el tiempo, escribir la velocidad media del fluido como
Se encuentra que al promediar las ecuaciones de fluidos, aparece una tensión en el lado derecho de la forma
Esta es la tensión de Reynolds, convencionalmente escrita
La divergencia de esta tensión es la densidad de fuerza sobre el fluido debida a las fluctuaciones turbulentas.
Por ejemplo, para un fluido incompresible, viscoso, newtoniano, las ecuaciones de continuidad y momento -las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes- pueden escribirse (de forma no conservativa) como y donde
es la derivada lagrangiana, Definiendo las variables de flujo anteriores con una componente promediada en el tiempo y una componente fluctuante, las ecuaciones de continuidad y de momento se convierten en y Examinando uno de los términos del lado izquierdo de la ecuación del momento, se observa que donde el último término del lado derecho desaparece como resultado de la ecuación de continuidad.
Hay que emplear las reglas de promediación del conjunto, teniendo en cuenta que la media de productos de cantidades fluctuantes no desaparecerá en general.
Después de promediar, las ecuaciones de continuidad y de momento se convierten en y Usando la regla del producto en uno de los términos del lado izquierdo, se revela que donde el último término del lado derecho desaparece como resultado de la ecuación de continuidad promediada.
, se recogen con los términos de tensión viscosa normal y cortante,
s t o r a g e
a d v e c t i o n
s h e a r
p r e s s u r e − s c r a m b l i n g
t e r m s
es la viscosidad cinemática, y el último término
, se obtiene la energía cinética de la turbulencia.
Esta cuestión ha sido objeto de un intenso trabajo de modelización e interés durante aproximadamente el último siglo.
Se puede encontrar una ecuación de transporte para la tensión de Reynolds tomando el producto exterior de las ecuaciones del fluido para la velocidad fluctuante, consigo misma.
Se encuentra que la ecuación de transporte para la tensión de Reynolds incluye términos con correlaciones de orden superior (específicamente, la triple correlación
), así como correlaciones con fluctuaciones de presión (es decir, el momento transportado por las ondas sonoras).
Una solución común es modelizar estos términos mediante simples prescripciones ad hoc.
Así, por analogía, a veces se considera que la tensión de Reynolds consta de una parte de presión isotrópica, denominada presión turbulenta, y una parte no diagonal que puede considerarse una viscosidad turbulenta efectiva.
Típicamente, la media se define formalmente como una media de conjunto como en la teoría de la Colectividad estadística.
Nótese que, aunque formalmente la conexión entre tales promedios está justificada en Mecánica estadística por la Teoría ergódica, la mecánica estadística de la turbulencia hidrodinámica está actualmente lejos de ser comprendida.