Conjunto derivado

Una biyección entre dos espacios topológicos es un homeomorfismo si y solo si el conjunto derivado de la imagen (en el segundo espacio) de cualquier subconjunto del primer espacio es la imagen del conjunto derivado de ese subconjunto.Debido a que los homeomorfismos se pueden describir enteramente en términos de conjuntos derivados, los conjuntos derivados se han utilizado como noción primitiva en topología.Un conjunto de puntos X se puede equipar con un operador * asociando subconjuntos de X a subconjuntos de X, de modo que para cualquier conjunto S y para cualquier punto a, se tiene que: Teniendo en cuenta que dado 5, 3 es equivalente a 3' (párrafo siguiente), y que 4 y 5 juntos son equivalentes a 4' (párrafo siguiente), entonces se tienen los siguientes axiomas equivalentes: Denominar un conjunto S cerrado sidefinirá una topología en el espacio en el cual * es el operador del conjunto derivado, es decir,Si también se requiere que el conjunto derivado de un conjunto que consta de un solo elemento esté vacío, el espacio resultante será un espacio T1.De hecho, 2 y 3' pueden fallar en un espacio que no sea T1.El ordinal más pequeño α tal que Xα+1 = Xα se denomina clasificación de Cantor-Bendixson.