Ruido de cuantificación

Una vez cuantificadas las muestras podrán ser codificadas ya que siempre se podrá establecer una correspondencia biunívoca entre cada nivel de cuantificación y un número entero.

Sin embargo, discretizar una señal en su otra dimensión (el tiempo) mediante el proceso de muestreo, no es irreversible tal y como demuestra el teorema de muestreo y si se cumplen los criterios que impone el propio teorema debido a la naturaleza periódica y, por tanto, determinista de las señales que se someten a este proceso y a la limitación del ancho de banda (límite superior a la frecuencia de los componentes que componen la señal periódica).

En este caso es posible referirse al error de cuantificación como un ruido blanco uniforme.

en la señal deseada se puede cuantificar evaluando la relación (potencia) señal a ruido de cuantificación (SQNR), que se puede expresar en escala logarítmica (en decibelios o dB) como donde

Sin embargo, se mantienen cuando el tamaño del escalón de cuantificación es pequeño en relación con la señal y la secuencia

el número de bits que caracteriza al cuantificador, podemos sustituir en la ecuación antes mencionada del cálculo de la relación SNQR (resultado expresado en dB): En ocasiones se describe esta relación sin la constante "1,761".

Si la señal de referencia (máxima) no fuera una sinusoidal pura, este valor solo sería una aproximación.

La relación SQNR aquí mostrada contempla un ruido que se extiende por toda la banda de Nyquist.

Si el error de cuantificación se mantiene uniforme en el rango (-Δ/2, Δ/2), el valor medio

y la señal sinusoidal máxima para un número determinado de bits

mediante: La relación SQNR aquí mostrada contempla un ruido que se extiende por toda la banda de Nyquist.

El error de cuantificación no siempre cumple, ni por aproximación, con las propiedades estadísticas que caracterizan a una señal aleatoria, esto es, no siempre puede ser descrito como un ruido.

Un ruido blanco de espectro uniforme debe mostrar, al menos, una buena aproximación a las siguientes propiedades estadísticas: Cuando el error de cuantificación ni siquiera se aproxima a estos supuestos estadísticos, el error no debe ser considerado ruido, sino distorsión.

Esto es especialmente notable cuando se cumple al menos una de las tres condiciones relativas a la señal y su relación con el muestreo y la cuantificación: Cuando se da alguna de estas condiciones, si bien no se alteran los valores generales de potencia del error en todo su espectro (y, por tanto, de la relación total SQNR), ésta se concentra en armónicos cuya intensidad excede ampliamente el nivel del ruido cuando este puede ser considerado como tal.

Existe un modo de asegurar que el error de cuantificación se pueda considerar siempre un ruido blanco, es decir, que cumpla una buena aproximación a los tres supuestos estadísticos antes mencionados que caracterizan a este tipo de ruido: sacrificar relación señal a ruido total (SNR) añadiendo ruido analógico a la señal analógica antes del proceso de conversión A/D (véase Figura 8).

Para muchas aplicaciones este sacrificio debe ser considerado un mal necesario.

Es necesario tener presente que en muchos casos se hace innecesario añadir dither artificialmente toda vez que la señal a convertir ya incluye un ruido cuya potencia es suficiente para evitar la necesidad de añadir más, esto es, cuando la potencia del ruido de la señal iguala o supera la potencia

Pero este sobremuestreo del 10% solo tiene por objeto contemplar las limitaciones prácticas que resultan de una implantación real.

Mediante el proceso de diezmado (también descrito como submuestreo o, del inglés, downsampling), consistente en dividir la tasa de muestreo de una señal en tiempo discreto por un divisor entero (cualquier valor entero, no necesariamente diez como se podría pensar por el significado habitual del verbo diezmar), esto es, se puede deshacer el sobremuestreo sin pérdida alguna de información (siempre que solo se elimine el sobremuestreo en hasta su factor

Esto es válido incluso para relaciones señal a ruido tan bajas como las de la Figura 9, donde se hacen evidentes los 15 niveles empleados en su cuantificación.

La Figura 9, por ejemplo, debe ser interpretada como una señal perfectamente armónica (sinusoidal) cuya única limitación es la de tener una potencia que solo representa, aproximadamente, 85 veces la del ruido blanco que incorpora.

Este ruido (que equivale a la información perdida en el proceso de cuantificación y al dither añadido antes), sin embargo, no es algo exclusivo de lo digital: todas las señales analógicas lo incorporan en mayor o menor medida.

Al contrario de lo que puede parecer intuitivo (y, de hecho, es creencia extendida), emplear para este caso un cuantificador más resolutivo no resulta en una grabación más fiel: el ruido que incorpora la señal analógica es lo que limita su resolución final (el ruido analógico actúa como un intervalo de incertidumbre parecido al de la ambigüedad que introduce el cuantificador entre niveles) y cada bit que se emplee por encima de los necesarios es un bit cuyo valor será aleatorio puro (sin información/entropía máxima).

