Paradoja de los distritos múltiples

Propiedad de los sistemas electorales

Un sistema de votación satisface la consistencia de unión (también llamado criterio de refuerzo ) si la combinación de dos conjuntos de votos, ambos eligiendo a A sobre B , siempre da como resultado un electorado combinado que clasifica a A sobre B. ^[1] Es una forma más fuerte del criterio de participación . Los sistemas que no cumplen el criterio de consistencia (como la votación por orden de preferencia o los métodos Condorcet ) son susceptibles a la paradoja de distritos múltiples , que permite un tipo particularmente atroz de manipulación de distritos : es posible trazar límites de tal manera que un candidato que gane la elección general no logre ganar ni siquiera un solo distrito electoral . ^[1]

Existen tres variantes de consistencia de unión:

1. Consistencia de ganadores: si dos distritos eligen al mismo ganador A , A también gana en el distrito combinado.
2. Consistencia en la clasificación: si dos distritos clasifican un conjunto de candidatos exactamente de la misma manera, entonces el distrito combinado arroja la misma clasificación de todos los candidatos.
3. Consistencia de calificaciones: si dos distritos diferentes asignan la misma calificación general a un candidato, la calificación general del candidato debe seguir siendo la misma.

Un sistema de votación es consistente con el ganador si y sólo si es un método de suma de puntos; en otras palabras, debe ser un sistema de votación posicional o votación por puntuación (incluida la votación de aprobación ). ^{[2] [3]}

Como se muestra a continuación en Kemeny-Young , el hecho de que un sistema apruebe el refuerzo puede depender de si la elección selecciona un solo ganador o una clasificación completa de los candidatos (a veces denominada consistencia de clasificación): en algunos métodos, dos electorados con el mismo ganador pero con diferentes clasificaciones pueden, al sumarse, dar lugar a un ganador diferente. Kemeny-Young es el único método de Condorcet consistente en la clasificación, y ningún método de Condorcet puede ser consistente en cuanto a los ganadores. ^[3]

Ejemplos

Copelandia

Este ejemplo demuestra que el método de Copeland viola el criterio de consistencia. Supongamos que hay cinco candidatos A, B, C, D y E con 27 votantes con las siguientes preferencias:

Ahora, el conjunto de todos los votantes se divide en dos grupos en la línea en negrita. Los votantes que están sobre la línea son el primer grupo de votantes; los demás son el segundo grupo de votantes.

Primer grupo de votantes

A continuación se determinará el ganador del Copeland para el primer grupo de votantes.

Los resultados se tabularían de la siguiente manera:

• [X] indica los votantes que prefirieron al candidato que figura en el título de la columna al candidato que figura en el título de la fila.
• [Y] indica los votantes que prefirieron al candidato que figura en el título de la fila al candidato que figura en el título de la columna.

Resultado : Con los votos del primer grupo de electores, A puede derrotar a tres de los cuatro oponentes, mientras que ningún otro candidato gana contra más de dos oponentes. Por lo tanto, A es elegido ganador de Copeland por el primer grupo de electores.

Segundo grupo de votantes

Ahora ya se ha determinado quién será el ganador de Copeland para el segundo grupo de votantes.

Los resultados se tabularían de la siguiente manera:

Resultado : Si se tienen en cuenta únicamente los votos del segundo grupo, A puede derrotar a tres de los cuatro oponentes, mientras que ningún otro candidato gana contra más de dos oponentes. Por lo tanto, A es elegido ganador de Copeland por el segundo grupo de votantes.

Todos los votantes

Finalmente se determina el ganador de Copeland entre todos los votantes.

Los resultados se tabularían de la siguiente manera:

Resultado : C es el ganador de Condorcet, por lo tanto Copeland elige a C como ganador.

