En matemáticas , la conjetura de André-Oort es un problema de geometría diofántica , una rama de la teoría de números , que puede verse como un análogo no abeliano de la conjetura de Manin-Mumford , que ahora es un teorema (probado de varias maneras diferentes). La conjetura se ocupa de una caracterización del cierre de Zariski de conjuntos de puntos especiales en variedades de Shimura . Un caso especial de la conjetura fue establecido por Yves André en 1989 [1] y un enunciado más general (aunque con una restricción en el tipo de la variedad de Shimura) fue conjeturado por Frans Oort en 1995. [2] La versión moderna es una generalización natural de estas dos conjeturas.
La conjetura en su forma moderna es la siguiente: cada componente irreducible de la clausura de Zariski de un conjunto de puntos especiales en una variedad de Shimura es una subvariedad especial.
La primera versión de la conjetura de André era sólo para componentes irreducibles unidimensionales, mientras que Oort propuso que debería ser cierta para componentes irreducibles de dimensión arbitraria en el espacio de módulos de variedades abelianas principalmente polarizadas de dimensión g . Parece que André estaba motivado por aplicaciones a la teoría de la trascendencia mientras que Oort por la analogía con la conjetura de Manin-Mumford.
Ben Moonen, Yves André , Andrei Yafaev, Bas Edixhoven , Laurent Clozel , Bruno Klingler y Emmanuel Ullmo , entre otros, han establecido varios resultados hacia la conjetura completa . Algunos de estos resultados estaban condicionados a que la hipótesis generalizada de Riemann (GRH) fuera verdadera. De hecho, la prueba de la conjetura completa bajo GRH fue publicada por Bruno Klingler, Emmanuel Ullmo y Andrei Yafaev en 2014 en Annals of Mathematics . [3] En 2006, Umberto Zannier y Jonathan Pila utilizaron técnicas de geometría o-minimal y teoría de números trascendentales para desarrollar un enfoque para el tipo de problemas Manin-Mumford-André-Oort. En 2009, Jonathan Pila demostró la conjetura de André-Oort incondicionalmente para productos arbitrarios de curvas modulares , [4] [5] un resultado que le valió el Premio de Investigación Clay 2011 . [6]
Bruno Klingler, Emmanuel Ullmo y Andrei Yafaev demostraron en 2014 el resultado de trascendencia funcional necesario para el enfoque general de Pila-Zannier y Emmanuel Ullmo dedujo de él un resultado técnico necesario para el paso de inducción en la estrategia. El ingrediente técnico restante era el problema de acotar por debajo de los grados de Galois de los puntos especiales. [ cita requerida ]
Para el caso de la variedad modular de Siegel , este límite fue deducido por Jacob Tsimerman en 2015 a partir de la conjetura de Colmez promediada y las estimaciones de isogenia de Masser-Wustholtz. La conjetura de Colmez promediada fue demostrada por Xinyi Yuan y Shou-Wu Zhang e independientemente por Andreatta, Goren, Howard y Madapusi-Pera. [7]
En 2019-2020, Gal Biniyamini, Harry Schmidt y Andrei Yafaev, basándose en trabajos previos e ideas de Harry Schmidt sobre puntos de torsión en variedades toroidal y abeliana y los resultados de conteo de puntos de Gal Biniyamini, formularon una conjetura sobre los límites de las alturas de puntos especiales y dedujeron de su validez los límites para los grados de Galois de puntos especiales necesarios para la prueba de la conjetura completa de André-Oort. [ cita requerida ]
En septiembre de 2021, Jonathan Pila , Ananth Shankar y Jacob Tsimerman afirmaron en un artículo (que incluye un apéndice escrito por Hélène Esnault y Michael Groechenig) una prueba de la conjetura de altura de Biniyamini-Schmidt-Yafaev, completando así la prueba de la conjetura de André-Oort utilizando la estrategia de Pila-Zannier. [8] [9]
Una conjetura relacionada que tiene dos formas, equivalentes si se asume la conjetura de André–Oort, es la conjetura de Coleman–Oort . Robert Coleman conjeturó que para g suficientemente grande , solo hay un número finito de curvas proyectivas suaves C de género g , tales que la variedad jacobiana J ( C ) es una variedad abeliana de tipo CM . Oort luego conjeturó que el locus de Torelli – del espacio de módulos de variedades abelianas de dimensión g – no tiene para g suficientemente grande ninguna subvariedad especial de dimensión > 0 que intersecte la imagen de la función de Torelli en un subconjunto abierto denso. [10]
Las conjeturas de Manin-Mumford y André–Oort se pueden generalizar en muchas direcciones, por ejemplo, relajando las propiedades de los puntos que son "especiales" (y considerando en su lugar el llamado "locus improbable") o mirando variedades ambientales más generales: esquemas abelianos o semi-abelianos, variedades mixtas de Shimura, etc. Estas generalizaciones se conocen coloquialmente como las conjeturas de Zilber-Pink porque los problemas de este tipo fueron propuestos por Richard Pink [11] y Boris Zilber [12] [13] . La mayoría de estas preguntas están abiertas y son un tema de investigación activa actual.