Nacido en Bellingham (Washington), era el hijo único de Lewis y Christine Arbogast.
Después fue a Nueva York, donde escribió para dos shows, uno en el que trabajaba Tom Poston y otro de Peter Marshall.
En 1958 Arbogast colaboró con Stanley Ralph Ross para escribir e interpretar el exitoso single "Chaos, Parts 1 and 2," el cual, cuando fue lanzado por Liberty Records, vendió 10 000 copias en tres días.
Al cuarto día se prohibió la emisión radiofónica del disco, ya que satirizaba la lista de éxitos "Top 40".
Entre sus múltiples asociados televisivos y radiofónicos, Arbogast trabajó con Pat Harrington, Harry Morgan, Doris Roberts, Joan Gerber, Edie McClurg, Bob Elliot, Albert Brooks, Shelley Berman, Tim Conway, Lorenzo Music, Gene Moss y Casey Kasem.
Bob Arbogast falleció en 2009 en Fresno (California), a causa de un cáncer.