Debe su nombre a Francis D. Murnaghan[1] quien propuso la ecuación en 1944 para modelizar el comportamiento del material bajo un rango de presión lo más amplio posible dando cuenta de un hecho establecido experimentalmente: cuanto más se comprime un sólido, más difícil es segur comprimiéndolo.
Involucra dos parámetros ajustables (se ajustan a partir de medidas experimentales: el módulo de incompresibilidad K0 y su primera derivada con respecto a la presión, K&primo; 0, ambos medidos a presión ambiente.
En general, estos coeficientes se determinan mediante una regresión sobre valores obtenidos experimentalmente del volumen V en función de la presión P. Estos datos experimentales pueden obtenerse por difracción de rayos X o por pruebas de impacto.
Si la reducción del volumen bajo compresión es baja, es decir, para V/V0 superior al 90%, la ecuación de Murnaghan es adecuada para modelar datos experimentales con una precisión satisfactoria.
También dio lugar a trabajos teóricos para determinar la ecuación de estado, es decir, las relaciones entre los diferentes parámetros que definen en este caso el estado de la materia: el volumen (o densidad), la temperatura y la presión.
Hay dos enfoques usados comúnmente: Docenas de ecuaciones han sido propuestas por varios autores.
[2] Estas son relaciones empíricas, la calidad y relevancia dependen del uso que se haga de ellas y pueden ser evaluadas mediante diferentes criterios: el número de parámetros independientes que usan, el significado físico que se puede asignar a estos parámetros, la calidad de los datos experimentales o la consistencia de las suposiciones teóricas que subyacen a su capacidad para extrapolar el comportamiento de los sólidos a alta compresión.
[3] Generalmente, a temperatura constante, el módulo aparente se define por:
En este caso, el volumen disminuye exponencialmente con la presión.
Para ir más allá, debemos tener en cuenta las variaciones de las propiedades elásticas del sólido con la compresión.
Sin embargo, esta presentación simplificada fue criticada por Poirier por carecer de rigor.
En algunas circunstancias, particularmente en relación con cálculos ab initio, se preferirá la expresión de la energía en función del volumen, [7] que se puede obtener integrando la ecuación anterior de acuerdo con la relación P = −dE/'dV.
[8] También sigue siendo satisfactorio ya que la relación V/'V0 se mantiene por encima del 90%.
[10] Sin embargo, otras ecuaciones pueden proporcionar mejores resultados y varios estudios teóricos y experimentales muestran que la ecuación de Murnaghan es insatisfactoria para muchos problemas.
; es constante y se establece en su valor inicial.
[10] Independientemente de este argumento teórico, la experiencia muestra claramente que K y primo; disminuye con la presión, o en otras palabras, que la segunda derivada del módulo de incompresibilidad K″ es estrictamente negativo.
Una teoría de segundo orden basada en el mismo principio (véase la siguiente sección) puede dar cuenta de esta observación, pero este enfoque sigue siendo insatisfactorio.
De hecho, esta es una contradicción inevitable sea cual sea la expansión polinómica que se elija, porque siempre habrá un término dominante que diverge hasta el infinito.
[3] Estas importantes limitaciones han llevado al abandono de la ecuación de Murnaghan, que W. Holzapfel llama "una forma matemática útil sin ninguna justificación física".
Obtenidos estos coeficientes, y conociendo el valor del volumen a las condiciones ambientales, entonces estamos en principio en condiciones de calcular el volumen, la densidad y el módulo aparente para cualquier presión.
También es posible trabajar sobre datos teóricos, calculando la energía para diferentes valores de volumen por métodos ab initio, y luego regresando estos resultados.
Esto da un valor teórico del módulo de elasticidad que se puede comparar con los resultados experimentales.
Dadas las críticas que se han hecho en la sección anterior sobre el significado físico de la ecuación de Murnaghan, estos resultados deben considerarse con cautela.
Para mejorar los modelos o evitar las críticas descritas anteriormente, se han propuesto varias generalizaciones de la ecuación de Murnaghan.
Por lo general, consisten en eliminar una suposición simplificadora y agregar otro parámetro ajustable.
Esto puede mejorar las cualidades de refinamiento, pero también conducir a expresiones complicadas.
También se plantea la cuestión del significado físico de estos parámetros adicionales.
Una posible estrategia es incluir un término adicional P2 en el desarrollo anterior, [17][18][18] requiriendo que
Se encuentra naturalmente en la ecuación de primer orden tomando
En principio, los desarrollos de un orden mayor que 2 son posibles, [19] pero a costa de añadir un parámetro ajustable para cada término.