Teorema de Ribet

Como demostraron Serre y Ribet, la conjetura de Taniyama-Shimura (cuya situación no estaba resuelta en ese momento) y la conjetura epsilon, ambas en conjunto, implican que el último teorema de Fermat es cierto.

Sea E una curva elíptica con coeficientes enteros en una forma mínima global.

En su tesis, Yves Hellegouarch define un objeto que ahora es llamado curva de Frey.

Si ℓ es un primo impar y a, b, y c son números enteros positivos tales que entonces, una curva de Frey correspondiente es una curva algebraica dada por la ecuación o, de modo equivalente Esta es una curva algebraica no singular de género uno sobre Q, que es también (como curva proyectiva, es decir, añadiéndole el punto al infinito, que por corresponder a la dirección vertical está en Q) curva elíptica sobre Q. Gerhard Frey sugirió que cualquier curva de tal naturaleza, por ser semiestable y por la forma especial de su discriminante (que resulta ser una potencia ℓ-esima) tendría demasiadas propiedades peculiares, y, en particular, no va a ser modular.

Se trata de una curva elíptica y se puede demostrar que su discriminante Δ es igual a 16(abc)2ℓ y su conductor N es el radical de abc, es decir, el producto de todos los primos distintos que dividen a abc.