Votación por segunda vuelta

Este ejemplo muestra que la votación por segunda vuelta viola el criterio de coherencia. Supongamos que hay tres candidatos A, B y C y 23 votantes con las siguientes preferencias:

Ahora, el conjunto de todos los votantes se divide en dos grupos en la línea en negrita. Los votantes que están sobre la línea son el primer grupo de votantes; los demás son el segundo grupo de votantes.

Primer grupo de votantes

A continuación se determina el ganador de la segunda vuelta para el primer grupo de votantes.

B tiene solo 2 votos y es eliminado primero. Sus votos son transferidos a A. Ahora, A tiene 6 votos y gana contra C con 4 votos.

Resultado : A gana contra C, después de que B haya sido eliminado.

Segundo grupo de votantes

Ahora se determina el ganador de la segunda vuelta para el segundo grupo de votantes.

C tiene la menor cantidad de votos, 3, y queda eliminado. A se beneficia de ello, ya que obtiene todos los votos de C. Ahora, con 7 votos, A gana contra B con 6 votos.

Resultado : A gana contra B, después de que C haya sido eliminado.

Todos los votantes

Finalmente, se determina el ganador de la segunda vuelta instantánea entre el conjunto completo de votantes.

C tiene menos preferencias iniciales y por eso es eliminado primero, sus votos se dividen: 4 son transferidos a B y 3 a A. Así, B gana con 12 votos contra 11 votos de A.

Resultado : B gana contra A, después de que C es eliminado.

Conclusión

A es el ganador de la segunda vuelta dentro del primer grupo de votantes y también dentro del segundo grupo de votantes. Sin embargo, ambos grupos combinados eligen a B como ganador de la segunda vuelta. Por lo tanto, la votación por segunda vuelta no cumple el criterio de coherencia.

Método Kemeny-Young

Este ejemplo muestra que el método Kemeny-Young viola el criterio de consistencia. Supongamos tres candidatos A, B y C y 38 votantes con las siguientes preferencias:

Ahora, el conjunto de todos los votantes se divide en dos grupos en la línea en negrita. Los votantes que están sobre la línea son el primer grupo de votantes; los demás son el segundo grupo de votantes.

Primer grupo de votantes

A continuación se determinará el ganador del partido Kemeny-Young para el primer grupo de votantes.

El método Kemeny-Young organiza los recuentos de comparación por pares en la siguiente tabla de recuento:

Las puntuaciones de clasificación de todas las clasificaciones posibles son:

Resultado : La clasificación A > B > C tiene la puntuación más alta. Por lo tanto, A gana por delante de B y C.

Segundo grupo de votantes

Ahora ya se ha determinado quién será el ganador del partido Kemeny-Young para el segundo grupo de votantes.

El método Kemeny-Young organiza los recuentos de comparación por pares en la siguiente tabla de recuento:

Las puntuaciones de clasificación de todas las clasificaciones posibles son:

Resultado : La clasificación A > C > B tiene la puntuación más alta. Por lo tanto, A gana por delante de C y B.

Todos los votantes

Finalmente se determina el ganador del partido Kemeny-Young entre todos los votantes.

El método Kemeny-Young organiza los recuentos de comparación por pares en la siguiente tabla de recuento:

Las puntuaciones de clasificación de todas las clasificaciones posibles son:

Resultado : La clasificación B > A > C tiene la puntuación más alta. Por lo tanto, B gana por delante de A y C.

Conclusión

A es el ganador del método Kemeny-Young dentro del primer grupo de votantes y también dentro del segundo grupo de votantes. Sin embargo, ambos grupos combinados eligen a B como ganador del método Kemeny-Young. Por lo tanto, el método Kemeny-Young no cumple el criterio de reforzamiento.

Consistencia en la clasificación

El método Kemeny-Young satisface la consistencia de la clasificación; es decir, si el electorado se divide arbitrariamente en dos partes y las elecciones separadas en cada parte dan como resultado la selección de la misma clasificación, una elección de todo el electorado también selecciona esa clasificación. De hecho, es el único método Condorcet que satisface la consistencia de la clasificación.

