colector CR

En matemáticas , una variedad CR , o variedad de Cauchy-Riemann , ^[1] es una variedad diferenciable junto con una estructura geométrica modelada a partir de la de una hipersuperficie real en un espacio vectorial complejo , o más generalmente modelada sobre un borde de una cuña .

Formalmente, una variedad CR es una variedad diferenciable M junto con una distribución compleja preferida L , o en otras palabras, un subconjunto complejo del conjunto tangente complejado tal que ${\displaystyle \mathbb {C} TM=TM\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

• ${\displaystyle [L,L]\subseteq L}$( L es formalmente integrable )
• ${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}$.

El subpaquete L se denomina estructura CR en la variedad M.

La abreviatura CR significa " Cauchy-Riemann " o "Complex-Real". ^{[1] [2]}

Introducción y motivación.

La noción de estructura CR intenta describir intrínsecamente la propiedad de ser una hipersuperficie (o ciertas subvariedades reales de codimensión superior) en un espacio complejo mediante el estudio de las propiedades de los campos vectoriales holomorfos que son tangentes a la hipersuperficie.

Supongamos, por ejemplo, que M es la hipersuperficie dada por la ecuación ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle F(z,w):=|z|^{2}+|w|^{2}=1,}$

donde z y w son las coordenadas complejas habituales en . El paquete tangente holomorfo de consta de todas las combinaciones lineales de los vectores ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}},\quad {\frac {\partial }{\partial w}}.}$

La distribución L en M consta de todas las combinaciones de estos vectores que son tangentes a M . Los vectores tangentes deben aniquilar la ecuación que define a M , por lo que L consta de múltiplos escalares complejos de

${\displaystyle {\bar {w}}{\frac {\partial }{\partial z}}-{\bar {z}}{\frac {\partial }{\partial w}}.}$

En particular, L consta de campos vectoriales holomorfos que aniquilan a F. Tenga en cuenta que L da una estructura CR en M , para [ L , L ] = 0 (ya que L es unidimensional) y dado que ∂/∂ z y ∂/∂ w son linealmente independientes de sus conjugados complejos. ${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}$

De manera más general, supongamos que M es una hipersuperficie real con la ecuación definitoria F ( z ₁ , ..., z _n ) = 0. Entonces la estructura CR L consiste en esas combinaciones lineales de los vectores holomorfos básicos en : ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}}$

que aniquilan la función definitoria. En este caso, por el mismo motivo que antes. Además, [ L , L ] ⊂ L ya que el conmutador de campos vectoriales holomorfos que aniquilan a F es nuevamente un campo vectorial holomorfo que aniquila a F . ${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}$

Colectores CR integrados y abstractos

Existe un marcado contraste entre las teorías de las variedades CR incrustadas (hipersuperficie y bordes de cuñas en el espacio complejo) y las variedades CR abstractas (aquellas dadas por la distribución compleja L ). Muchas de las características geométricas formales son similares. Éstas incluyen:

• Una noción de convexidad (proporcionada por la forma de Levi )
• Un operador diferencial , análogo al operador de Dolbeault , y una cohomología asociada (el complejo tangencial de Cauchy-Riemann ).

Sin embargo, las variedades CR integradas poseen alguna estructura adicional: un problema de Neumann y Dirichlet para las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Este artículo trata primero la geometría de las variedades CR integradas, muestra cómo definir estas estructuras intrínsecamente y luego las generaliza al entorno abstracto.

Colectores CR integrados

Preliminares

Las variedades CR integradas son, ante todo, subvariedades de Defina un par de subpaquetes del paquete tangente complejado mediante: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes T\mathbb {C} ^{n}}$

• ${\displaystyle T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}}$consta de vectores complejos que aniquilan las funciones antiholomórficas . En las coordenadas holomorfas :

${\displaystyle T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\right).}$

• ${\displaystyle T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}}$Consiste en vectores complejos que aniquilan las funciones holomorfas . En coordenadas:

${\displaystyle T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}\right).}$

También son relevantes los aniquiladores característicos del complejo de Dolbeault :

• ${\displaystyle \Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.}$En coordenadas,

${\displaystyle \Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (dz_{1},\dots ,dz_{n}).}$

• ${\displaystyle \Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.}$En coordenadas,

${\displaystyle \Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{n}).}$

Los productos exteriores de estos se denotan mediante la notación evidente Ω ^{( p , q )} , y el operador Dolbeault y su complejo mapa conjugado entre estos espacios a través de:

${\displaystyle \partial :\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p+1,q)}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p,q+1)}}$

Además, existe una descomposición de la derivada exterior habitual mediante . ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

Subvariedades reales del espacio complejo.

