La votación posicional es un sistema electoral de votación clasificada en el que las opciones o candidatos reciben puntos según su posición en cada boleta y gana el que tiene más puntos en general. [1] La preferencia de menor rango en cualquier par adyacente generalmente tiene menos valor que la de mayor rango. Aunque a veces puede tener el mismo peso, nunca vale más. Se puede elegir a voluntad una progresión válida de puntos o ponderaciones ( Festival de la Canción de Eurovisión ) o puede formar una secuencia matemática como una progresión aritmética ( cuenta de Borda ), geométrica ( sistema numérico posicional ) o armónica ( Nauru/Dowdall ). método ). El conjunto de ponderaciones empleadas en una elección influye en gran medida en el orden de clasificación de los candidatos. Cuanto más pronunciada es la caída inicial de los valores de preferencia con rangos descendentes, más polarizado y menos consensual se vuelve el sistema de votación posicional.
La votación por posición debe distinguirse de la votación por puntuación : en la primera, la puntuación que cada votante otorga a cada candidato está determinada únicamente por el rango del candidato; en este último, cada votante es libre de dar cualquier puntuación a cualquier candidato.
En la votación posicional, los votantes completan una votación clasificada expresando sus preferencias en orden de clasificación. A la posición clasificatoria de cada preferencia de los votantes se le asigna una ponderación fija específica. Normalmente, cuanto mayor sea el rango de la preferencia, más puntos vale. Ocasionalmente, puede compartir la misma ponderación que una preferencia de menor rango, pero nunca vale menos puntos.
Por lo general, se requiere que cada votante exprese una preferencia ordinal única para cada opción en la boleta en estricto orden descendente. Sin embargo, un sistema de votación posicional particular puede permitir a los votantes truncar sus preferencias después de expresar una o más de ellas y dejar las opciones restantes sin clasificar y, en consecuencia, sin valor. De manera similar, algunos otros sistemas pueden limitar el número de preferencias que se pueden expresar. Por ejemplo, en el Festival de Eurovisión sólo se clasifican las diez preferencias de cada país, aunque muchas más de diez canciones compiten en el concurso. Una vez más, las preferencias no clasificadas no tienen valor. En la votación por posiciones, las papeletas clasificadas con opciones empatadas normalmente se consideran inválidas.
El proceso de conteo es sencillo. Todas las preferencias expresadas por los votantes reciben los puntos asociados con su posición en el ranking. Luego, se suman todos los puntos de cada opción y el que tenga más puntos es el ganador. Cuando, en cambio, se requieren algunos ganadores (W) después del conteo, se seleccionan las opciones W mejor clasificadas. La votación posicional no es sólo un medio para identificar a un único ganador, sino también un método para convertir conjuntos de preferencias individuales (votos clasificados) en un conjunto colectivo y completamente ordenado por rango. Es posible y legítimo que las opciones estén empatadas en este conjunto resultante; incluso en primer lugar.
Considere una elección de votación posicional para elegir un único ganador entre tres opciones A, B y C. No se permiten truncamientos ni empates y una primera, segunda y tercera preferencia valen aquí 4, 2 y 1 punto respectivamente. Hay entonces seis formas diferentes en las que cada votante puede clasificar estas opciones. Los 100 votantes emitieron sus votos clasificados de la siguiente manera:
Una vez cerrada la votación, se cuentan los puntos otorgados por los votantes y las opciones se clasifican según el total de puntos.
Por lo tanto, al tener la cuenta más alta, la opción A es la ganadora aquí. Tenga en cuenta que el resultado de las elecciones también genera una clasificación completa de todas las opciones.
Para la votación por posiciones, cualquier distribución de puntos entre las posiciones clasificadas es válida siempre que sean comunes a cada votación clasificada y se cumplan dos condiciones esenciales. [1] En primer lugar, el valor de la primera preferencia (posición de rango más alto) debe valer más que el valor de la última preferencia (posición de rango más bajo). En segundo lugar, para dos posiciones de rango adyacentes cualesquiera, la inferior no debe valer más que la superior. De hecho, para la mayoría de los sistemas electorales de votación posicional, la mayor de dos preferencias adyacentes tiene un valor mayor que la menor, por lo que satisface ambos criterios.
