Equicontinuidad

Relación entre funciones continuas

En el análisis matemático , una familia de funciones es equicontinua si todas las funciones son continuas y tienen la misma variación en un entorno dado , en un sentido preciso descrito aquí. En particular, el concepto se aplica a familias contables y, por lo tanto, a secuencias de funciones.

La equicontinuidad aparece en la formulación del teorema de Ascoli , que establece que un subconjunto de C ( X ), el espacio de funciones continuas en un espacio de Hausdorff compacto X , es compacto si y solo si es cerrado, puntualmente acotado y equicontinuo. Como corolario, una secuencia en C ( X ) es uniformemente convergente si y solo si es equicontinua y converge puntualmente a una función (no necesariamente continua a priori). En particular, el límite de una secuencia equicontinua puntualmente convergente de funciones continuas f _n en el espacio métrico o en el espacio localmente compacto ^[1] es continuo. Si, además, f _n son holomorfas , entonces el límite también es holomorfa.

El principio de acotación uniforme establece que una familia puntualmente acotada de operadores lineales continuos entre espacios de Banach es equicontinua. ^[2]

Equicontinuidad entre espacios métricos

Sean X e Y dos espacios métricos , y F una familia de funciones de X a Y. Denotaremos por d las respectivas métricas de estos espacios.

La familia  F es equicontinua en un punto x ₀  ∈  X si para cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que d ( ƒ ( x ₀ ),  ƒ ( x )) < ε para todo  ƒ  ∈  F y todo x tal que d ( x ₀ ,  x ) < δ. La familia es equicontinua puntualmente si es equicontinua en cada punto de X . ^[3]

La familia  F es uniformemente equicontinua si para cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que d ( ƒ ( x ₁ ),  ƒ ( x ₂ )) < ε para todo ƒ  ∈  F y todo x ₁ , x ₂  ∈  X tal que d ( x ₁ ,  x ₂ ) < δ. ^[4]

A modo de comparación, la afirmación 'todas las funciones ƒ en F son continuas' significa que para cada ε > 0, cada  ƒ  ∈  F y cada x ₀  ∈  X , existe un δ > 0 tal que d ( ƒ ( x ₀ ),  ƒ ( x )) < ε para todo x  ∈  X tal que d ( x ₀ ,  x ) < δ.

• Para la continuidad , δ puede depender de ε, ƒ y x ₀ .
• Para una continuidad uniforme , δ puede depender de ε y  ƒ .
• Para la equicontinuidad puntual , δ puede depender de ε y x ₀ .
• Para una equicontinuidad uniforme , δ puede depender únicamente de ε.

De manera más general, cuando X es un espacio topológico, se dice que un conjunto F de funciones de X a Y es equicontinuo en x si para cada ε > 0, x tiene un entorno U _x tal que

${\displaystyle d_{Y}(f(y),f(x))<\epsilon }$

para todo y ∈ U _x y ƒ  ∈  F . Esta definición suele aparecer en el contexto de espacios vectoriales topológicos .

Cuando X es compacto, un conjunto es uniformemente equicontinuo si y solo si es equicontinuo en cada punto, esencialmente por la misma razón que la continuidad uniforme y la continuidad coinciden en espacios compactos. Utilizado por sí solo, el término "equicontinuidad" puede referirse tanto a la noción puntual como a la uniforme, dependiendo del contexto. En un espacio compacto, estas nociones coinciden.

Algunas propiedades básicas se desprenden inmediatamente de la definición. Todo conjunto finito de funciones continuas es equicontinuo. La clausura de un conjunto equicontinuo es a su vez equicontinua. Todo miembro de un conjunto uniformemente equicontinuo de funciones es uniformemente continuo , y todo conjunto finito de funciones uniformemente continuas es uniformemente equicontinuo.

Ejemplos

• Un conjunto de funciones con una constante de Lipschitz común es (uniformemente) equicontinuo. En particular, este es el caso si el conjunto está formado por funciones con derivadas acotadas por la misma constante.
• El principio de acotación uniforme proporciona una condición suficiente para que un conjunto de operadores lineales continuos sea equicontinuo.
• Una familia de iteraciones de una función analítica es equicontinua en el conjunto de Fatou . ^{[5] [6]}

Contraejemplos

• La secuencia de funciones f _n (x) = arctan(nx), no es equicontinua porque la definición se viola en x ₀ = 0.