Sea una subvariedad real, definida localmente como el lugar geométrico de un sistema de funciones suaves de valor real ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle F_{1}=0,F_{2}=0,\ldots ,F_{k}=0.}$

Supongamos que la parte lineal compleja del diferencial de este sistema tiene rango máximo, en el sentido de que los diferenciales satisfacen la siguiente condición de independencia :

${\displaystyle \partial F_{1}\wedge \dots \wedge \partial F_{k}\not =0.}$

Tenga en cuenta que esta condición es estrictamente más fuerte de lo necesario para aplicar el teorema de la función implícita : en particular, M es una variedad de dimensión real. Decimos que M es una subvariedad CR incorporada genérica de codimensión CR k . El adjetivo genérico indica que el espacio tangente abarca el espacio tangente de números sobrecomplejos . En la mayoría de las aplicaciones, k  = 1, en cuyo caso se dice que la variedad es de tipo hipersuperficie . ${\displaystyle 2n-k.}$  ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Sea el subconjunto de vectores que aniquilan todas las funciones definitorias. Tenga en cuenta que, según las consideraciones habituales para distribuciones integrables en hipersuperficies, L es involutivo. Además, la condición de independencia implica que L es un paquete de rango constante n  −  k . ${\displaystyle L\subset T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}|_{M}}$ ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{k}.}$

De ahora en adelante, supongamos que k  = 1 (de modo que la variedad CR sea del tipo hipersuperficie), a menos que se indique lo contrario.

La forma de Levi

Sea M una variedad CR de tipo hipersuperficie con una única función definitoria F = 0. La forma Levi de M , que lleva el nombre de Eugenio Elia Levi , ^[3] es la forma 2 hermitiana

${\displaystyle h=i\,\partial {\bar {\partial }}F|_{L\wedge {\bar {L}}}.}$

Esto determina una métrica en L . Se dice que M es estrictamente pseudoconvexo (desde el lado F<0 ) si h es definido positivo (o pseudoconvexo en caso de que h sea semidefinido positivo). ^[4] Muchos de los resultados analíticos de existencia y unicidad en la teoría de las variedades CR dependen de la pseudoconvexidad.

Esta nomenclatura proviene del estudio de dominios pseudoconvexos : M es el límite de un dominio (estrictamente) pseudoconvexo si y sólo si es (estrictamente) pseudoconvexo como una variedad CR desde el lado del dominio. (Ver funciones plurisubarmónicas y variedad de Stein ). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Estructuras CR abstractas

Una estructura CR abstracta en una variedad real M de dimensión real n consiste en un subconjunto complejo L del conjunto tangente complejado que es formalmente integrable, en el sentido de que [ L , L ] ⊂ L , que tiene intersección cero con su conjugado complejo. La codimensión CR de la estructura CR es donde dim  L es la dimensión compleja. En el caso de k  = 1, se dice que la estructura CR es de tipo hipersuperficie . La mayoría de los ejemplos de estructuras CR abstractas son de tipo hipersuperficie. ${\displaystyle k=n-2\dim L,}$

La forma de Levi y la pseudoconvexidad.