Sin embargo, algunos sistemas sin clasificación pueden analizarse matemáticamente como posicionales, siempre que a los vínculos implícitos se les otorgue el mismo valor de preferencia y posición de clasificación; vea abajo.
El ejemplo clásico de un sistema electoral de votación posicional es el conteo de Borda . [1] Normalmente, para una elección de un solo ganador con N candidatos, una primera preferencia vale N puntos, una segunda preferencia N - 1 puntos, una tercera preferencia N - 2 puntos y así sucesivamente hasta la última (Enésima) preferencia que es vale solo 1 punto. Así, por ejemplo, los puntos son respectivamente 4, 3, 2 y 1 para una elección de cuatro candidatos.
Matemáticamente, el valor en puntos o ponderación (w n ) asociado con una posición de clasificación determinada (n) se define a continuación; donde la ponderación de la primera preferencia es 'a' y la diferencia común es 'd'.
No es necesario que el valor de la primera preferencia sea N. A veces se establece en N - 1 para que la última preferencia valga cero. Aunque es conveniente para contar, no es necesario fijar la diferencia común en uno, ya que la clasificación general de los candidatos no se ve afectada por su valor específico. Por lo tanto, a pesar de generar conteos diferentes, cualquier valor de 'a' o 'd' para una elección de conteo de Borda resultará en clasificaciones de candidatos idénticas. [1]
Las ponderaciones consecutivas del conteo de Borda forman una progresión aritmética . En la votación posicional también se puede utilizar una secuencia matemática alternativa conocida como progresión geométrica . Aquí, en cambio, existe una relación común 'r' entre ponderaciones adyacentes. Para satisfacer las dos condiciones de validez, el valor de 'r' debe ser menor que uno, de modo que las ponderaciones disminuyan a medida que las preferencias descienden en rango. Cuando el valor de la primera preferencia es 'a', la ponderación (w n ) otorgada a una posición de clasificación determinada (n) se define a continuación.
Por ejemplo, la secuencia de ponderaciones consecutivas divididas por la mitad de 1, 1/2, 1/4, 1/8,... tal como se usa en el sistema numérico binario constituye una progresión geométrica con una proporción común de la mitad (r = 1/2 ). Tales ponderaciones son inherentemente válidas para su uso en sistemas de votación posicionales siempre que se emplee una proporción común legítima. Utilizando una proporción común de cero, esta forma de votación posicional tiene ponderaciones de 1, 0, 0, 0,... y por lo tanto produce resultados de clasificación idénticos a los de la votación por mayoría absoluta o de primero en pasar el puesto .
Alternativamente, los denominadores de las ponderaciones fraccionarias anteriores podrían formar una progresión aritmética; es decir, 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 y así sucesivamente hasta 1/N. Esta secuencia matemática adicional es un ejemplo de progresión armónica . Estas ponderaciones particulares en orden descendente de rango se utilizan de hecho en las elecciones de votación posicional de N candidatos al parlamento de Nauru . Para tales sistemas electorales, la ponderación (w n ) asignada a una posición de rango determinada (n) se define a continuación; donde el valor de la primera preferencia es 'a'.
Para el sistema de Nauru ( Dowdall ), la primera preferencia 'a' vale uno y la diferencia común 'd' entre denominadores adyacentes también vale uno. También se pueden utilizar muchas otras secuencias armónicas en la votación posicional. Por ejemplo, establecer 'a' en 1 y 'd' en 2 genera los recíprocos de todos los números impares (1, 1/3, 1/5, 1/7,...) mientras que dejar que 'a' sea 1/2 y 'd' be 1/2 produce los de todos los números pares (1/2, 1/4, 1/6, 1/8,…).
Aparte de estos tres tipos estándar de progresión matemática (aritmética, geométrica y armónica), existen innumerables otras secuencias que pueden emplearse en la votación posicional. Los dos criterios de validez solo requieren que una secuencia disminuya monótonamente con una posición de rango descendente. Tal secuencia es "estricta" cuando no hay dos ponderaciones adyacentes que tengan el mismo valor. Hay muchas secuencias de números enteros que aumentan monótonamente, por lo que al tomar el recíproco de cada número entero se genera una secuencia monótonamente decreciente. Por ejemplo, tomar el recíproco de cada número en la secuencia de Fibonacci (excepto los números iniciales 0 y 1) produce una secuencia de votación posicional válida de 1, 1/2, 1/3, 1/5, 1/8, etc.