Todo cuanto se obtiene de una cuantificación con más niveles es el potencial para registrar una mayor relación señal a ruido máxima, esto es, que la potencia máxima que se puede registrar respecto al nivel del ruido sea mayor, pero no podrá en ningún caso mejorar la relación señal a ruido que ya tiene la señal analógica en origen.

Por tanto, para saber cuántos niveles de cuantificación son necesarios y suficientes, solo es necesario conocer la relación señal a ruido máxima de la señal analógica que se pretende cuantificar.

Los 98,1 dB del CD-Audio representan un límite teórico para una señal sinusoidal pura (sin dither) máxima en un cuantificador ideal de 16 bits.

[8]​ La necesidad de una cuantificación que provea una relación señal a ruido de cuantificación teórica superior a los 98,1 dB del CD-Audio para distribución final es solo un mito[9]​ audiófilo.

Asimismo, y para material musical normal, existen evidencias experimentales[10]​ que concluyen que no existen diferencias audibles entre los formatos denominados de "alta resolución" y el tradicional soporte de audio digital CD-Audio.

Y, tratándose de ruido térmico, no son previsibles avances significativos en un futuro cercano.

Un sistema o formato que declara emplear 24 bits en la cuantificación es un sistema o formato que, en el mejor de los casos, registra o almacena ruido en sus cuatro bits menos significativos: sus valores en las muestras resultan del más puro azar (y, de hecho, se emplean en el estudio de fenómenos estocásticos).

