Cada una de las imágenes resultantes de esta familia se dan como una convolución entre la imagen y el filtro gaussiano 2D isotrópico, donde el ancho del filtro aumenta con el parámetro.
Como consecuencia, la difusión anisotrópica es una transformación espacio-variante no lineal y de la imagen original.
Esta formulación se refiere a la difusión anisotrópica por Perona y Malik aunque el filtro adaptado localmente es isotrópico, pero también se ha referido a la difusión como no homogéneo y no lineal[3] o difusión de Perona-Malik[4] por otros autores.
Una formulación más general permite que el filtro adaptado localmente para ser verdaderamente anisotrópico cerca de estructuras lineales, tales como bordes o líneas: tiene una orientación dada por la estructura de tal manera que se alarga a lo largo de la estructura y estrecho que atraviesa.
[7] Como consecuencia de ello, las imágenes resultantes conservan estructuras lineales mientras que al mismo tiempo el alisamiento se realiza a lo largo de estas estructuras.
Aunque la familia de imágenes resultante puede ser descrito como una combinación entre los filtros de imagen y el espacio-variantes originales, el filtro adaptado localmente y su combinación con la imagen no tienen que realizarse en la práctica.
En consecuencia, la difusión anisotrópica es un proceso iterativo en el que se utilizan un conjunto relativamente simple de cálculo para calcular cada imagen sucesiva en la familia y este proceso se continúa hasta que se obtiene un grado suficiente de suavizado.
Pietro Perona y Jitendra Malik pionero en la idea de difusión anisotrópica en 1990 y propusieron dos funciones para el coeficiente de difusión: y la constante K controla la sensibilidad a los bordes y por lo general se elige de forma experimental o como una función del ruido en la imagen.
es una función real que veremos está íntimamente relacionado con el coeficiente de difusión.
Entonces para cualquier función de prueba infinitamente diferenciable (es decir, suave) sobre un soporte compacto
, se tiene que donde la última línea sigue de integración multidimensional por partes.
denotar el gradiente de E con respecto a la
producto interno evaluado en I, esto da Por lo tanto, las ecuaciones de descenso de gradientes en la E funcional están dadas por Por lo tanto haciendo
Modificado modelo Perona-Malik[8] (que también se conoce como la regularización de la ecuación de PM) se discutirá en esta sección.
En este enfoque, el desconocido se convoluciona con una Gaussiana dentro de la no linealidad para obtener la ecuación Perona-Malik modificado Donde
La difusión anisotrópica puede ser usado para eliminar el ruido de las imágenes digitales sin borrosidad en bordes.
Con un coeficiente de difusión constante, las ecuaciones de difusión anisotrópica reducen a la ecuación del calor que es equivalente a desenfoque gaussiano.
Esto es ideal para la eliminación de ruido, sino también desdibuja indiscriminadamente bordes demasiado.
Por lo tanto los bordes pueden conservarse mientras se quita el ruido de la imagen.
Mediante la ejecución de la difusión con un borde buscando coeficiente de difusión para un determinado número de iteraciones, la imagen se puede evolucionó hacia una imagen constante a trozos con los límites entre los componentes constantes ser detectado como bordes.