Su actividad investigadora se centra principalmente en la construcción y clasificación de superficies completas mínimas inmersas en un espacio euclidiano tridimensional y, más en general, en las superficies completas inmersas en espacios de formas.
En este sentido, dichas superficies son la generalización bidimensional de las curvas geodésicas.
Las tres superficies mínimas conocidas anteriormente eran el plano, la catenoide (Euler: 1764) y el helicoide (Meusnier: 1776).
Los trabajos científicos de Costa han dado un gran impulso a la comprensión de superficies mínimas completas inmersas en el espacio euclídeo tridimensional y ha sido publicado en las principales revistas matemáticas.
A la vista del valor de estos resultados, recibió la medalla "Orden al Mérito Científico en la clase Comandante" del Ministerio de Ciencia y Tecnología en 1998.