Supongamos que M es una variedad CR de tipo hipersuperficie. La forma de Levi es la forma 2 con valor vectorial, definida en L , con valores en el paquete de líneas

${\displaystyle V={\frac {TM\otimes \mathbb {C} }{L\oplus {\overline {L}}}}}$

dada por

${\displaystyle h(v,w)={\frac {1}{2i}}[v,{\overline {w}}]\mod L\oplus {\overline {L}},\quad v,w\in L.}$

h define una forma sesquilineal en L ya que no depende de cómo v y w se extienden a secciones de L , por la condición de integrabilidad. Esta forma se extiende a una forma hermitiana en el haz mediante la misma expresión. La forma extendida a veces también se denomina forma Levi. ${\displaystyle L\oplus {\overline {L}}}$

La forma de Levi también puede caracterizarse en términos de dualidad. Considere el subhazgo de líneas del haz cotangente complejo que aniquila a V

${\displaystyle H_{0}M=V^{*}=(L\oplus {\overline {L}})^{\perp }\subset T^{*}M\otimes \mathbb {C} .}$

Para cada sección local α ∈ Γ( H ₀ M ), sea

${\displaystyle h_{\alpha }(v,w)=d\alpha (v,{\overline {w}})=-\alpha ([v,{\overline {w}}]),\quad v,w\in L\oplus {\overline {L}}.}$

La forma h _α es una forma hermitiana de valores complejos asociada a α.

Las generalizaciones de la forma de Levi existen cuando la variedad no es de tipo hipersuperficie, en cuyo caso la forma ya no asume valores en un paquete de líneas, sino en un paquete de vectores. Se puede entonces hablar, no de una forma de Levi, sino de un conjunto de formas de Levi para la estructura.

En variedades CR abstractas, de tipo fuertemente pseudoconvexo, la forma de Levi da lugar a una métrica pseudohermitiana. La métrica sólo está definida para los vectores tangentes holomórficos y, por tanto, es degenerada. Luego se pueden definir una conexión y torsión y tensores de curvatura relacionados, por ejemplo, la curvatura de Ricci y la curvatura escalar utilizando esta métrica. Esto da lugar a un problema análogo de CR Yamabe estudiado por primera vez por David Jerison y John Lee . La conexión asociada a variedades CR fue definida y estudiada por primera vez por Sidney M. Webster en su tesis sobre el estudio del problema de equivalencia y también definida y estudiada de forma independiente por Tanaka. ^[5] Se pueden encontrar explicaciones de estas nociones en los artículos. ^{[6] [7]}

Una de las preguntas básicas de la Geometría CR es preguntar cuándo una variedad suave dotada de una estructura CR abstracta se puede realizar como una variedad incrustada en algunos . Por lo tanto, no solo estamos incrustando la variedad, sino que también exigimos una incrustación global en la que el mapa que incrusta la variedad abstracta debe retirar la estructura CR inducida de la variedad incrustada (proveniente del hecho de que se asienta ) para que la extracción La estructura CR concuerda exactamente con la estructura CR abstracta. Por tanto, la integración global es una condición de dos partes. Aquí la pregunta se divide en dos. Se puede preguntar por la integrabilidad local o la integrabilidad global. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

La integrabilidad global siempre es cierta para estructuras CR compactas y definidas de manera abstracta que son fuertemente pseudoconvexas, es decir, la forma de Levi es definida positiva, cuando la dimensión real de la variedad es 5 o superior según un resultado de Louis Boutet de Monvel . ^[8]

En la dimensión 3, existen obstáculos a la integrabilidad global. Al realizar pequeñas perturbaciones de la estructura CR estándar en las tres esferas, la estructura CR abstracta resultante que se obtiene no se integra globalmente. A esto se le llama a veces el ejemplo de Rossi. ^[9] De hecho, el ejemplo se remonta a Hans Grauert y aparece también en un artículo de Aldo Andreotti y Yum-Tong Siu . ^[10] ${\displaystyle S^{3},}$

Un resultado de Joseph J. Kohn afirma que la integrabilidad global es equivalente a la condición de que los Kohn Laplacianos tengan un rango cerrado. ^[11] Esta condición de rango cerrado no es una condición invariante de CR.