Se necesitan fórmulas de progresión matemática para definir las ponderaciones de preferencia de un sistema electoral de votación posicional donde el número de opciones o candidatos es indefinido o ilimitado. Sin embargo, en las elecciones reales, el número de preferencias se determina antes de la votación, por lo que se puede asignar una ponderación arbitraria a cada posición en el ranking, siempre que la secuencia resultante sea válida. Un ejemplo clásico de este enfoque es el exclusivo sistema de votación posicional utilizado en el Festival de la Canción de Eurovisión . En este caso, el valor 'a' de una primera preferencia vale 12 puntos mientras que una segunda preferencia recibe 10 puntos. Las siguientes ocho preferencias consecutivas reciben 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1 punto. Todas las preferencias restantes reciben cero puntos. Aunque esta secuencia de preferencias es monótona como deben ser todas las válidas, no es "estricta", ya que todas las ponderaciones más bajas tienen el mismo valor (cero). Al igual que el sistema de Nauru, este método a veces se denomina "variante" del conteo de Borda.
En la votación posicional, las ponderaciones (w) de las preferencias consecutivas desde la primera hasta la última disminuyen monótonamente con la posición de rango (n). Sin embargo, la tasa de disminución varía según el tipo de progresión empleada. Las preferencias más bajas son más influyentes en los resultados electorales cuando la progresión elegida emplea una secuencia de ponderaciones que descienden relativamente lentamente con la posición en el rango. Cuanto más lentamente disminuyen las ponderaciones, más consensuado y menos polarizador se vuelve el voto posicional.
Esta figura ilustra dichas disminuciones en diez preferencias por los siguientes cuatro sistemas electorales de votación posicional:
Para facilitar la comparación, se han normalizado las ponderaciones reales; es decir, que la primera preferencia se establece en una y las otras ponderaciones en la secuencia particular se escalan según el mismo factor de 1/a.
La disminución relativa de las ponderaciones en cualquier progresión aritmética es constante ya que no es función de la diferencia común 'd'. En otras palabras, la diferencia relativa entre ponderaciones adyacentes se fija en 1/N. Por el contrario, el valor de 'd' en una progresión armónica sí afecta la velocidad de su declive. Cuanto mayor sea su valor, más rápido descienden las ponderaciones. Mientras que cuanto menor es el valor del ratio común 'r' para una progresión geométrica, más rápido disminuye su ponderación.
Las ponderaciones de las posiciones de los dígitos en el sistema numérico binario se eligieron aquí para resaltar un ejemplo de progresión geométrica en la votación posicional. De hecho, se pueden emplear las ponderaciones consecutivas de cualquier sistema numérico digital, ya que todas ellas constituyen progresiones geométricas. Por ejemplo, los sistemas numéricos binario, ternario, octal y decimal utilizan una base 'R' de 2, 3, 8 y 10 respectivamente. El valor 'R' es también la razón común de la progresión geométrica que sube en orden de rango, mientras que 'r' es la razón común complementaria descendente en rango. Por lo tanto, 'r' es el recíproco de 'R' y las proporciones 'r' son respectivamente 1/2, 1/3, 1/8 y 1/10 para estos sistemas numéricos posicionales cuando se emplean en votación posicional.
Como tiene la base más pequeña, la tasa de disminución de las ponderaciones de preferencias es más lenta cuando se utiliza el sistema numérico binario. Aunque la base 'R' (el número de dígitos únicos utilizados en el sistema numérico) tiene que ser un número entero, la proporción común 'r' para la votación posicional no tiene que ser el recíproco de dicho número entero. Cualquier valor entre cero y poco menos de uno es válido. Para un descenso de ponderaciones más lento que el generado utilizando el sistema numérico binario, se debe emplear una proporción común mayor que la mitad. Cuanto mayor sea el valor de 'r', más lenta será la disminución de las ponderaciones con rango descendente.
Aunque no están categorizados como sistemas electorales de votación posicional, algunos métodos sin ranking pueden analizarse matemáticamente como si lo fueran, asignando puntos apropiadamente. [1] Dada la ausencia de una clasificación monótona estricta aquí, todas las opciones favorecidas se ponderan de manera idéntica con un valor alto y todas las opciones restantes con un valor más bajo común. Por tanto, se cumplen los dos criterios de validez para una secuencia de ponderaciones.
Para una votación clasificada con N candidatos, sea F el número permitido de candidatos favorecidos por votación y las dos ponderaciones sean un punto para estos candidatos favorecidos y cero puntos para los no favorecidos. Cuando se representan analíticamente mediante votación posicional, los candidatos favorecidos deben figurar en las posiciones superiores del rango F en cualquier orden en cada boleta clasificada y los demás candidatos en las posiciones inferiores del rango NF. Esto es esencial ya que la ponderación de cada posición de rango es fija y común para todas y cada una de las papeletas en la votación por posiciones.
Los métodos de ganador único sin clasificación que pueden analizarse como sistemas electorales de votación posicional incluyen:
Y los métodos no clasificados para elecciones con múltiples ganadores (con ganadores W) incluyen:
En la votación de aprobación , los votantes son libres de favorecer a tantos o tan pocos candidatos como deseen, por lo que F no es fijo sino que varía según la clasificación individual de los votos emitidos. Como las posiciones clasificatorias tendrían diferentes ponderaciones en diferentes papeletas, la votación de aprobación no es un sistema de votación posicional; ni puede analizarse como tal.
Supongamos que Tennessee celebra elecciones sobre la ubicación de su capital . La población se concentra en cuatro ciudades principales. Todos los votantes quieren que la capital esté lo más cerca posible de ellos. Las opciones son:
Las preferencias de los votantes de cada región son:
Donde w n es la ponderación de la enésima preferencia, la siguiente tabla define el cálculo de conteo resultante para cada ciudad:
Para una primera preferencia que vale w 1 = 1, la siguiente tabla indica el valor de cada una de las cuatro ponderaciones para una variedad de diferentes sistemas de votación posicional que podrían emplearse para esta elección:
Estos cinco sistemas de votación posicional se enumeran en orden de tipo de progresión. Cuanto más lenta sea la disminución de los valores de ponderación en orden descendente, mayor será la suma de las cuatro ponderaciones; ver columna final. La pluralidad disminuye más rápido, mientras que la antipluralidad es la más lenta.
Para cada sistema de votación posicional, los recuentos para cada una de las cuatro opciones de ciudad se determinan a partir de las dos tablas anteriores y se indican a continuación:
Para cada posible sistema de votación posicional que podría usarse en esta elección, el consiguiente orden de clasificación general de las opciones se muestra a continuación:
Esta tabla resalta la importancia del tipo de progresión para determinar el resultado ganador. Con todos los votantes fuertemente a favor o en contra de Memphis, es una opción muy "polarizada", por lo que Memphis termina primero en pluralidad y último en antipluralidad. Dada su ubicación central, Nashville es la opción de "consenso" aquí. Gana bajo el conteo de Borda y los otros dos sistemas no polarizados
Como clase de sistemas de votación, la votación posicional puede evaluarse según criterios matemáticos objetivos para evaluar sus fortalezas y debilidades en comparación con otros métodos electorales de un solo ganador.
La votación posicional satisface los siguientes criterios:
Pero no cumple con los siguientes criterios:
Según el teorema de imposibilidad de Arrow , ningún sistema de votación clasificado puede satisfacer los cuatro criterios siguientes cuando se clasifican colectivamente tres o más alternativas:
Antes de que se emitan las preferencias de los votantes, los sistemas de votación que tratan a todos los votantes como iguales y a todos los candidatos como iguales pasan los dos primeros criterios anteriores. Entonces, como cualquier otro sistema de clasificación, la votación posicional no puede superar a los otros dos. Es eficiente en el sentido de Pareto pero no es independiente de alternativas irrelevantes . Este fracaso significa que la adición o eliminación de un candidato no ganador (irrelevante) puede alterar quién gana las elecciones a pesar de que las preferencias clasificadas de todos los votantes sigan siendo las mismas.
Considere una elección de votación posicional con tres candidatos A, B y C donde una primera, segunda y tercera preferencia vale 4, 2 y 1 punto respectivamente. Los 12 votantes emitieron sus votos clasificados de la siguiente manera:
Por lo tanto, el resultado electoral es:
Por lo tanto, el candidato A es el único ganador y los candidatos B y C son los dos perdedores. Como alternativa irrelevante (perdedor), el hecho de que B participe o no en el concurso no debería suponer ninguna diferencia para que A gane, siempre que el sistema de votación cumpla con el IIA.
Al volver a realizar la elección sin el candidato B y manteniendo las preferencias clasificadas correctas para A y C, las 12 papeletas ahora se emiten de la siguiente manera:
El resultado de la repetición de las elecciones es ahora:
Dado el retiro del candidato B, el ganador ahora es C y ya no A. Independientemente de los puntos específicos otorgados a las posiciones clasificatorias de las preferencias, siempre hay algunos casos en los que la adición o eliminación de una alternativa irrelevante altera el resultado de una elección. elección. Por lo tanto, la votación posicional no cumple con el AII.
La votación posicional tampoco cumple con el criterio de independencia de clones (IoC). Es muy probable que la nominación estratégica de clones afecte significativamente el resultado de una elección y, a menudo, es la intención detrás de hacerlo. Un clon es un candidato nominalmente idéntico a uno que ya se presenta y donde los votantes no pueden distinguir entre ellos a menos que se les informe cuál de los dos es el clon. Como no se permiten clasificaciones empatadas, estos dos candidatos deben ser clasificados por votantes en posiciones adyacentes. La clonación bien puede promover o degradar la clasificación colectiva de cualquier candidato no clonado.
Considere una elección de votación posicional en la que pueden competir tres candidatos. Hay sólo 12 votantes y una primera, segunda y tercera preferencia valen 4, 2 y 1 punto respectivamente.
En este primer escenario, se nominan dos candidatos A y B pero ningún clon entra al concurso. Los electores emitieron sus votos clasificados de la siguiente manera:
Por lo tanto, el resultado electoral es:
Dado el mismo apoyo, existe un empate inevitable por el primer lugar entre A y B.
Supongamos que B, anticipando este vínculo, decide introducir un clon de sí mismo. Los candidatos nominados son ahora A, B 1 y B 2 . Como los votantes no pueden distinguir entre B 1 y B 2 , es probable que clasifiquen a B 1 sobre B 2 y prefieran B 2 sobre B 1 . En este segundo escenario, los 12 votos se emiten ahora de la siguiente manera:
El nuevo resultado electoral es ahora:
Al agregar un clon de sí mismo, B le ha dado la victoria al candidato A. Este efecto contraproducente de "spoiler" o acto de autolesión se llama división de votos .
Para promocionarse al primer lugar, B debería instruir a todos sus seguidores a preferir siempre a uno de sus candidatos (digamos B 1 ) sobre el otro (B 2 ). En este tercer escenario, los 12 votos se emiten ahora de la siguiente manera:
El resultado electoral revisado es ahora:
Al señalar a sus propios partidarios -pero no a los partidarios de A- cuál de sus dos candidatos quiere ganar, el "equipo" B ha logrado su objetivo de lograr la victoria de B1 . Sin clonación, A y B empatan con igual número de primeras y segundas preferencias. La introducción del clon B 2 (una alternativa irrelevante) ha empujado las segundas preferencias por A al tercer lugar, mientras que las preferencias por el 'equipo' B (B o B 1 ) se mantienen sin cambios en el primer y tercer escenario. Este acto deliberado de 'enterrar' a A y promocionarse se llama teaming . Tenga en cuenta que si A indica a sus propios seguidores que siempre prefieran a B 2 sobre B 1 en una represalia de ojo por ojo, entonces se restablece el vínculo original entre A y el "equipo" B.
En mayor o menor medida, todos los sistemas de votación posicional son vulnerables a la formación de equipos; con la única excepción de uno de pluralidad equivalente. Como sólo las primeras preferencias tienen algún valor, el empleo de clones para "enterrar" a los oponentes en sus rangos inferiores nunca afecta los resultados electorales. Sin embargo, precisamente porque sólo las primeras preferencias tienen algún valor, la pluralidad es particularmente susceptible a la división de votos. En menor medida, muchos otros sistemas de votación posicionales también se ven afectados por candidatos 'spoilers'. Si bien es inherentemente vulnerable a la formación de equipos, el recuento de Borda es, sin embargo, invulnerable a la división de votos. [1]
Donald G. Saari ha publicado diversos trabajos que analizan matemáticamente los sistemas electorales de votación posicional. El método fundamental explorado en su análisis es el conteo de Borda.