Equicontinuidad de mapas valorados en grupos topológicos

Supongamos que T es un espacio topológico e Y es un grupo topológico aditivo (es decir, un grupo dotado de una topología que hace que sus operaciones sean continuas). Los espacios vectoriales topológicos son ejemplos destacados de grupos topológicos y cada grupo topológico tiene asociada una uniformidad canónica .

Definición : ^[7] Se dice que una familia H de aplicaciones de T en Y es equicontinua en t ∈ T si para cada entorno V de 0 en Y , existe algún entorno U de t en T tal que h ( U ) ⊆ h ( t ) + V para cada h ∈ H . Decimos que H es equicontinua si es equicontinua en cada punto de T .

Obsérvese que si H es equicontinuo en un punto, entonces cada función en H es continua en ese punto. Claramente, todo conjunto finito de funciones continuas de T en Y es equicontinuo.

Mapas lineales equicontinuos

Debido a que cada espacio vectorial topológico (TVS) es un grupo topológico, la definición de una familia equicontinua de mapas dada para grupos topológicos se transfiere a los TVS sin cambios.

Caracterización de aplicaciones lineales equicontinuas

Se dice que una familia de aplicaciones de la forma entre dos espacios vectoriales topológicos es equicontinua en un punto si para cada entorno del origen en existe algún entorno del origen en tal que para todo ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h(x+U)\subseteq h(x)+V}$ ${\displaystyle h\in H.}$

Si es una familia de mapas y es un conjunto entonces sea Con notación, si y son conjuntos entonces para todo si y solo si ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H(U):=\bigcup _{h\in H}h(U).}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle H(U)\subseteq V.}$

Sean y espacios vectoriales topológicos (TVS) y una familia de operadores lineales de en Entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

1. ${\displaystyle H}$es equicontinuo;
2. ${\displaystyle H}$es equicontinua en cada punto de ${\displaystyle X.}$
3. ${\displaystyle H}$es equicontinua en algún punto de ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle H}$es equicontinua en el origen.
   • es decir, para cada vecindad del origen en existe una vecindad del origen en tal que (o equivalentemente, para cada ). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle h(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle h\in H}$
   ^[8]
5. por cada barrio del origen en es un barrio del origen en ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)}$ ${\displaystyle X.}$
6. El cierre de in es equicontinuo. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$
   • ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$denota dotado de la topología de convergencia puntual. ${\displaystyle L(X;Y)}$
7. El casco equilibrado de es equicontinuo. ${\displaystyle H}$

mientras que si es localmente convexo , entonces esta lista puede extenderse para incluir: ${\displaystyle Y}$

8. La envoltura convexa de es equicontinua. ^[9] ${\displaystyle H}$
9. La envoltura convexa equilibrada de es equicontinua. ^{[10] [9]} ${\displaystyle H}$

Mientras que si y son localmente convexos , esta lista puede extenderse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

10. para cada seminorma continua en existe una seminorma continua en tal que para todo ^[9] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\circ h\leq p}$ ${\displaystyle h\in H.}$
    • Aquí, significa que para todos ${\displaystyle q\circ h\leq p}$ ${\displaystyle q(h(x))\leq p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

mientras que si tiene forma de barril y es localmente convexo, entonces esta lista puede extenderse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

11. ${\displaystyle H}$está delimitado en ; ^[11] ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$
12. ${\displaystyle H}$está delimitado en ^[11] ${\displaystyle L_{b}(X;Y).}$
    • ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$denota dotado de la topología de convergencia acotada (es decir, convergencia uniforme en subconjuntos acotados de ${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$

Mientras que si y son espacios de Banach , esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

13. ${\displaystyle \sup\{\|T\|:T\in H\}<\infty }$(es decir, está uniformemente acotado en la norma del operador ). ${\displaystyle H}$

Caracterización de funcionales lineales equicontinuos

Sea un espacio vectorial topológico (TVS) sobre el cuerpo con espacio dual continuo. Se dice que una familia de funcionales lineales en es equicontinua en un punto si para cada vecindad del origen en existe alguna vecindad del origen en tal que para todo ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h(x+U)\subseteq h(x)+V}$ ${\displaystyle h\in H.}$

Para cualquier subconjunto los siguientes son equivalentes: ^[9] ${\displaystyle H\subseteq X^{\prime },}$