En la dimensión 3, Sagun Chanillo, Hung-Lin Chiu y Paul C. Yang ^[12] han encontrado un conjunto no perturbativo de condiciones que son invariantes de CR que garantiza la integrabilidad global para estructuras CR abstractas fuertemente pseudoconvexas definidas en variedades compactas. . Bajo la hipótesis de que el operador CR Paneitz no es negativo y la constante CR Yamabe es positiva, se tiene una incrustación global. La segunda condición se puede debilitar a una condición invariante no CR exigiendo que la curvatura de Webster de la variedad abstracta esté limitada por debajo de una constante positiva. Permite a los autores obtener un límite inferior definido en el primer valor propio positivo del laplaciano de Kohn. El límite inferior es el análogo en Geometría CR del límite de André Lichnerowicz para el primer valor propio positivo del operador de Laplace-Beltrami para variedades compactas en geometría de Riemann . ^[13] La no negatividad del operador CR Paneitz en dimensión 3 es una condición invariante de CR como se indica por las propiedades covariantes conformes del operador CR Paneitz en variedades CR de dimensión real 3, observadas por primera vez por Kengo Hirachi . ^[14] La versión CR del operador Paneitz, el llamado Operador CR Paneitz, aparece por primera vez en un trabajo de C. Robin Graham y John Lee . No se sabe que el operador sea conformemente covariante en la dimensión real 5 y superiores, sino sólo en la dimensión real 3. Siempre es un operador no negativo en la dimensión real 5 y superiores. ^[15]

Uno puede preguntarse si todos los colectores CR integrados de forma compacta tienen operadores Paneitz no negativos. Esta es una especie de pregunta inversa a los teoremas de incrustación discutidos anteriormente. En esta dirección, Jeffrey Case, Sagun Chanillo y Paul C. Yang han demostrado un teorema de estabilidad. Es decir, si se comienza con una familia de variedades CR compactas integradas y la estructura CR de la familia cambia de forma analítica real con respecto al parámetro y la constante CR Yamabe de la familia de variedades está uniformemente acotada debajo por una constante positiva, entonces el operador CR Paneitz permanece no negativo para toda la familia, siempre que un miembro de la familia tenga su operador CR Paneitz no negativo. ^[16] La cuestión inversa fue finalmente resuelta por Yuya Takeuchi. Demostró que para variedades CR-3 compactas e integradas que son estrictamente pseudoconvexas, el operador CR Paneitz asociado a esta variedad integrada no es negativo. ^[17] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2},}$ ${\displaystyle J_{t}}$ ${\displaystyle t,}$

También hay resultados de incrustación global para pequeñas perturbaciones de la estructura CR estándar para la esfera tridimensional debido a Daniel Burns y Charles Epstein . Estos resultados plantean hipótesis sobre los coeficientes de Fourier del término de perturbación. ^[18]

La realización de la variedad CR abstracta como una variedad suave en algunos limitará una variedad compleja que en general puede tener singularidades. Este es el contenido del problema de la Meseta Compleja estudiado en el artículo de F. Reese Harvey y H. Blaine Lawson . ^[19] También hay más trabajos sobre el problema de la Meseta Compleja realizados por Stephen S.-T. Yau. ^[20] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

La incrustación local de estructuras CR abstractas no es cierta en la dimensión 3 real, debido a un ejemplo de Louis Nirenberg (el libro de Chen y Mei-Chi Shaw al que se hace referencia a continuación también incluye una presentación de la prueba de Nirenberg). ^[21] El ejemplo de L. Nirenberg puede verse como una perturbación suave del campo vectorial complejo no soluble de Hans Lewy . Se puede comenzar con el campo vectorial antiholomórfico en el grupo de Heisenberg dado por ${\displaystyle {\overline {L}}}$

${\displaystyle {\overline {L}}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}-\imath z{\frac {\partial }{\partial t}},\qquad (z,t)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} ,\imath ={\sqrt {-1}}.}$

El campo vectorial definido anteriormente tiene dos primeras integrales linealmente independientes. Es decir, hay dos soluciones a la ecuación homogénea,

${\displaystyle {\overline {L}}Z_{i}=0,i=1,2,\qquad Z_{1}=z,Z_{2}=t+\imath |z|^{2},dZ_{1}\wedge dZ_{2}\not =0.}$

Dado que estamos en la dimensión real tres, la condición de integrabilidad formal es simplemente,