Prueba informal

La puntuación Kemeny-Young de una clasificación se calcula sumando el número de comparaciones por pares en cada papeleta que coinciden con la clasificación . Por lo tanto, la puntuación Kemeny-Young para un electorado se puede calcular separando el electorado en subconjuntos disjuntos (con ), calculando las puntuaciones Kemeny-Young para estos subconjuntos y sumándolos: ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle s_{V}({\mathcal {R}})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=V_{1}\cup V_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}\cap V_{2}=\emptyset }$

${\displaystyle {\text{(I)}}\quad s_{V}({\mathcal {R}})=s_{V_{1}}({\mathcal {R}})+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})}$.

Ahora, consideremos una elección con electorado . La premisa del reforzamiento es dividir el electorado arbitrariamente en dos partes , y en cada parte se selecciona la misma clasificación . Esto significa que la puntuación de Kemeny-Young para la clasificación en cada electorado es mayor que para cualquier otra clasificación : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=V_{1}\cup V_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{(II)}}\quad \forall {\mathcal {R}}':{}&s_{V_{1}}({\mathcal {R}})>s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')\\{\text{(III)}}\quad \forall {\mathcal {R}}':{}&s_{V_{2}}({\mathcal {R}})>s_{V_{2}}({\mathcal {R}}')\end{aligned}}}$

Ahora hay que demostrar que la puntuación Kemeny-Young del ranking en todo el electorado es mayor que la puntuación Kemeny-Young de cualquier otro ranking : ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$

${\displaystyle s_{V}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(I)}{=}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}})+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(II)}{>}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')+s_{V_{2}}({\mathcal {R}})\ {\stackrel {(III)}{>}}\ s_{V_{1}}({\mathcal {R}}')+s_{V_{2}}({\mathcal {R}}')\ {\stackrel {(I)}{=}}\ s_{V}({\mathcal {R}}')\quad q.e.d.}$

Por tanto, el método Kemeny-Young es consistente con respecto a las clasificaciones completas.

Sentencia mayoritaria

Este ejemplo muestra que el juicio mayoritario viola el reforzamiento. Supongamos que hay dos candidatos A y B y 10 votantes con las siguientes calificaciones:

Ahora, el conjunto de todos los votantes se divide en dos grupos en la línea en negrita. Los votantes que están sobre la línea son el primer grupo de votantes; los demás son el segundo grupo de votantes.

Primer grupo de votantes

A continuación se determina el ganador del juicio mayoritario para el primer grupo de votantes.

Las clasificaciones ordenadas quedarían de la siguiente manera:

Resultado : Con los votos del primer grupo de votantes, A tiene la calificación media de "Excelente" y B tiene la calificación media de "Regular". Por lo tanto, A es elegido ganador por mayoría de votos por el primer grupo de votantes.

Segundo grupo de votantes

Ahora se determina el ganador del juicio mayoritario para el segundo grupo de votantes.

Las clasificaciones ordenadas quedarían de la siguiente manera:

Resultado : Si se tienen en cuenta únicamente los votos del segundo grupo, A tiene una calificación media de "Regular" y B una calificación media de "Mala". Por lo tanto, A es elegido ganador por mayoría de votos por el segundo grupo de votantes.

Todos los votantes

Finalmente se determina el ganador del juicio mayoritario del conjunto de votantes.

Las clasificaciones ordenadas quedarían de la siguiente manera:

Las calificaciones medias de A y B son "Regulares". Como hay un empate, se eliminan las calificaciones "Regulares" de ambos, hasta que sus medianas sean diferentes. Después de eliminar el 20% de las calificaciones "Regulares" de los votos de cada uno, las calificaciones ordenadas son ahora:

Resultado : Ahora, la calificación media de A es "Mala" y la calificación media de B es "Regular". Por lo tanto, B es elegido ganador por la mayoría.

