Descomposición de Cartan

Descomposición matricial generalizada para grupos de Lie y álgebras de Lie

En matemáticas, la descomposición de Cartan es una descomposición de un grupo de Lie semisimple o álgebra de Lie , que desempeña un papel importante en su teoría de la estructura y la teoría de la representación . Generaliza la descomposición polar o la descomposición en valores singulares de matrices. Su historia se remonta al trabajo de Élie Cartan y Wilhelm Killing de la década de 1880. ^[1]

Involuciones de Cartan en álgebras de Lie

Sea un álgebra de Lie semisimple real y sea su forma de Killing . Una involución en es un automorfismo del álgebra de Lie de cuyo cuadrado es igual a la identidad. Una involución de este tipo se denomina involución de Cartan en si es una forma bilineal definida positiva . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle B_{\theta }(X,Y):=-B(X,\theta Y)}$

Dos involuciones y se consideran equivalentes si difieren únicamente en un automorfismo interno . ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

Cualquier álgebra de Lie semisimple real tiene una involución de Cartan, y dos involuciones de Cartan cualesquiera son equivalentes.

Ejemplos

• Una involución de Cartan en se define por , donde denota la matriz transpuesta de . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \theta (X)=-X^{T}}$ ${\displaystyle X^{T}}$ ${\displaystyle X}$
• La función identidad de es una involución. Es la única involución de Cartan de si y solo si la forma de Killing de es definida negativa o, equivalentemente, si y solo si es el álgebra de Lie de un grupo de Lie semisimple compacto . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Sea la complejización de un álgebra de Lie semisimple real , entonces la conjugación compleja en es una involución en . Esta es la involución de Cartan en si y solo si es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
• Los siguientes mapas son involuciones del álgebra de Lie del grupo unitario especial SU(n) : ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$
  1. La involución de identidad , que es la única involución de Cartan en este caso. ${\displaystyle \theta _{1}(X)=X}$
  2. Conjugación compleja , expresable como en . ${\displaystyle \theta _{2}(X)=-X^{T}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$
  3. Si es impar, . Las involuciones (1), (2) y (3) son equivalentes, pero no equivalentes a la involución identidad ya que . ${\displaystyle n=p+q}$ ${\displaystyle \theta _{3}(X)={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}X{\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}\notin {\mathfrak {su}}(n)}$
  4. Si es par, también hay . ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle \theta _{4}(X)={\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}X^{T}{\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}}$

Pares de Cartan

Sea una involución en un álgebra de Lie . Como , la función lineal tiene los dos valores propios . Si y denotan los espacios propios correspondientes a +1 y -1, respectivamente, entonces . Como es un automorfismo del álgebra de Lie, el corchete de Lie de dos de sus espacios propios está contenido en el espacio propio correspondiente al producto de sus valores propios. De ello se deduce que ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \theta ^{2}=1}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle [{\mathfrak {k}},{\mathfrak {k}}]\subseteq {\mathfrak {k}}}$, , y . ${\displaystyle [{\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {k}}}$

Por tanto , es una subálgebra de Lie, mientras que cualquier subálgebra de es conmutativa. ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Por el contrario, una descomposición con estas propiedades adicionales determina una involución en que es en y en . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Este par también se denomina par de Cartan de , y se denomina par simétrico . Esta noción de par de Cartan aquí no debe confundirse con la noción distinta que implica la cohomología relativa del álgebra de Lie . ${\displaystyle ({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$ ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$

La descomposición asociada a una involución de Cartan se denomina descomposición de Cartan de . La característica especial de una descomposición de Cartan es que la forma de Killing es definida negativa en y definida positiva en . Además, y son complementos ortogonales entre sí con respecto a la forma de Killing en . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Descomposición de Cartan a nivel de grupo de Lie

Sea un grupo de Lie semisimple no compacto y su álgebra de Lie. Sea una involución de Cartan en y sea el par de Cartan resultante. Sea el subgrupo analítico de con álgebra de Lie . Entonces: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

• Existe un automorfismo de grupo de Lie con diferencial en la identidad que satisface . ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Theta ^{2}=1}$
• El subgrupo de elementos fijado por es ; en particular, es un subgrupo cerrado. ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$
• La aplicación dada por es un difeomorfismo . ${\displaystyle K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G}$ ${\displaystyle (k,X)\mapsto k\cdot \mathrm {exp} (X)}$
• El subgrupo es un subgrupo compacto maximalista de , siempre que el centro de G sea finito. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$

El automorfismo también se llama involución global de Cartan y el difeomorfismo se llama descomposición global de Cartan . Si escribimos esto, dice que la función producto es un difeomorfismo, por lo que . ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G}$ ${\displaystyle P=\mathrm {exp} ({\mathfrak {p}})\subset G}$ ${\displaystyle K\times P\rightarrow G}$ ${\displaystyle G=KP}$

Para el grupo lineal general, es una involución de Cartan. ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle X\mapsto (X^{-1})^{T}}$

Un refinamiento de la descomposición de Cartan para espacios simétricos de tipo compacto o no compacto establece que las subálgebras abelianas máximas en son únicas hasta la conjugación por . Además, ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \displaystyle {{\mathfrak {p}}=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot {\mathfrak {a}}.}\qquad {\text{and}}\qquad \displaystyle {P=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot A.}}$

dónde . ${\displaystyle A=e^{\mathfrak {a}}}$

En el caso compacto y no compacto la descomposición global de Cartan implica entonces

${\displaystyle G=KP=KAK,}$

Geométricamente la imagen del subgrupo en es una subvariedad totalmente geodésica . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G/K}$

Relación con la descomposición polar

Consideremos la involución de Cartan . ^{[ Aclaración necesaria ]} Entonces es el álgebra de Lie real de matrices antisimétricas, de modo que , mientras que es el subespacio de matrices simétricas. Por lo tanto, la función exponencial es un difeomorfismo de sobre el espacio de matrices definidas positivas. Hasta esta función exponencial, la descomposición global de Cartan es la descomposición polar de una matriz. La descomposición polar de una matriz invertible es única. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \theta (X)=-X^{T}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle K=\mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Véase también

• Descomposiciones del grupo de Lie

Notas

1. Kleiner 2007

Referencias

• Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 80, Academic Press, ISBN 0-8218-2848-7, Sr.  0514561
• Kleiner, Israel (2007). Kleiner, Israel (ed.). Una historia del álgebra abstracta . Boston, MA: Birkhäuser. doi :10.1007/978-0-8176-4685-1. ISBN 978-0817646844.Señor 2347309  .
• Knapp, Anthony W. (2005) [1996]. Grupos de Lie más allá de una introducción . Progreso en Matemáticas. Vol. 140 (2.ª ed.). Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5.Señor 1920389  .