En la teoría de la elección social , la paradoja del mejor es el peor ocurre cuando un candidato termina simultáneamente en primer y último lugar según el mismo método de votación; en otras palabras, si un sistema de votación elige al peor candidato, según el método mismo. Formalmente, este peor candidato se identifica invirtiendo la papeleta de cada votante (para clasificar a los candidatos del peor al mejor), y luego volviendo a aplicar la regla de votación para encontrar un nuevo "anti-ganador". [1] [2] Tales paradojas pueden ocurrir en la votación de segunda vuelta por orden de preferencia (RCV) y minimax . Un ejemplo bien conocido es la elección especial de Alaska de 2022 , donde la candidata Mary Peltola fue a la vez ganadora y anti-ganadora.
Esta idea se puede ampliar aún más con el criterio de inversión , que dice que si las opiniones de cada votante sobre cada candidato están perfectamente invertidas (es decir, clasifican a los candidatos del peor al mejor), el resultado de la elección también debería invertirse, lo que significa que los que terminan en primer y último lugar deberían intercambiar lugares. [2] En otras palabras, los resultados de la elección no deberían depender arbitrariamente de si los votantes clasifican a los candidatos del mejor al peor (y luego seleccionan al mejor candidato), o si les pedimos que clasifiquen a los candidatos del peor al mejor (y luego seleccionen al candidato menos malo).
Entre los métodos que satisfacen la simetría inversa se incluyen el recuento de Borda , los pares clasificados , Kemeny-Young y Schulze . La mayoría de los sistemas de votación por calificación , incluidos los de aprobación y de puntuación , también satisfacen el criterio.
Consideremos un sistema preferencial donde 11 votantes expresan sus preferencias como:
Con el conteo de Borda, A obtendría 23 puntos (5×3+4×1+2×2), B obtendría 24 puntos y C obtendría 19 puntos, por lo que B sería elegido. En segunda vuelta, C sería eliminado en la primera y A sería elegido en la segunda por 7 votos a 4.
Ahora invirtiendo las preferencias:
Con el conteo de Borda, A obtendría 21 puntos (5×1+4×3+2×2), B obtendría 20 puntos y C obtendría 25 puntos, por lo que esta vez C sería elegido. En segunda vuelta, B sería eliminado en la primera vuelta y A sería elegido como antes en la segunda, esta vez por 6 votos a 5.
Este ejemplo muestra que el método Minimax viola el criterio de simetría de inversión. Supongamos que hay cuatro candidatos A, B, C y D con 14 votantes con las siguientes preferencias:
Dado que todas las preferencias son clasificaciones estrictas (no hay iguales), los tres métodos Minimax (votos ganadores, márgenes y pares opuestos) eligen a los mismos ganadores.
Ahora se determinan los ganadores para el orden normal y el inverso.
Los resultados se tabularían de la siguiente manera:
Resultado : Los candidatos A, B y C forman un ciclo con claras derrotas. D se beneficia de ello, ya que sus dos derrotas son relativamente cercanas y, por lo tanto, la mayor derrota de D es la más ajustada de todos los candidatos. Por lo tanto, D es elegido ganador de Minimax.
Los resultados se tabularían de la siguiente manera:
Resultado : Los candidatos A, B y C siguen formando un ciclo con claras derrotas. Por lo tanto, la mayor derrota de D es la más ajustada de todos los candidatos y D es elegido ganador de Minimax.
D es el ganador de Minimax utilizando el orden de preferencia normal y también utilizando las papeletas con órdenes de preferencia invertidos. Por lo tanto, Minimax no cumple el criterio de simetría de inversión.
Este ejemplo muestra que la votación por mayoría simple viola el criterio de simetría inversa. Supongamos que hay tres candidatos A, B y C y cuatro votantes con las siguientes preferencias:
Obsérvese que invertir todas las papeletas conduce al mismo conjunto de papeletas, ya que el orden de preferencia invertido del primer votante se asemeja al orden de preferencia del segundo, y lo mismo ocurre con el tercero y el cuarto.
A continuación se determina el ganador por mayoría relativa. Las papeletas por mayoría relativa solo contienen el único favorito:
Resultado : Los candidatos A y B reciben 1 voto cada uno, el candidato C recibe 2 votos (50%). Por lo tanto, C es elegido ganador por mayoría.
C es el ganador por pluralidad, tanto si se utilizan las papeletas normales como si se utilizan las papeletas invertidas. Por lo tanto, la pluralidad no cumple el criterio de simetría de inversión.
Nótese que todo sistema de votación que satisfaga el criterio de simetría de inversión tendría que conducir a un empate en este ejemplo (como en cada ejemplo en el que el conjunto de papeletas invertidas es el mismo que el conjunto de papeletas normales).
Este ejemplo muestra que STAR viola el criterio de simetría inversa. En una votación por puntaje, el puntaje invertido se calcula como el puntaje máximo posible menos el puntaje normal.
Dada una elección de 3 candidatos entre los candidatos A , B y C :
Los resultados se tabulan a continuación:
Resultado: En la elección, los candidatos A y B obtienen los puntajes más altos y pasan a la segunda vuelta. B gana al ser preferido sobre A por 3 votos a 2.
Invirtiendo las papeletas restando cada puntuación de 5 (la puntuación máxima en STAR) se obtiene lo siguiente:
Los resultados se tabulan a continuación:
Resultado: En las votaciones invertidas, B y C tienen la puntuación total más alta, y B gana siendo preferido a C por 3 votos a 2.