Figura 1 : Procesos de la conversión A/D.
Figura 2 : Función de transferencia del proceso de cuantificación. Un intervalo de valores de entrada (escalón de cuantificación) se corresponde con un único valor de salida. Así, por cada valor de entrada se obtiene un valor de salida y un error que, si se resta al de salida, devolvería el valor de entrada. El error es máximo cuando el valor de entrada es equidistante a sus dos niveles de cuantificación más próximos (se dice entonces que se encuentra sobre el nivel de decisión ). El error es cero cuando el valor de entrada equivale a un nivel de cuantificación y, por tanto, al nivel de salida. Se puede observar que la amplitud máxima del error es de medio escalón de cuantificación (Δ = Escalón de cuantificación) mientras la señal de entrada se encuentra dentro del rango de cuantificación.
Figura 3 : Modelo matemático del ruido de cuantificación.
Figura 4 : La línea roja corresponde con las muestras (2000 en este ejemplo para el ciclo completo por lo que produce la ilusión de ser continua) sin cuantificar (muestras de entrada al cuantificador) de una señal original sinusoidal sin dither , la verde representa esas mismas muestras de entrada cuantificadas (salida del cuantificador ideal) y la azul muestra el error de cuantificación que resulta del proceso de cuantificación. La relación señal a ruido de cuantificación (SQNR) es para este caso de solo 24,74 dB con objeto de resaltar el error de cuantificación y su forma. Dicho de otro modo, la amplitud de la sinusoidal original de entrada (línea roja) es de 7,5 niveles de cuantificación (la máxima amplitud de una sinusoidal que puede cuantificar un cuantificador por redondeo de 4 bits ya que el nivel de cuantificación de valor 0 no puede estar centrado al haber un número par de niveles totales). Con objeto de poner de manifiesto el ruido de cuantificación, a la señal de entrada sinusoidal de este ejemplo no se le ha añadido Dither (un ruido analógico que se añade intencionadamente a la señal de entrada antes de la conversión A/D). En la práctica, y como consecuencia de la lógica y habitual práctica de añadir dither (véase Ruido o distorsión: la necesidad de añadir dither ), la figura notablemente escalonada de una señal cuantificada como la ilustrada aquí adquiere el aspecto de la Figura 9 .
Figura 6 : Función de densidad de probabilidad de los valores del error de cuantificación. Se trata de una distribución uniforme continua en el rango (-Δ/2, Δ/2). Su varianza es de Δ²/12 y su desviación estándar (σ e ) está marcada en rojo.
Figura 5 : Ejemplos de ruido de cuantificación de distinta relación señal-ruido de cuantificación (SQNR) de un único ciclo de 2000 muestras correspondientes a una señal armónica (sinusoidal). De arriba abajo: 1) Línea negra: error resultante de cuantificación sobre señal original de amplitud 1,5 escalones de cuantificación ( SQNR: 10,18 dB ). 2) Línea roja: error resultante de cuantificación sobre señal original de amplitud 7,5 escalones de cuantificación ( SQNR: 24,74 dB ). 3) Línea azul: error resultante de cuantificación sobre señal original de amplitud 127,5 escalones de cuantificación ( SQNR: 49,77 dB ). Línea verde: error resultante de cuantificación sobre señal original de amplitud 32767,5 escalones de cuantificación ( SQNR: 98,19 dB ). En todos los casos, la amplitud máxima del error equivale a la mitad de un escalón de cuantificación y en las cuatro muestras de esta figura el escalón de cuantificación se muestra con idéntica amplitud.
Figura 7 : Función densidad de probabilidad de un dither triangular. La varianza es de Δ²/6 y su desviación estándar ( σ v ) está marcada en rojo.
Figura 8 : Réplica de la señal de entrada de la Figura 4 con dither analógico añadido. La amplitud del dither que se debe añadir depende del escalón de cuantificación con el que se cuantificará la señal posteriormente. En este caso, considerando que el rango total del gráfico se cuantificará posteriormente (para la Figura 9 ) con un total 16 niveles de cuantificación (4 bits), el dither aquí añadido tiene una amplitud de pico de un escalón de cuantificación: 1/16 del rango total del gráfico. Con relación a la señal de la Figura 4 , la señal sinusoidal sin dither se ha reducido en amplitud (-1,243 dB aprox.) en la medida del dither para dar cabida a la señal resultante en el rango del cuantificador. La amplitud de pico de la señal sinusoidal sin dither es de 6,5 escalones en un cuantificador de 16 niveles (4 bits), que resultará en la señal cuantificada de la Figura 9 . La relación señal a ruido (señal a dither ) es de 21,03 dB en este ejemplo, siendo la potencia de este dither igual a Δ²/6 y la de la señal igual a 169Δ²/8. La señal tiene, por tanto, unas 127 veces la potencia del dither (11,26 veces su valor eficaz -RMS-).
Figura 9 : En azul, señal con dither de la Figura 8 cuantificada con redondeo a 16 niveles (2000 muestras en todo el intervalo mostrado). También se muestra el error total [ dither + error de cuantificación ] sobre la señal sinusoidal original. La relación señal a ruido total ( dither + error de cuantificación ) es de 19,27 dB , es decir, el proceso de cuantificación ha añadido un 50% de potencia al ruido dither original al sumar su error de cuantificación. Comparada esta relación con la SQNR de la Figura 4 (considerando la atenuación de la señal en el ejemplo de las Figuras 8 y 9 ), se hace evidente que el uso de dither tiene como contrapartida un sacrificio neto de la relación señal a ruido total. La amplitud de pico máxima del ruido total es de 1,5 escalones de cuantificación y su valor eficaz (RMS) es de, exactamente, medio escalón.
Figura 10: Densidad Espectral de Potencia (DEP) del ruido de cuantificación (no se muestra señal) para dos tasas de muestreo fs2=2fs1. Es importante notar que el eje de las ordenadas no representa potencia, sino potencia por unidad de frecuencia. La potencia en este diagrama es siempre un área (en verde). La potencia total (área verde) es la misma en los dos casos a y b (A²/12) por lo que se demuestra que es independiente de la frecuencia de muestreo, pero la que resulta de una tasa de muestreo doble (b con tasa fs2) se extiende por un intervalo espectral superior con una densidad de potencia que es la mitad del caso a.
Figura 10 : Densidad Espectral de Potencia (DEP) del ruido de cuantificación (no se muestra señal) para dos tasas de muestreo f s2 =2f s1 . Es importante notar que el eje de las ordenadas no representa potencia, sino potencia por unidad de frecuencia. La potencia en este diagrama es siempre un área (en verde). La potencia total (área verde) es la misma en los dos casos a y b (A²/12) por lo que se demuestra que es independiente de la frecuencia de muestreo, pero la que resulta de una tasa de muestreo doble ( b con tasa f s2 ) se extiende por un intervalo espectral superior con una densidad de potencia que es la mitad del caso a .
Figura 11 : Si se emplea una tasa de muestreo f s y solo se tiene interés por registrar señales con frecuencias hasta f s /4 , se estará empleando un factor de sobremuestreo k=2 . Si se elimina el ruido correspondiente al espectro que no es de interés (de f s /4 a f s /2 en este ejemplo y cuya potencia está representada por el área roja) mediante un filtro pasa-bajo ideal se estará dividiendo la potencia total del ruido en un factor que será el mismo que el de sobremuestreo ( k ), en este caso, la potencia pasaría de Δ²/12 a Δ²/24. La relación señal a ruido de cuantificación máxima teórica se incrementará en este caso en 10·log(k)=10·log(2) ≈ 3,0103 dB .
Figura 12 : Modulación Delta y sus dos tipos de errores de cuantificación (en azul).
Figura 13 : Extensión de la voz y la música natural en intensidad (a distancias de escucha normales) y frecuencia.