[2] Comenzó su carrera a finales de los años 50 con el grupo Les Chaussettes Noires, tomando su nombre artístico del actor estadounidense Eddie Constantine conocido por protagonizar la película de Jean-Luc Godard, Alphaville.
Fuertemente influido por el rock and roll estadounidense, Mitchell, que comenzó su carrera en solitario en 1963, grabó frecuentemente fuera de Francia, originalmente en Londres y posteriormente en Memphis y Nashville, Tennessee.
En sus grabaciones en Estados Unidos contó con el apoyo de músicos de sesión como Roger Hawkins, David Hood, Jimmy Johnson, Kenneth Buttrey, Reggie Young, David Briggs o Charlie McCoy entre otros.
Gran amante del cine estadounidense, condujo entre 1981 y 1998 el programa de televisión La Dernière Séance, en France 3.
En 2014 fundó junto a los cantantes Johnny Hallyday y Jacques Dutronc el supergrupo Vieilles Canailles con los que inició una gira.