${\displaystyle \left[{\overline {L}},{\overline {L}}\right]=0}$

que es automático. Observe que la forma de Levi es estrictamente positiva definida como lo indica un simple cálculo,

${\displaystyle \left[{\overline {L}},L\right]=2i{\frac {\partial }{\partial t}},}$

donde el campo vectorial holomorfo L está dado por,

${\displaystyle L={\frac {\partial }{\partial z}}+\imath {\overline {z}}{\frac {\partial }{\partial t}}.}$

Las primeras integrales que son linealmente independientes nos permiten realizar la estructura CR como una gráfica dada por ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle (z,t)\to (z,t+\imath |z|^{2})}$

Entonces se ve que la estructura CR no es más que la restricción de la estructura compleja al gráfico. Nirenberg construye un campo vectorial complejo único que no desaparece definido en una vecindad del origen en He luego muestra que si , entonces tiene que ser una constante. Por tanto, el campo vectorial no tiene primeras integrales. El campo vectorial se crea a partir del campo vectorial antiholomórfico para el grupo de Heisenberg que se muestra arriba al perturbarlo mediante una función suave de valores complejos como se muestra a continuación: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle Pu=0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle P={\overline {L}}+\phi (z,{\overline {z}},t){\frac {\partial }{\partial t}}}$

Por lo tanto, este nuevo campo vectorial P no tiene primeras integrales distintas de las constantes y, por lo tanto, no es posible realizar esta estructura CR perturbada de ninguna manera como un gráfico en ninguna El trabajo de L. Nirenberg ha sido ampliado a un resultado genérico por Howard Jacobowitz y François Trèves . ^[22] En la dimensión real 9 y superiores, la incrustación local de estructuras CR abstractas estrictamente pseudoconvexas es cierta por el trabajo de Masatake Kuranishi y en la dimensión real 7 por el trabajo de Akahori ^[23] Una presentación simplificada de la prueba de Kuranishi se debe a Webster. ^[24] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

El problema de la incrustación local permanece abierto en la dimensión real 5.

Ideales característicos

El complejo tangencial Cauchy-Riemann (Kohn Laplacian, complejo Kohn-Rossi)

En primer lugar es necesario definir un operador co-límite . Para variedades CR que surgen como límites de variedades complejas, se puede ver este operador como la restricción desde el interior hasta el límite. El subíndice b sirve para recordar que estamos en el límite. El operador co-límite toma formas (0,p) a formas (0,p+1). Incluso se puede definir el operador co-límite para una variedad CR abstracta incluso si no es el límite de una variedad compleja. Esto se puede hacer utilizando la conexión Webster. ^[25] El operador co-límite forma un complejo, es decir . Este complejo se denomina complejo tangencial de Cauchy-Riemann o complejo de Kohn-Rossi. La investigación de este complejo y el estudio de los grupos de cohomología de este complejo se realizaron en un artículo fundamental de Joseph J. Kohn y Hugo Rossi. ^[26] ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}\circ {\overline {\partial _{b}}}=0}$

Asociado al complejo Tangencial CR se encuentra un objeto fundamental en Geometría CR y Varias Variables Complejas, el Kohn Laplaciano. Se define como:

${\displaystyle \Box _{b}={\overline {\partial _{b}}}{\overline {\partial _{b}}}^{\star }+{\overline {\partial _{b}}}^{\star }{\overline {\partial _{b}}}}$

