Dominio euclídeo

En matemáticas, más concretamente en álgebra abstracta y teoría de anillos, un dominio euclídeo o anillo euclídeo (usualmente abreviado DE) es un anillo conmutativo sobre el que se puede definir una función euclidea (explicada más adelante) que permite generalizar la noción de división euclidea usual de los números enteros.Este algoritmo de Euclides generalizado se puede utilizar para los mismos fines que el algoritmo de Euclides original en el anillo de los enteros: en un dominio euclídeo se puede utilizar este algoritmo para calcular el máximo común divisor de dos elementos cualesquiera.En particular, el máximo común divisor de dos elementos siempre existe —lo cual no es en general cierto para un anillo arbitrario—, y puede ser expresado como una combinación lineal de ellos (identidad de Bezout).[1]​ Además, todo ideal de un dominio euclídeo es principal,[2]​ lo que implica que se puede generalizar el teorema fundamental de la aritmética: todo dominio euclídeo es un dominio de factorización única.de manera que (1) 2 Para dos elementos cualesquierase les denomina respectivamente cociente y resto, como en la división usual.En efecto, si en un dominio íntegro se puede definir una funciónDiversos autores se refieren a la función—que define un dominio euclídeo—, con diferentes nombres: «aplicación (o función) euclídea», «función de medida» (o de tamaño),[6]​ «grado» o «función de norma».[7]​ En algunos contextos se habla de «norma euclídea»,[8]​ si bien esta denominación puede inducir a confusión con la norma vectorial que define la distancia usual.Es importante destacar que la función de norma solamente toma valores enteros, aun cuando en algún caso particular pueda extendersea todo el conjunto de los números reales.— siempre tiene la norma más pequeña posible, es decir,Misma propiedad tienen todas las unidades del anillo: