En teoría de números , una variedad Shimura es un análogo de dimensiones superiores de una curva modular que surge como una variedad cociente de un espacio simétrico hermitiano por un subgrupo de congruencia de un grupo algebraico reductivo definido sobre Q. Las variedades Shimura no son variedades algebraicas sino familias de variedades algebraicas. Las curvas de Shimura son las variedades unidimensionales de Shimura. Las superficies modulares Hilbert y las variedades modulares Siegel se encuentran entre las clases más conocidas de variedades Shimura.
Goro Shimura introdujo originalmente ejemplos especiales de variedades Shimura en el curso de su generalización de la teoría de la multiplicación compleja . Shimura demostró que si bien inicialmente se definen analíticamente, son objetos aritméticos, en el sentido de que admiten modelos definidos sobre un campo numérico , el campo reflejo de la variedad Shimura. En la década de 1970, Pierre Deligne creó un marco axiomático para la obra de Shimura. En 1979, Robert Langlands comentó que las variedades Shimura forman un ámbito natural de ejemplos para los cuales se puede probar la equivalencia entre las funciones L motívicas y automórficas postuladas en el programa Langlands . Las formas automórficas realizadas en la cohomología de una variedad Shimura son más fáciles de estudiar que las formas automórficas generales; en particular, hay una construcción que les une representaciones de Galois . [1]
Sea S = Res C / R G m la restricción de Weil del grupo multiplicativo de números complejos a números reales . Es un grupo algebraico real , cuyo grupo de R -puntos, S ( R ), es C * y grupo de C -puntos es C * × C * . Un dato de Shimura es un par ( G , X ) que consta de un grupo algebraico reductivo (conectado) G definido sobre el campo Q de números racionales y una clase de conjugación G ( R ) X de homomorfismos h : S → G R que satisface lo siguiente axiomas:
De estos axiomas se deduce que X tiene una estructura única de una variedad compleja (posiblemente, desconectada) tal que para cada representación ρ : G R → GL ( V ), la familia ( V , ρ ⋅ h ) es una familia holomorfa de Hodge estructuras ; además, forma una variación de la estructura de Hodge, y X es una unión finita disjunta de dominios simétricos hermitianos .
Sea A ƒ el anillo de adeles finitos de Q . Para cada subgrupo abierto compacto suficientemente pequeño K de G ( A ƒ ), el espacio lateral doble
es una unión finita disjunta de variedades localmente simétricas de la forma , donde el superíndice más indica un componente conectado . Las variedades Sh K ( G , X ) son variedades algebraicas complejas y forman un sistema inverso sobre todos los subgrupos abiertos compactos K suficientemente pequeños . Este sistema inverso
admite una acción de derecho natural de G ( A ƒ ). Se llama variedad Shimura asociada con el dato Shimura ( G , X ) y se denota Sh( G , X ).
Para tipos especiales de dominios simétricos hermitianos y subgrupos de congruencia Γ, se introdujeron variedades algebraicas de la forma Γ \ X = Sh K ( G , X ) y sus compactaciones en una serie de artículos de Goro Shimura durante la década de 1960. El enfoque de Shimura, presentado más tarde en su monografía, fue en gran medida fenomenológico y persiguió las generalizaciones más amplias de la formulación de la ley de reciprocidad de la teoría de la multiplicación compleja . En retrospectiva, el nombre "variedad Shimura" fue introducido por Deligne , quien procedió a aislar las características abstractas que desempeñaban un papel en la teoría de Shimura. En la formulación de Deligne, las variedades Shimura son espacios paramétricos de ciertos tipos de estructuras de Hodge . Por lo tanto, forman una generalización natural de dimensiones superiores de curvas modulares vistas como espacios de módulo de curvas elípticas con estructura de niveles. En muchos casos, también se han identificado los problemas de módulo para los que las variedades Shimura son solución.
Sea F un campo de números totalmente real y D un álgebra de división de cuaterniones sobre F. El grupo multiplicativo D × da lugar a una variedad canónica Shimura. Su dimensión d es el número de infinitos lugares en los que D se divide. En particular, si d = 1 (por ejemplo, si F = Q y D ⊗ R ≅ M 2 ( R )), fijando un subgrupo aritmético suficientemente pequeño de D × , se obtiene una curva de Shimura, y las curvas que surgen de esta construcción son ya compacto (es decir, proyectivo ).
Algunos ejemplos de curvas de Shimura con ecuaciones explícitamente conocidas vienen dados por las curvas de Hurwitz de género bajo:
y por la curva de Fermat de grado 7. [2]
Otros ejemplos de variedades Shimura incluyen las superficies modulares Picard y las superficies modulares Hilbert , también conocidas como variedades Hilbert-Blumenthal.
Cada variedad de Shimura se puede definir sobre un campo numérico canónico E llamado campo reflejo . Este importante resultado debido a Shimura muestra que las variedades de Shimura, que a priori son sólo variedades complejas, tienen un campo algebraico de definición y, por tanto, significado aritmético. Constituye el punto de partida en su formulación de la ley de reciprocidad, donde ciertos puntos especiales definidos aritméticamente desempeñan un papel importante .
La naturaleza cualitativa del cierre de Zariski de conjuntos de puntos especiales en una variedad Shimura se describe mediante la conjetura de André-Oort . Se han obtenido resultados condicionales sobre esta conjetura, suponiendo una hipótesis de Riemann generalizada . [3]
Las variedades Shimura desempeñan un papel destacado en el programa Langlands . El teorema prototípico, la relación de congruencia de Eichler-Shimura , implica que la función zeta de Hasse-Weil de una curva modular es un producto de funciones L asociadas a formas modulares de peso 2 explícitamente determinadas. De hecho, estaba en el proceso de generalización de Este teorema fue que Goro Shimura introdujo sus variedades y demostró su ley de reciprocidad. Eichler, Shimura, Kuga, Sato e Ihara estudiaron las funciones Zeta de las variedades de Shimura asociadas con el grupo GL 2 sobre otros campos numéricos y sus formas internas (es decir, grupos multiplicativos de álgebras de cuaterniones). Sobre la base de sus resultados, Robert Langlands hizo una predicción de que la función zeta de Hasse-Weil de cualquier variedad algebraica W definida sobre un cuerpo numérico sería un producto de potencias positivas y negativas de funciones L automórficas, es decir, debería surgir de una colección de representaciones automorfas . [1] Por más filosóficamente natural que pueda ser esperar tal descripción, afirmaciones de este tipo sólo se han demostrado cuando W es una variedad de Shimura. [4] En palabras de Langlands:
Demostrar que todas las funciones L asociadas a las variedades Shimura –y por tanto a cualquier motivo definido por una variedad Shimura– pueden expresarse en términos de las funciones L automórficas de [su artículo de 1970] es más débil, incluso mucho más débil, que mostrar Demuestre que todas las funciones L motívicas son iguales a tales funciones L. Además, aunque se espera que la afirmación más fuerte sea válida, hasta donde yo sé, no hay ninguna razón muy convincente para esperar que todas las funciones L motívicas se adjunten a las variedades Shimura. [5]