Aquí denota el adjunto formal con respecto a donde el formulario de volumen puede derivarse de un formulario de contacto que está asociado a la estructura CR. Véase, por ejemplo, el artículo de JM Lee en el American J. mencionado más adelante. Tenga en cuenta que el Kohn Laplaciano toma formas (0,p) a formas (0,p). Las funciones que son aniquiladas por el Kohn Laplaciano se denominan funciones CR. Son los análogos límite de las funciones holomorfas . Las partes reales de las funciones CR se denominan funciones pluriarmónicas CR. El Kohn Laplaciano es un operador no negativo y formalmente autoadjunto. Es degenerado y tiene un conjunto característico donde su símbolo se desvanece. En una variedad CR abstracta compacta, fuertemente pseudoconvexa, tiene valores propios positivos discretos que van al infinito y también se acercan a cero. El núcleo consta de funciones CR y, por lo tanto, tiene dimensiones infinitas. Si los valores propios positivos del Kohn Laplaciano están acotados por debajo por una constante positiva, entonces el Kohn Laplaciano tiene un rango cerrado y viceversa. Por lo tanto, para estructuras CR incrustadas que utilizan el resultado de Kohn indicado anteriormente, concluimos que la estructura CR compacta que es fuertemente pseudoconvexa está incrustada si y solo si el Kohn Laplaciano tiene valores propios positivos que están limitados por debajo por una constante positiva. El Kohn Laplaciano siempre tiene el valor propio cero correspondiente a las funciones CR. ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}^{\star }}$ ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ ${\displaystyle L^{2}(M)}$ ${\displaystyle \Box _{b}}$

Se han obtenido estimaciones para y en varios espacios funcionales en diversos entornos. Estas estimaciones son más fáciles de derivar cuando la variedad es fuertemente pseudoconvexa, ya que entonces se puede reemplazar la variedad osculándola a un orden suficientemente alto con el grupo de Heisenberg. Luego, utilizando la propiedad del grupo y la estructura de convolución correspondiente del grupo de Heisenberg, se pueden escribir inversos/paramétricos o parámetros relativos a . ^[27] ${\displaystyle \Box _{b}}$ ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ ${\displaystyle \Box _{b}}$

Un ejemplo concreto de operador lo podemos dar en el grupo Heisenberg. Considere el grupo general de Heisenberg y considere los campos vectoriales antiholomórficos que también son invariantes por la izquierda del grupo, ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\overline {L}}_{j}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{j}}}}}-\imath z_{j}{\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n,(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n},t\in \mathbb {R} .}$

Entonces para una función u tenemos la forma (0,1) ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega ={\overline {\partial _{b}}}u=\sum _{j=1}^{n}{\overline {L_{j}}}u\ d{\overline {z_{j}}}.}$

Dado que desaparece en funciones, también tenemos la siguiente fórmula para el Kohn Laplaciano para funciones en el grupo de Heisenberg: ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}^{\star }}$

${\displaystyle \Box _{b}=-\sum _{j=1}^{n}L_{j}{\overline {L_{j}}}}$

dónde

${\displaystyle L_{j}={\frac {\partial }{\partial z_{j}}}+\imath {\overline {z_{j}}}{\frac {\partial }{\partial t}},}$

son los campos vectoriales holomorfos invariantes a la izquierda del grupo en el grupo de Heisenberg. La expresión del Kohn Laplaciano anterior se puede reescribir de la siguiente manera. En primer lugar se comprueba fácilmente que

${\displaystyle [L_{j},{\overline {L_{j}}}]=-2\imath T,T={\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n}$

Así tenemos por un cálculo elemental:

${\displaystyle \Box _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})+\imath nT}$

El primer operador de la derecha es un operador real y de hecho es la parte real del Kohn Laplaciano. Se llama sublaplaciano. Es un ejemplo principal de lo que se llama operador de sumas de cuadrados de Hörmander . ^{[28] [29]} Obviamente no es negativo, como se puede ver mediante una integración por partes. Algunos autores definen el sublaplaciano con signo opuesto. En nuestro caso tenemos concretamente:

${\displaystyle \Delta _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})}$

donde el símbolo es el símbolo tradicional del sublaplaciano. De este modo ${\displaystyle \Delta _{b}}$

${\displaystyle \Box _{b}=\Delta _{b}+\imath nT}$

Ejemplos

El ejemplo canónico de una variedad CR compacta es la esfera real como subvariedad de . El paquete descrito anteriormente está dado por ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=\mathbb {C} TS^{2n+1}\cap T^{1,0}\mathbb {C} ^{n+1}}$

¿Dónde está el conjunto de vectores holomorfos? La forma real de esto está dada por , el paquete dado en un punto concretamente en términos de la estructura compleja, , por ${\displaystyle T^{1,0}\mathbb {C} ^{n+1}}$ ${\displaystyle P=\Re (L\oplus {\bar {L}})}$ ${\displaystyle p\in S^{2n+1}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$

${\displaystyle P_{p}=\{X\in T_{p}S^{2n+1}:IX\in T_{p}S^{2n+1}\subset T_{p}\mathbb {C} ^{n+1}\},}$

y la estructura casi compleja es solo la restricción de . La Esfera es un ejemplo de una variedad CR con curvatura Webster positiva constante y torsión Webster cero. El grupo de Heisenberg es un ejemplo de una variedad CR no compacta con torsión Webster cero y curvatura Webster cero. El paquete de círculos unitarios sobre superficies compactas de Riemann con género estrictamente mayor que 1 también proporciona ejemplos de variedades CR que son fuertemente pseudoconvexas y tienen torsión Webster cero y curvatura Webster negativa constante. Estos espacios se pueden utilizar como espacios de comparación en el estudio de geodésicas y teoremas de comparación de volúmenes en variedades CR con torsión Webster cero, similar al teorema de comparación HE Rauch en geometría de Riemann. ^[30] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle I}$

En los últimos años también se han estudiado otros aspectos del análisis del grupo de Heisenberg, como las superficies mínimas en el grupo de Heisenberg, el problema de Bernstein en el grupo de Heisenberg y los flujos de curvatura. ^[31]

Ver también

• Eugenio Elia Levi
• Pseudoconvexidad

Notas

1. Lempert, László (1997). "Espacios de variedades Cauchy-Riemann". Estudios Avanzados en Matemática Pura . CR-Geometría y Sistemas Sobredeterminados. 25 : 221–236. doi : 10.2969/aspm/02510221 . ISBN 978-4-931469-75-4.
2. "Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas - Geometría CR: el análisis complejo se encuentra con la geometría real y la teoría de números". Secure.msri.org . Archivado desde el original el 26 de marzo de 2012 . Consultado el 12 de enero de 2022 .
3. Ver Levi 909 página 207: la forma Levi es la forma diferencial asociada al operador diferencial C , según la notación de Levi.
4. Ohsawa, Takeo (1984). "Realización global de variedades CR fuertemente pseudoconvexas". Publicaciones del Instituto de Investigaciones en Ciencias Matemáticas . 20 (3): 599–605. doi : 10.2977/PRIMS/1195181413 .
5. Tanaka, N. (1975). "Un estudio geométrico diferencial sobre variedades fuertemente pseudoconvexas" (PDF) . Conferencias de Matemáticas, Universidad de Kyoto . 9 . Tokio: Librería Kinokuniya. hdl :2433/84914.
6. Lee, John M. (1988). "Estructuras pseudo-Einstein en variedades CR". Revista Estadounidense de Matemáticas . 110 (1): 157-178. doi :10.2307/2374543. JSTOR  2374543.
7. Webster, Sidney M. (1978). "Estructuras pseudohermitianas sobre una hipersuperficie real". Revista de Geometría Diferencial . 13 : 25–41. doi : 10.4310/jdg/1214434345 .
8. Boutet de Monvel, Luis (1974). "Integración de ecuaciones Cauchy-Riemann induites formelle". Seminario Ecuaciones Aux Derivees Partielles . 9 . Escuela Politécnica: 1–13. Archivado desde el original el 28 de diciembre de 2014 . Consultado el 28 de diciembre de 2014 .
9. Chen, SC; Shaw, Mei-Chi (2001). Ecuaciones diferenciales parciales en varias variables complejas . vol. 19, Estudios AMS/IP en Matemáticas Avanzadas. Providencia, Rhode Island: AMS.
10. Andreotti, Aldo; Siu, Yum Tong (1970). "Incrustación proyectiva de espacios pseudocóncavos". Norma Annali della Scuola. Sorber. Pisa, Clases de ciencias . 24 (5): 231–278. Archivado desde el original el 28 de diciembre de 2014 . Consultado el 28 de diciembre de 2014 .
11. Kohn, José J. (1986). "El rango del operador tangencial Cauchy-Riemann". Revista de Matemáticas de Duke . 53 (2): 525–545. doi :10.1215/S0012-7094-86-05330-5.
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