1. ${\displaystyle H}$es equicontinuo.
2. ${\displaystyle H}$es equicontinua en el origen.
3. ${\displaystyle H}$es equicontinua en algún punto de ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle H}$está contenido en el polar de algún vecindario del origen en ^[10] ${\displaystyle X}$
5. el (pre)polar de es un barrio del origen en ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X.}$
6. El cierre débil* de in es equicontinuo. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
7. El casco equilibrado de es equicontinuo. ${\displaystyle H}$
8. La envoltura convexa de es equicontinua. ${\displaystyle H}$
9. La envoltura convexa equilibrada de es equicontinua. ^[10] ${\displaystyle H}$

Mientras que si está normalizada , esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$

10. ${\displaystyle H}$es un subconjunto fuertemente acotado de ^[10] ${\displaystyle X^{\prime }.}$

mientras que si es un espacio con barril , entonces esta lista puede ampliarse para incluir: ${\displaystyle X}$

11. ${\displaystyle H}$es relativamente compacto en la topología débil* en ^[11] ${\displaystyle X^{\prime }.}$
12. ${\displaystyle H}$es débilmente* acotado (es decir, está acotado en ). ^[11] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)-}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$
13. ${\displaystyle H}$está acotado en la topología de convergencia acotada (es decir, está acotado en ). ^[11] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)-}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Propiedades de los mapas lineales equicontinuos

El principio de acotación uniforme (también conocido como teorema de Banach-Steinhaus) establece que un conjunto de aplicaciones lineales entre espacios de Banach es equicontinuo si está acotado puntualmente; es decir, para cada El resultado se puede generalizar a un caso cuando es localmente convexo y es un espacio en barril . ^[12] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sup _{h\in H}\|h(x)\|<\infty }$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades de las funciones lineales equicontinuas

El teorema de Alaoglu implica que el cierre débil-* de un subconjunto equicontinuo de es débil-* compacto; por lo tanto, cada subconjunto equicontinuo es débil-* relativamente compacto. ^{[13] [9]} ${\displaystyle X^{\prime }}$

Si es cualquier TVS localmente convexo, entonces la familia de todos los barriles en y la familia de todos los subconjuntos de que son convexos, equilibrados, cerrados y acotados en se corresponden entre sí por polaridad (con respecto a ). ^[14] De ello se deduce que un TVS localmente convexo tiene barriles si y solo si cada subconjunto acotado de es equicontinuo. ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime },}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$

Teorema  —  Supongamos que es un TVS separable . Entonces, cada subconjunto equicontinuo cerrado de es un espacio metrizable compacto (según la topología de subespacio). Si además es metrizable, entonces es separable. ^[14] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$

Equicontinuidad y convergencia uniforme

Sea X un espacio de Hausdorff compacto, y dote a C ( X ) de la norma uniforme , haciendo así que C ( X ) sea un espacio de Banach , y por tanto un espacio métrico. Entonces el teorema de Arzelà–Ascoli establece que un subconjunto de C ( X ) es compacto si y solo si es cerrado, uniformemente acotado y equicontinuo. ^[15] Esto es análogo al teorema de Heine–Borel , que establece que los subconjuntos de R ⁿ son compactos si y solo si son cerrados y acotados. ^[16] Como corolario, cada secuencia equicontinua uniformemente acotada en C ( X ) contiene una subsucesión que converge uniformemente a una función continua en X .

En vista del teorema de Arzelà–Ascoli, una sucesión en C ( X ) converge uniformemente si y solo si es equicontinua y converge puntualmente. La hipótesis del enunciado puede debilitarse un poco: una sucesión en C ( X ) converge uniformemente si es equicontinua y converge puntualmente en un subconjunto denso a alguna función en X (no se supone continua).

Prueba

Supóngase que f _j es una secuencia equicontinua de funciones continuas en un subconjunto denso D de X . Sea ε  > 0 . Por equicontinuidad, para cada z ∈ D , existe un entorno U _z de z tal que

${\displaystyle |f_{j}(x)-f_{j}(z)|<\epsilon /3}$

para todo j y x ∈ U _z . Por densidad y compacidad, podemos encontrar un subconjunto finito D′ ⊂ D tal que X es la unión de U _z sobre z ∈ D′ . Como f _j converge puntualmente en D′ , existe N > 0 tal que

${\displaystyle |f_{j}(z)-f_{k}(z)|<\epsilon /3}$

siempre que z ∈ D′ y j , k > N . Se deduce que

${\displaystyle \sup _{X}|f_{j}-f_{k}|<\epsilon }$

para todo j , k > N . De hecho, si x ∈ X , entonces x ∈ U _z para algún z ∈ D′ y así obtenemos:

${\displaystyle |f_{j}(x)-f_{k}(x)|\leq |f_{j}(x)-f_{j}(z)|+|f_{j}(z)-f_{k}(z)|+|f_{k}(z)-f_{k}(x)|<\epsilon }$.

