Como médico, se interesó especialmente por la asistencia a los enfermos mentales y los problemas jurídicos que plantean.

Fue recogido y educado por un agustino hermano de su madre, Rita Zaragoza, llamado Juan.

En efecto, cursó tres años en el seminario conciliar de Valencia, pero le faltaba vocación, así que salió e hizo el bachillerato en Valencia, donde se costeó los estudios trabajando para un notario como copista.

[3]​ Después comenzó la carrera de Medicina en Valencia, pero se trasladó a Madrid en 1859 con diecisiete años y allí los terminó.

Durante sus estudios, fue influido por Pedro Mata Fontanet, quien le transmitió el interés por la psiquiatría y por los problema jurídicos planteados por los enfermos mentales, pero también estuvieron entre sus predilectos Luis Martínez y Leganés y Rafael Martínez Molina, según cuenta el historiador de la medicina española José Álvarez-Sierra.

[4]​ Sin embargo, era Esquerdo quien sustituía en las clases al doctor Mata cuando no podía asistir; es más, cuando se enteró de que Mata no tenía distrito por el que presentarse a diputado en Cortes, se las arregló para que se presentara por Villajoyosa y, en efecto, obtuvo escaño.

De esta peculiar cátedra salieron Espina, Isla, Pulido, Hergueta, Vera, Tolosa Latour, Ustáriz, San Martín y otros muchos.

En 1877 fundó un famoso sanatorio mental, el Sanatorio Esquerdo, emplazado en Carabanchel, notable por el teatro en que los internos y los cuidadores representaban obras dramáticas (por ejemplo, las del interno Eduardo Lustonó) y donde eliminó el tratamiento coercitivo extremo de los sanatorios de la época,[7]​ sustituyéndolo por una asistencia a cargo de médicos y enfermeros adecuadamente instruidos.

Sus propuestas enfatizaron la tendencia revolucionaria del republicanismo, que se proponía derribar las instituciones monárquicas mediante medios insurreccionales.

Este personaje da nombre a vías públicas de varias ciudades españolas.

En ella se relatan sus vivencias durante los viajes que realizó para estudiar al criminal Juan Díaz de Garayo.