Conclusión

A es el ganador de la sentencia mayoritaria dentro del primer grupo de votantes y también dentro del segundo grupo de votantes. Sin embargo, ambos grupos combinados eligen a B como ganador de la sentencia mayoritaria. Por lo tanto, la sentencia mayoritaria no cumple el criterio de coherencia.

Pares clasificados

Este ejemplo muestra que el método de pares clasificados viola el criterio de consistencia. Supongamos que hay tres candidatos A, B y C con 39 votantes con las siguientes preferencias:

Ahora, el conjunto de todos los votantes se divide en dos grupos en la línea en negrita. Los votantes que están sobre la línea son el primer grupo de votantes; los demás son el segundo grupo de votantes.

Primer grupo de votantes

A continuación se determina la pareja clasificada ganadora para el primer grupo de votantes.

Los resultados se tabularían de la siguiente manera:

• [X] indica los votantes que prefirieron al candidato que figura en el título de la columna al candidato que figura en el título de la fila.
• [Y] indica los votantes que prefirieron al candidato que figura en el título de la fila al candidato que figura en el título de la columna.

La lista ordenada de victorias sería:

Resultado : B > C y A > B se bloquean primero (y C > A no se puede bloquear después de eso), por lo que la clasificación completa es A > B > C. Por lo tanto, A es elegido ganador del par clasificado por el primer grupo de votantes.

Segundo grupo de votantes

Ahora se determina el ganador de la pareja clasificada para el segundo grupo de votantes.

Los resultados se tabularían de la siguiente manera:

La lista ordenada de victorias sería:

Resultado : tomando solo los votos del segundo grupo en cuenta, A > C y C > B son bloqueados primero (y B > A no puede ser bloqueado después de eso), por lo que la clasificación completa es A > C > B. Por lo tanto, A es elegido ganador del par clasificado por el segundo grupo de votantes.

Todos los votantes

Finalmente se determina el par clasificado ganador del conjunto completo de votantes.

Los resultados se tabularían de la siguiente manera:

La lista ordenada de victorias sería:

Resultado : Ahora, las tres parejas (A > C, B > C y B > A) pueden quedar bloqueadas sin un ciclo. La clasificación completa es B > A > C. Por lo tanto, las parejas clasificadas eligen a B como ganador, que es el ganador de Condorcet, debido a la falta de un ciclo.

Conclusión

A es el ganador de la clasificación de pares dentro del primer grupo de votantes y también dentro del segundo grupo de votantes. Sin embargo, ambos grupos combinados eligen a B como ganador de la clasificación de pares. Por lo tanto, el método de la clasificación de pares no cumple el criterio de consistencia.

Referencias

1. Franceschini, Fiorenzo; Maisano, Domenico A. (1 de junio de 2022). "Análisis de paradojas en las decisiones de diseño: el caso de la paradoja de los "distritos múltiples"". Revista Internacional de Diseño y Fabricación Interactiva (IJIDeM) . 16 (2): 677–689. doi : 10.1007/s12008-022-00860-x . ISSN  1955-2505.
2. Balinski, Michel; Laraki, Rida (28 de enero de 2011). Sentencia de mayoría. La prensa del MIT. doi : 10.7551/mitpress/9780262015134.001.0001. ISBN 978-0-262-01513-4.
3. Young, HP; Levenglick, A. (1978). "Una extensión consistente del principio de elección de Condorcet" (PDF) . Revista SIAM de Matemáticas Aplicadas . 35 (2): 285–300. doi :10.1137/0135023. ISSN  0036-1399. JSTOR  2100667.

1. ^ John H Smith , "Agregación de preferencias con electorado variable", Econometrica , Vol. 41 (1973), págs. 1027–1041.
2. ^ DR Woodall , "Propiedades de las reglas electorales preferenciales", Voting matters , número 3 (diciembre de 1994), págs. 8-15.
3. ^ HP Young , "Funciones de puntuación de elección social", SIAM Journal on Applied Mathematics Vol. 28, No. 4 (1975), págs. 824–838.