Las ecuaciones en diferencias y diferenciales ordinarias son herramientas versátiles de análisis.
Esto se evidencia por el hecho que dentro de las matemáticas aplicadas, las Ecuaciones Diferenciales juegan un papel muy importante en las disciplinas científicas.
En sus inicios aparece en problemas mecánicos y geométricos, posteriormente su campo de aplicación se va extendiendo a todas las ramas de la física y en los últimos años es común encontrarlas aplicadas a disciplinas tan diversas como la biología, la economía, la ingeniería, la sociología y la fisiología, entre otras.
De más reciente aparición son las Ecuaciones en Diferencias, las cuales han adquirido una importancia relevante con el creciente estudio y simulación de sistemas discretos en las diferentes disciplinas que modelan y estudian sistemas discretos como la ingeniería y la economía, dado que este tipo de modelamiento es más ajustado a la realidad.
Por otra parte es una área importante en otras carreras como Ingenierías y Economía, lo cual nos permite ver que tiene un extenso campo teórico como práctico, ele-mental en el perfeccionamiento de dichas carreras, con lo cual podemos observar que es de gran interés el estudio de las Ecuaciones en Diferencias, ya que sería de gran apoyo a estas el poder encontrar artículos básicamente enfocados a las Ecuaciones en Diferencias.
“Desde hace por lo menos 3.500 años, se resuelven problemas que dan lugar a ecuaciones.
Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma: x + ax = b x + ax + bx = 0 donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha o montón, por montón eran conocidos los números enteros.
Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhid responde al problema siguiente: "Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24".
En notación moderna, la ecuación sería: x + 1 / 7 x = 24 La solución la obtenían por un método que hoy conocemos con el nombre de "método de la falsa posición" o "regula falsi".
Consiste en tomar un valor concreto para la incógnita, probamos con él y si se verifica la igualdad ya tenemos la solución, si no, mediante cálculos obtendremos la solución exacta.
Generalmente, el cálculo de la solución correcta no era tan fácil como en este caso e implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias cuyo uso dominaban los egipcios.
Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al periodo 600 a. C. a 300 d. C.) casi no le prestaron atención a las ecuaciones lineales, quizás por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más los sistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.
Los primeros documentos matemáticos que existen (datan del siglo III d. C.) son los Sulvasütras, donde se recogen todos los conocimientos necesarios para construir los templos.
Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen, sin que tuvieran relación con problemas de medida.
Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos: 1/4anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 manos Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30 .
Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones.
Las ecuaciones en diferencias y diferenciales ordinarias son herramientas versátiles de análisis.
+ akf(n) = g(n), el problema de hallar una función f definida en Z, que verifique la ecuación, y tal que en los k enteros consecutivos n0, n0+1, .
- Dada una ecuación en diferencias lineal homogénea de coeficientes constantes y de orden k entonces, si una solución f es nula en k enteros consecutivos, es idénticamente nula.
Ejemplo 2 .- Hallar la ecuación en diferencias que satisface la familia de funciones: f(n)= c12n+c2
Supongamos que una determinada población de insectos con 100 individuos, duplica su número en cada generación, y que además, 10 nuevos individuos se incorporan en cada generación procedente de otro lugar.
Del enunciado se deduce, yt = 2yt−1 + 10, y0 = y(0) = 100 , lo que nos permite escribir, y1 = 2 × 100 + 10 y2 = 2(2 × 100 + 10) + 10 = 2 × 2 × 100 + 2 × 10 + 10 y3 = 2 × 2 × 2 × 100 + 2 × 2 × 10 + 2 × 10 + 10 .
Veamos en primer lugar un teorema de existencia y unicidad de solución para una ecuación en diferencias lineal homogénea de orden n. TEOREMA 4.5.2 Dada la siguiente ecuación lineal en diferencias homogénea de orden n yt+n + p1(t)yt+n−1 + · · · + pn(t)yt = 0 , y dados n números reales k0, k1, · · · , kn−1, existe una única solución, cumpliendo y0 = y(0) = k0, y1 = k1, · · · yn−1 = kn−1 .
Puede comprobarse que yt es solución de la ecuación pedida y cumple las condiciones iniciales.
cualesquiera que sean los valores de β1 y β2, por hipótesis del teorema, el sistema es compatible determinado.
Esta expresión es más complicada que la correspondiente al modelo discreto exponencial simple.
se debe remarcar que normalmente este procedimiento sobrepasa la dificultad actual y, por este motivo, se realiza un estudio del comportamiento cualitativo del modelo, verbigracia, a través de su diagrama de Cobweb.
El análisis del modelo discreto exponencial y el sentido común informa que este tipo de crecimiento no puede mantenerse durante mucho tiempo.
, entonces, el modelo que estudia la dinámica de la población viene dado por:
Supongamos que el esfuerzo para capturar un pez, de una población