Por lo tanto, f _j es Cauchy en C ( X ) y por lo tanto converge por completitud.

Esta versión más débil se utiliza normalmente para demostrar el teorema de Arzelà-Ascoli para espacios compactos separables. Otra consecuencia es que el límite de una secuencia equicontinua convergente puntualmente de funciones continuas en un espacio métrico, o en un espacio localmente compacto, es continuo. (Véase más abajo un ejemplo). En lo anterior, la hipótesis de compacidad de X   no puede relajarse. Para ver eso, considere una función continua con soporte compacto g en R con g (0) = 1, y considere la secuencia equicontinua de funciones { ƒ _n } en R definida por ƒ _n ( x ) = g ( x − n ) . Entonces, ƒ _n converge puntualmente a 0 pero no converge uniformemente a 0.

Este criterio de convergencia uniforme suele ser útil en el análisis real y complejo. Supongamos que se nos da una secuencia de funciones continuas que converge puntualmente en algún subconjunto abierto G de R ⁿ . Como se señaló anteriormente, en realidad converge uniformemente en un subconjunto compacto de G si es equicontinua en el conjunto compacto. En la práctica, demostrar la equicontinuidad no suele ser tan difícil. Por ejemplo, si la secuencia consta de funciones diferenciables o funciones con cierta regularidad (por ejemplo, las funciones son soluciones de una ecuación diferencial), entonces se puede utilizar el teorema del valor medio o algún otro tipo de estimaciones para demostrar que la secuencia es equicontinua. Entonces se deduce que el límite de la secuencia es continuo en cada subconjunto compacto de G ; por lo tanto, continuo en G . Se puede hacer un argumento similar cuando las funciones son holomorfas. Se puede utilizar, por ejemplo, la estimación de Cauchy para demostrar la equicontinuidad (en un subconjunto compacto) y concluir que el límite es holomorfo. Nótese que la equicontinuidad es esencial aquí. Por ejemplo, ƒ _n ( x ) = arctan n  x converge a un múltiplo de la función de signo discontinua .

Generalizaciones

Equicontinuidad en espacios topológicos

El escenario más general en el que se puede definir la equicontinuidad es para espacios topológicos , mientras que la equicontinuidad uniforme requiere que el filtro de vecindades de un punto sea de algún modo comparable con el filtro de vecindad de otro punto. Esto último se hace más generalmente a través de una estructura uniforme , lo que da un espacio uniforme . Las definiciones apropiadas en estos casos son las siguientes:

Un conjunto A de funciones continuas entre dos espacios topológicos X e Y es topológicamente equicontinuo en los puntos x ∈ X e y ∈ Y si para cualquier conjunto abierto O respecto a y , existen vecindades U de x y V de y tales que para cada f ∈ A , si la intersección de f [ U ] y V no está vacía, f [ U ] ⊆ O . Entonces se dice que A es topológicamente equicontinuo en x ∈ X si es topológicamente equicontinuo en x e y para cada y ∈ Y . Finalmente, A es equicontinuo si es equicontinuo en x para todos los puntos x ∈ X .

Un conjunto A de funciones continuas entre dos espacios uniformes X e Y es uniformemente equicontinuo si para cada elemento W de la uniformidad en Y , el conjunto

{ ( u,v ) ∈ X × X : para todo f ∈ A . ( f ( u ), f ( v )) ∈ W }

es miembro de la uniformidad en X

Introducción a los espacios uniformes

Ahora describiremos brevemente la idea básica que subyace a las uniformidades.

La uniformidad 𝒱 es una colección no vacía de subconjuntos de Y × Y donde, entre muchas otras propiedades, cada V ∈ 𝒱 , V contiene la diagonal de Y (es decir {( y , y ) ∈ Y } ). Cada elemento de 𝒱 se llama séquito .

