B-spline
En el subcampo matemático de análisis numérico, una B-spline o Basis spline (o traducido una línea polinómica suave básica), es una función spline que tiene el mínimo soporte con respecto a un determinado grado, suavidad y partición del dominio.
Un teorema fundamental establece que cada función spline de un determinado grado, suavidad y partición del dominio, se puede representar como una combinación lineal de B-splines del mismo grado y suavidad, y sobre la misma partición.
[1] El término B-spline fue acuñado por Isaac Jacob Schoenberg y es la abreviatura de spline básica.
[3][4] En el subcampo de la informática de diseño asistido por computadora y de gráficos por computadora, el término B-spline se refiere con frecuencia a una curva parametrizada por otras funciones spline, que se expresan como combinaciones lineales de B-splines (en el sentido matemático anterior).
Dado m valores reales ti, llamados nodos, con una B-spline de grado n es una curva paramétrica compuesta por una combinación lineal de B-splines básicas bi,n de grado n Los Pi se llaman puntos de control o puntos de Boor.
Hay m-(n+1) puntos de control que forman una envoltura convexa.
Las m-(n+1) B-splines básicas de grado n se pueden definir mediante la fórmula de recursión Cox-de Boor Cuando los nodos son equidistantes, la B-spline se dice que es uniforme, de otro modo sería no uniforme.
Si dos nodos tj son idénticos, cualquiera de las posibles formas indeterminadas 0/0 se consideran 0.
Nótese que j+n+1 no puede exceder de m-1, lo que limita tanto a j como a n. Cuando la B-spline es uniforme, las B-splines básicas para un determinado grado n son solo copias cambiadas de una a otra.
Esta definición se remonta a Schoenberg.
las B-splines cardinales normalizadas tienden a la función de Gauss.
La función base se pueda obtener del polinomio de Bernstein.
La B-spline constante es la spline más simple.
La B-spline lineal se define en dos tramos de nodo consecutivos y es continua sobre los nodos, pero no diferenciable.
La función base puede ser calculada fácilmente , y es igual para cada segmento, en este caso.
Puesto en forma de matriz, esto es:[6] Una formulación B-spline para un solo segmento puede ser escrita como: donde Si es el imo segmento B-spline y P es el conjunto de puntos de control, el segmento i y k es el índice del punto de control local.
Toda una serie de segmentos, las curvas m-2 (
Esta formulación expresa una curva B-spline como una combinación lineal de funciones B-spline básicas, de ahí el nombre.
Una B-spline no uniforme es una curva donde los intervalos entre los puntos sucesivos de control no son, o no necesariamente son, iguales (el vector de nodos de espacios de nodo interiores no son iguales).
Una forma común es donde los intervalos se reducen sucesivamente a cero, interpolando los puntos de control.
La función base puede ser fácilmente calculada, y es igual para cada segmento, en este caso.