Las uniformidades generalizan la idea (tomada de los espacios métricos ) de puntos que están " r -cerca" (para r > 0 ), lo que significa que su distancia es < r . Para aclarar esto, supongamos que ( Y , d ) es un espacio métrico (por lo que la diagonal de Y es el conjunto {( y , z ) ∈ Y × Y  : d ( y , z ) = 0} ) Para cualquier r > 0 , sea

U _r = {( y , z ) ∈ Y × Y  : d ( y , z ) < r }

denotan el conjunto de todos los pares de puntos que son r -cercanos. Nótese que si "olvidáramos" que d existiera entonces, para cualquier r > 0 , todavía seríamos capaces de determinar si dos puntos de Y son o no r -cercanos usando solo los conjuntos U _r . De esta manera, los conjuntos U _r encapsulan toda la información necesaria para definir cosas como la continuidad uniforme y la convergencia uniforme sin necesidad de ninguna métrica. Axiomatizar las propiedades más básicas de estos conjuntos conduce a la definición de una uniformidad . De hecho, los conjuntos U _r generan la uniformidad que está asociada canónicamente con el espacio métrico ( Y , d ) .

El beneficio de esta generalización es que ahora podemos extender algunas definiciones importantes que tienen sentido para los espacios métricos (por ejemplo, completitud ) a una categoría más amplia de espacios topológicos. En particular, a los grupos topológicos y a los espacios vectoriales topológicos .

Un concepto más débil es el de continuidad uniforme.

Se dice que un conjunto A de funciones continuas entre dos espacios topológicos X e Y es uniformemente continuo en x ∈ X e y ∈ Y si dado cualquier conjunto abierto O que contenga y existen vecindades U de x y V de y tales que f [ U ] ⊆ O siempre que f ( x ) ∈ V . Es uniformemente continuo en x si es uniformemente continuo en x e y para cada y ∈ Y , y uniformemente continuo si es uniformemente continuo en x para cada x ∈ X .

Equicontinuidad estocástica

La equicontinuidad estocástica es una versión de equicontinuidad utilizada en el contexto de secuencias de funciones de variables aleatorias y su convergencia . ^[17]

Véase también

• Continuidad absoluta  – Forma de continuidad para funciones
• Clasificación de discontinuidades  – Análisis matemático de puntos discontinuos
• Función gruesa
• Función continua  – Función matemática sin cambios repentinos
• Función continua (teoría de conjuntos)  : secuencia de ordinales tales que los valores asumidos en las etapas límite son los límites (límite supremo y límite ínfimo) de todos los valores en las etapas anterioresPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Proceso estocástico continuo  : proceso estocástico que es una función continua del tiempo o parámetro de índice.
• Continuidad de Dini
• Función de preservación de dirección : un análogo de una función continua en espacios discretos.
• Microcontinuidad  – Término matemático
• Función normal  – Función de los ordinales en matemáticas
• Por partes  : función definida por múltiples subfuncionesPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Función simétricamente continua
• Continuidad uniforme  – Restricción uniforme del cambio de funciones

Notas

1. De manera más general, en cualquier espacio generado de forma compacta ; por ejemplo, un espacio de primer conteo .
2. Rudin 1991, pág. 44 §2.5.
3. Reed y Simon (1980), pág. 29; Rudin (1987), pág. 245
4. Reed y Simon (1980), pág. 29
5. Alan F. Beardon, S. Axler, FW Gehring, KA Ribet: Iteración de funciones racionales: sistemas dinámicos analíticos complejos. Springer, 2000; ISBN  0-387-95151-2 , ISBN 978-0-387-95151-5 ; página 49 
6. Joseph H. Silverman: La aritmética de los sistemas dinámicos. Springer, 2007. ISBN 0-387-69903-1 , ISBN 978-0-387-69903-5 ; página 22  
7. Narici y Beckenstein 2011, págs. 133-136.
8. Rudin 1991, pág. 44 Teorema 2.4.
9. Narici y Beckenstein 2011, págs.
10. Trèves 2006, págs. 335–345.
11. Trèves 2006, págs. 346–350.
12. Schaefer 1966, Teorema 4.2.
13. Schaefer 1966, Corolario 4.3.
14. Schaefer y Wolff 1999, págs. 123-128.
15. Rudin 1991, pág. 394 Apéndice A5.
16. Rudin 1991, pág. 18 Teorema 1.23.
17. de Jong, Robert M. (1993). "Equicontinuidad estocástica para procesos de mezcla". Teoría asintótica de métodos de expansión del espacio de parámetros y dependencia de datos en econometría . Ámsterdam. págs. 53–72. ISBN 90-5170-227-2.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Referencias

• "Equicontinuidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Reed, Michael; Simon, Barry (1980), Análisis funcional (edición revisada y ampliada), Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-585050-6.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .

• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .

• Rudin, Walter (1987), Análisis real y complejo (3.ª ed.), Nueva York: McGraw-Hill.
• Schaefer, Helmut H. (1966), Espacios vectoriales topológicos , Nueva York: The Macmillan Company
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .