Operador de momento angular

Operador mecánico cuántico relacionado con la simetría rotacional.

En mecánica cuántica , el operador del momento angular es uno de varios operadores relacionados análogos al momento angular clásico . El operador del momento angular juega un papel central en la teoría de la física atómica y molecular y otros problemas cuánticos que involucran simetría rotacional . Un operador de este tipo se aplica a una representación matemática del estado físico de un sistema y produce un valor de momento angular si el estado tiene un valor definido. Tanto en los sistemas mecánicos clásicos como en los cuánticos, el momento angular (junto con el momento lineal y la energía ) es una de las tres propiedades fundamentales del movimiento. ^[1]

Hay varios operadores de momento angular: momento angular total (normalmente denominado J ), momento angular orbital (normalmente denominado L ) y momento angular de giro ( spin para abreviar, normalmente denominado S ). El término operador de momento angular puede (de manera confusa) referirse al momento angular total o orbital. El momento angular total siempre se conserva , véase el teorema de Noether .

Descripción general

"Conos vectoriales" de momento angular total J (verde), orbital L (azul) y espín S (rojo). Los conos surgen debido a la incertidumbre cuántica entre la medición de los componentes del momento angular (ver más abajo).

En mecánica cuántica, el momento angular puede referirse a una de tres cosas diferentes, pero relacionadas.

Momento angular orbital

La definición clásica de momento angular es . Las contrapartes mecánico-cuánticas de estos objetos comparten la misma relación: ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$

roperador de posiciónp es el operador de momentoel producto cruzadoLoperador de momento angular orbitalLproperador vectorialL _xL _yL _z ${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$

En el caso especial de una sola partícula sin carga eléctrica y sin espín , el operador del momento angular orbital se puede escribir en base a la posición como:

$${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )}$$

∇del

Momento angular de giro

Existe otro tipo de momento angular, llamado momento angular de espín (más a menudo abreviado como espín ), representado por el operador de espín . El espín a menudo se representa como una partícula que literalmente gira alrededor de un eje, pero esto es sólo una metáfora: el análogo clásico más cercano se basa en la circulación de ondas. ^[2] Todas las partículas elementales tienen un espín característico ( los bosones escalares tienen espín cero). Por ejemplo, los electrones siempre tienen "giro 1/2", mientras que los fotones siempre tienen "giro 1" (detalles a continuación). ${\displaystyle \mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\right)}$

Momento angular total

Finalmente, está el momento angular total , que combina tanto el momento angular de espín como el momento angular orbital de una partícula o sistema: ${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$

$${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$$

La conservación del momento angular establece que se conserva J para un sistema cerrado, o J para todo el universo. Sin embargo, L y S generalmente no se conservan. Por ejemplo, la interacción espín-órbita permite que el momento angular se transfiera de un lado a otro entre L y S , manteniendo el J total constante.

Relaciones de conmutación

Relaciones de conmutación entre componentes.

El operador de momento angular orbital es un operador vectorial, lo que significa que puede escribirse en términos de sus componentes vectoriales . Los componentes tienen las siguientes relaciones de conmutación entre sí: ^[3] ${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$

$${\displaystyle \left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z},\;\;\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y},}$$

donde [,] denota el conmutador

$${\displaystyle [X,Y]\equiv XY-YX.}$$

Esto se puede escribir en general como

$${\displaystyle \left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n},}$$

lmnxyzε _lmnsímbolo de Levi-Civita

También es posible una expresión compacta como una ecuación vectorial: ^[4]

$${\displaystyle \mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L} }$$

Las relaciones de conmutación pueden demostrarse como consecuencia directa de las relaciones de conmutación canónicas , donde δ _lm es el delta de Kronecker . ${\displaystyle [x_{l},p_{m}]=i\hbar \delta _{lm}}$

Existe una relación análoga en la física clásica: ^[5]

$${\displaystyle \left\{L_{i},L_{j}\right\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}}$$

L _nclásicosoporte de Poisson ${\displaystyle \{,\}}$

Las mismas relaciones de conmutación se aplican a los demás operadores de momento angular (giro y momento angular total): ^[6]

$${\displaystyle \left[S_{l},S_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad \left[J_{l},J_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}.}$$

Se puede suponer que estos son análogos a L . Alternativamente, se pueden derivar como se analiza a continuación.

Estas relaciones de conmutación significan que L tiene la estructura matemática de un álgebra de Lie , y los ε _lmn son sus constantes de estructura . En este caso, el álgebra de Lie es SU(2) o SO(3) en notación física ( o respectivamente en notación matemática), es decir, álgebra de Lie asociada con rotaciones en tres dimensiones. Lo mismo ocurre con J y S. El motivo se analiza a continuación. Estas relaciones de conmutación son relevantes para la medición y la incertidumbre, como se analiza más adelante. ${\displaystyle \operatorname {su} (2)}$ ${\displaystyle \operatorname {so} (3)}$

En las moléculas, el momento angular total F es la suma del momento angular rovibrónico (orbital) N , el momento angular de espín del electrón S y el momento angular de espín nuclear I. Para los estados singlete electrónicos , el momento angular rovibrónico se denomina J en lugar de N. Como explica Van Vleck, ^[7] los componentes del momento angular rovibrónico molecular referidos a ejes fijos en moléculas tienen relaciones de conmutación diferentes de las dadas anteriormente, que son para los componentes alrededor de ejes fijos en el espacio.

Relaciones de conmutación que involucran magnitud vectorial.

Como cualquier vector, el cuadrado de una magnitud se puede definir para el operador de momento angular orbital,

$${\displaystyle L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$$

${\displaystyle L^{2}}$es otro operador cuántico . Conmuta con los componentes de , ${\displaystyle \mathbf {L} }$

$${\displaystyle \left[L^{2},L_{x}\right]=\left[L^{2},L_{y}\right]=\left[L^{2},L_{z}\right]=0.}$$

Una forma de demostrar que estos operadores conmutan es partir de las relaciones de conmutación [ L _ℓ , L _m ] de la sección anterior:

Prueba de [ L ² , L _x ] = 0, a partir de las relaciones de conmutación [ L _ℓ , L _m ] ^[8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[L^{2},L_{x}\right]&=\left[L_{x}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{y}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{z}^{2},L_{x}\right]\\&=L_{y}\left[L_{y},L_{x}\right]+\left[L_{y},L_{x}\right]L_{y}+L_{z}\left[L_{z},L_{x}\right]+\left[L_{z},L_{x}\right]L_{z}\\&=L_{y}\left(-i\hbar L_{z}\right)+\left(-i\hbar L_{z}\right)L_{y}+L_{z}\left(i\hbar L_{y}\right)+\left(i\hbar L_{y}\right)L_{z}\\&=0\end{aligned}}}$$

Matemáticamente, es una invariante de Casimir del álgebra de Lie SO(3) abarcada por . ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

Como se indicó anteriormente, existe una relación análoga en la física clásica:

$${\displaystyle \left\{L^{2},L_{x}\right\}=\left\{L^{2},L_{y}\right\}=\left\{L^{2},L_{z}\right\}=0}$$

clásicosoporte de Poisson^[9] ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle \{,\}}$

Volviendo al caso cuántico, las mismas relaciones de conmutación se aplican también a los otros operadores de momento angular (espín y momento angular total),

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[S^{2},S_{i}\right]&=0,\\\left[J^{2},J_{i}\right]&=0.\end{aligned}}}$$

Principio de incertidumbre

En general, en mecánica cuántica, cuando dos operadores observables no conmutan, se denominan observables complementarios . Dos observables complementarios no se pueden medir simultáneamente; en cambio, satisfacen un principio de incertidumbre . Cuanto más exactamente se conoce un observable, menos exactamente se puede conocer el otro. Así como existe un principio de incertidumbre que relaciona la posición y el momento, existen principios de incertidumbre para el momento angular.

La relación de Robertson-Schrödinger da el siguiente principio de incertidumbre:

$${\displaystyle \sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\langle L_{z}\rangle \right|.}$$

desviación estándarXesperadoX.x, y, zLJS. ${\displaystyle \sigma _{X}}$ ${\displaystyle \langle X\rangle }$

Por lo tanto, dos componentes ortogonales del momento angular (por ejemplo L _x y L _y ) son complementarias y no pueden conocerse ni medirse simultáneamente, excepto en casos especiales como . ${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=0}$

Sin embargo, es posible medir o especificar simultáneamente L ² y cualquier componente de L ; por ejemplo, L ² y L _z . Esto suele ser útil y los valores se caracterizan por el número cuántico azimutal ( l ) y el número cuántico magnético ( m ). En este caso, el estado cuántico del sistema es un estado propio simultáneo de los operadores L ² y L _z , pero no de L _x o L _y . Los valores propios están relacionados con l y m , como se muestra en la siguiente tabla.

Cuantización

En mecánica cuántica , el momento angular está cuantificado , es decir, no puede variar continuamente, sino sólo en "saltos cuánticos" entre ciertos valores permitidos. Para cualquier sistema, se aplican las siguientes restricciones en los resultados de medición, donde se reduce la constante de Planck : ^[10] ${\displaystyle \hbar }$

Derivación utilizando operadores de escalera

Una forma común de derivar las reglas de cuantificación anteriores es el método de los operadores de escalera . ^[12] Los operadores de escalera para el momento angular total se definen como: ${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\end{aligned}}}$$

Supongamos que es un estado propio simultáneo de y (es decir, un estado con un valor definido para y un valor definido para ). Luego, utilizando las relaciones de conmutación para los componentes de , se puede demostrar que cada uno de los estados y es cero o un estado propio simultáneo de y , con el mismo valor que para pero con valores para que aumentan o disminuyen respectivamente. El resultado es cero cuando el uso de un operador de escalera daría como resultado un estado con un valor que está fuera del rango permitido. Usando los operadores de escalera de esta manera, se pueden encontrar los posibles valores y números cuánticos de y . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle J_{+}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle J_{-}|\psi \rangle }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$

Derivación de los posibles valores y números cuánticos de y . ^[13] ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J^{2}}$

Sea una función de estado para el sistema con valor propio para y valor propio para . ^{[nota 1]} ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$ ${\displaystyle {J^{2}}'}$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}'}$ ${\displaystyle J_{z}}$

De se obtiene, ${\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}$

$${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}.}$$

Aplicando ambos lados de la ecuación anterior a , ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$

$${\displaystyle (J_{x}^{2}+J_{y}^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')=({J^{2}}'-J_{z}'^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').}$$

Dado que y son observables reales, no es negativo y . Por tanto, tiene un límite superior e inferior. ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle {J^{2}}'-J_{z}'^{2}}$ ${\textstyle |J_{z}'|\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$ ${\displaystyle J_{z}'}$

Dos de las relaciones de conmutación para los componentes de son, ${\displaystyle \mathbf {J} }$

$${\displaystyle [J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x},\;\;[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}.}$$

Se pueden combinar para obtener dos ecuaciones, que se escriben juntas usando signos a continuación, ${\displaystyle \pm }$

$${\displaystyle J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar ),}$$

donde una de las ecuaciones usa los signos y la otra usa los signos. Aplicando ambos lados de lo anterior a , ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')&=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\\&=(J_{z}'\pm \hbar )(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\;.\\\end{aligned}}}$$

Lo anterior muestra que son dos funciones propias con valores propios respectivos , a menos que una de las funciones sea cero, en cuyo caso no es una función propia. Para las funciones que no son cero, ${\displaystyle (J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle {J_{z}}'\pm \hbar }$

$${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}'\pm \hbar )=(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').}$$

Se pueden encontrar más funciones propias y valores propios correspondientes aplicando repetidamente siempre que la magnitud del valor propio resultante sea . Dado que los valores propios de están acotados, sea el valor propio más bajo y el más alto. Entonces ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{x}\pm iJ_{y}}$ ${\displaystyle \leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle J_{z}^{0}}$ ${\displaystyle J_{z}^{1}}$

$${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{0})=0}$$

y

$${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{1})=0,}$$

ya que no hay estados donde el valor propio de sea o . Aplicando a la primera ecuación, a la segunda y usando , se puede demostrar que ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle <J_{z}^{0}}$ ${\displaystyle >J_{z}^{1}}$ ${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})}$ ${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})}$ ${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}}$

$${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$$

y

$${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{1})^{2}-\hbar J_{z}^{1}=0.}$$

Restando la primera ecuación de la segunda y reordenando,

$${\displaystyle (J_{z}^{1}+J_{z}^{0})(J_{z}^{0}-J_{z}^{1}-\hbar )=0.}$$

Desde , el segundo factor es negativo. Entonces el primer factor debe ser cero y por tanto . ${\displaystyle J_{z}^{1}\geq J_{z}^{0}}$ ${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$

La diferencia proviene de la aplicación sucesiva de o que reducen o aumentan el valor propio de by de modo que, ${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}}$ ${\displaystyle J_{x}-iJ_{y}}$ ${\displaystyle J_{x}+iJ_{y}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \hbar }$

$${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=0,\hbar ,2\hbar ,\dots }$$

Dejar

$${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=2j\hbar ,}$$

dónde

$${\displaystyle j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.}$$

Luego usando y lo anterior, ${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$

$${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$$

y

$${\displaystyle J_{z}^{1}=j\hbar ,}$$

y los valores propios permitidos de son ${\displaystyle J_{z}}$

$${\displaystyle J_{z}'=-j\hbar ,-j\hbar +\hbar ,-j\hbar +2\hbar ,\dots ,j\hbar .}$$

Expresando en términos de un número cuántico y sustituyendo desde arriba, ${\displaystyle J_{z}'}$ ${\displaystyle m_{j}\;}$ ${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$ ${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}'&=m_{j}\hbar &m_{j}&=-j,-j+1,-j+2,\dots ,j\\{J^{2}}'&=j(j+1)\hbar ^{2}&j&=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.\end{aligned}}}$

Dado que y tienen las mismas relaciones de conmutación que , se les puede aplicar el mismo análisis de escalera, excepto que hay una restricción adicional sobre los números cuánticos de que deben ser números enteros. ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

Derivación tradicional de la restricción a números cuánticos enteros para y . ^[14] ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

En la representación de Schroedinger, la componente z del operador del momento angular orbital se puede expresar en coordenadas esféricas como, ^[15]

$${\displaystyle L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.}$$

Para una función propia con valor propio , ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle L_{z}'}$

$${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\psi =L_{z}'\psi .}$$

Resolviendo para , ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \psi =Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },}$$

donde es independiente de . Dado que se requiere que tenga un solo valor y la suma da como resultado una coordenada para el mismo punto en el espacio, ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}Ae^{iL_{z}'(\phi +2\pi )/\hbar }&=Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },\\e^{iL_{z}'2\pi /\hbar }&=1.\end{aligned}}}$$

Resolviendo para el valor propio , ${\displaystyle L_{z}'}$

$${\displaystyle L_{z}'=m_{l}\hbar \;,}$$

donde es un número entero. ^[16] De lo anterior y de la relación , se deduce que también es un número entero. Esto muestra que los números cuánticos y del momento angular orbital están restringidos a números enteros, a diferencia de los números cuánticos del momento angular total y del espín , que pueden tener valores semienteros. ^[17] ${\displaystyle m_{l}}$ ${\displaystyle m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell \ \ }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m_{\ell }}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

A continuación se presenta una derivación alternativa que no asume funciones de onda de un solo valor y a continuación se presenta otro argumento que utiliza grupos de Lie.

Derivación alternativa de la restricción a números cuánticos enteros para y ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

Una parte clave de la derivación tradicional anterior es que la función de onda debe tener un solo valor. Ahora muchos reconocen que esto no es del todo correcto: una función de onda no es observable y sólo se requiere que la densidad de probabilidad sea univaluada. Las posibles funciones de onda semientero de doble valor tienen una densidad de probabilidad de valor único. ^[18] Esto fue reconocido por Pauli en 1939 (citado por Japaridze et al ^[19] ) ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{*}\psi }$

... no existe un argumento convincente a priori que indique que las funciones de onda que describen algunos estados físicos deban ser funciones de un solo valor. Para que las cantidades físicas, que se expresan mediante los cuadrados de funciones de onda, tengan un solo valor, es suficiente que después de moverse alrededor de un contorno cerrado estas funciones ganen un factor exp(iα)

Se han encontrado funciones de onda de doble valor, como y . ^{[20] [21]} Estos no se comportan bien bajo los operadores de escalera, pero se ha descubierto que son útiles para describir partículas cuánticas rígidas ^[22] ${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{i\phi /2}\sin ^{\frac {1}{2}}\theta }$ ${\displaystyle \left|{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{-i\phi /2}\sin ^{\frac {1}{2}}\theta }$

Ballentine ^[23] ofrece un argumento basado únicamente en el formalismo del operador y que no se basa en que la función de onda sea univaluada. El momento angular azimutal se define como

$${\displaystyle L_{z}=Q_{x}P_{y}-Q_{y}P_{x}}$$

Definir nuevos operadores

$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}&={\frac {Q_{x}+P_{y}}{\sqrt {2}}}&q_{2}&={\frac {Q_{x}-P_{y}}{\sqrt {2}}}\\p_{1}&={\frac {P_{x}-Q_{y}}{\sqrt {2}}}&p_{2}&={\frac {P_{x}+Q_{y}}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}}$$

(La corrección dimensional se puede mantener insertando factores de masa y frecuencia angular unitaria numéricamente iguales a uno).

$${\displaystyle L_{z}={\tfrac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)}$$

Pero los dos términos de la derecha son solo los hamiltonianos para el oscilador armónico cuántico con masa unitaria y frecuencia angular.

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&={\tfrac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)\\H_{2}&={\tfrac {1}{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)\end{aligned}}}$$

y , y todos viajan diariamente. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Para conmutar operadores hermitianos se puede elegir un conjunto completo de vectores base que son vectores propios para los cuatro operadores. (El argumento de Glorioso ^[24] puede generalizarse fácilmente a cualquier número de operadores de transporte.)

Para cualquiera de estos vectores propios con ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}\psi &=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\psi \\L_{z}\psi &=\hbar m\psi \\H_{1}\psi &=\hbar \left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)\psi \\H_{2}\psi &=\hbar \left(n_{2}+{\tfrac {1}{2}}\right)\psi \end{aligned}}}$$

para algunos números enteros , encontramos ${\displaystyle n_{1},n_{2}}$

$${\displaystyle m=\left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)-\left(n_{2}+{\tfrac {1}{2}}\right)=n_{1}-n_{2}}$$

Como diferencia de dos números enteros, debe ser un número entero, del cual también es integral. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell }$

Buchdahl ha dado una versión más compleja de este argumento utilizando los operadores de escalera del oscilador armónico cuántico . ^[25]

Interpretación visual

Ilustración del modelo vectorial de momento angular orbital.

Dado que los momentos angulares son operadores cuánticos, no pueden representarse como vectores como en la mecánica clásica. Sin embargo, es común representarlos heurísticamente de esta manera. A la derecha se muestra un conjunto de estados con números cuánticos , y para los cinco conos de abajo hacia arriba. Desde entonces , todos los vectores se muestran con longitud . Los anillos representan el hecho que se sabe con certeza, pero que se desconoce; por lo tanto, cada vector clásico con la longitud y componente z apropiadas se dibuja formando un cono. El valor esperado del momento angular para un conjunto dado de sistemas en el estado cuántico caracterizado por y podría estar en algún lugar de este cono, aunque no puede definirse para un solo sistema (ya que los componentes de no conmutan entre sí). ${\displaystyle \ell =2}$ ${\displaystyle m_{\ell }=-2,-1,0,1,2}$ ${\displaystyle |L|={\sqrt {L^{2}}}=\hbar {\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle \hbar {\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle L_{z}}$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{y}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m_{\ell }}$ ${\displaystyle L}$

Cuantización en sistemas macroscópicos.

Se cree ampliamente que las reglas de cuantificación son ciertas incluso para sistemas macroscópicos, como el momento angular L de un neumático en movimiento. Sin embargo, no tienen ningún efecto observable, por lo que no se ha probado. Por ejemplo, si es aproximadamente 100000000, esencialmente no hay diferencia si el valor preciso es un número entero como 100000000 o 100000001, o un número no entero como 100000000.2; los pasos discretos son actualmente demasiado pequeños para medirlos. ${\displaystyle L_{z}/\hbar }$

El momento angular como generador de rotaciones.

La definición más general y fundamental de momento angular es la de generador de rotaciones. ^[6] Más específicamente, sea un operador de rotación , que rota cualquier estado cuántico alrededor del eje por un ángulo . Como , el operador se acerca al operador de identidad , porque una rotación de 0° asigna todos los estados a sí mismos. Entonces el operador de momento angular alrededor del eje se define como: ^[6] ${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi \rightarrow 0}$ ${\displaystyle R({\hat {n}},\phi )}$ ${\displaystyle J_{\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$

$${\displaystyle J_{\hat {n}}\equiv i\hbar \lim _{\phi \rightarrow 0}{\frac {R\left({\hat {n}},\phi \right)-1}{\phi }}=\left.i\hbar {\frac {\partial R\left({\hat {n}},\phi \right)}{\partial \phi }}\right|_{\phi =0}}$$

donde 1 es el operador de identidad . Observe también que R es un morfismo aditivo:  ; como consecuencia ^[6] ${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi _{1}+\phi _{2}\right)=R\left({\hat {n}},\phi _{1}\right)R\left({\hat {n}},\phi _{2}\right)}$

$${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi J_{\hat {n}}}{\hbar }}\right)}$$

una matriz exponencialteorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro

En términos más simples, el operador del momento angular total caracteriza cómo cambia un sistema cuántico cuando se gira. La relación entre los operadores de momento angular y los operadores de rotación es la misma que la relación entre las álgebras de Lie y los grupos de Lie en matemáticas, como se analiza más adelante.

Los diferentes tipos de operadores de rotación . El cuadro superior muestra dos partículas, con los estados de espín indicados esquemáticamente por las flechas.

1. El operador R , relacionado con J , hace girar todo el sistema.
2. El operador R _espacial , relacionado con L , rota las posiciones de las partículas sin alterar sus estados de giro internos.
3. El operador R _interno , relacionado con S , rota los estados de espín internos de las partículas sin cambiar sus posiciones.

Así como J es el generador de operadores de rotación , L y S son generadores de operadores de rotación parcial modificados. El operador

$${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi L_{\hat {n}}}{\hbar }}\right),}$$

$${\displaystyle R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi S_{\hat {n}}}{\hbar }}\right),}$$

JLS

$${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)=R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)}$$

es decir, si se rotan las posiciones y luego se rotan los estados internos, entonces se ha rotado el sistema completo.

SU(2), SO(3) y rotaciones de 360°

Aunque uno podría esperar (una rotación de 360° es el operador de identidad), esto no se asume en la mecánica cuántica, y resulta que a menudo no es cierto: cuando el número cuántico del momento angular total es un semientero (1/2 , 3/2, etc.), y cuando es un número entero, . ^[6] Matemáticamente, la estructura de rotaciones en el universo no es SO(3) , el grupo de rotaciones tridimensionales en la mecánica clásica. En cambio, es SU(2) , que es idéntico a SO(3) para rotaciones pequeñas, pero donde una rotación de 360° se distingue matemáticamente de una rotación de 0°. (Sin embargo, una rotación de 720° es lo mismo que una rotación de 0°.) ^[6] ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=1}$ ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=-1}$ ${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$

Por otro lado, en todas las circunstancias, porque una rotación de 360° de una configuración espacial es lo mismo que ninguna rotación. (Esto es diferente de una rotación de 360° del estado interno (giro) de la partícula, que podría o no ser lo mismo que ninguna rotación.) En otras palabras, los operadores llevan la estructura de SO(3) , mientras y llevan la estructura de SU(2) . ${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$ ${\displaystyle R_{\text{spatial}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{\text{internal}}}$

De la ecuación , se elige un estado propio y se extrae ${\displaystyle +1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\hbar \right)}$ ${\displaystyle L_{z}|\psi \rangle =m\hbar |\psi \rangle }$

$${\displaystyle e^{-2\pi im}=1}$$

Conexión con la teoría de la representación

Partiendo de un determinado estado cuántico , considere el conjunto de estados para todos los posibles y , es decir, el conjunto de estados que se obtienen al rotar el estado inicial en todas las formas posibles. El tramo lineal de ese conjunto es un espacio vectorial y, por lo tanto, la manera en que los operadores de rotación asignan un estado a otro es una representación del grupo de operadores de rotación. ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$ ${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)\left|\psi _{0}\right\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle \phi }$

Cuando los operadores de rotación actúan sobre estados cuánticos, se forma una representación del grupo de Lie SU(2) (para R y R _interno ), o SO(3) (para R _espacial ).

De la relación entre J y los operadores de rotación,

Cuando los operadores de momento angular actúan sobre estados cuánticos, se forma una representación del álgebra de Lie o . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

(Las álgebras de Lie de SU(2) y SO(3) son idénticas.)

La derivación del operador de escalera anterior es un método para clasificar las representaciones del álgebra de Lie SU(2).

Conexión a las relaciones de conmutación.

Las rotaciones clásicas no conmutan entre sí: por ejemplo, girar 1° alrededor del eje x y luego 1° alrededor del eje y da una rotación general ligeramente diferente que girar 1° alrededor del eje y y luego 1° alrededor del eje x . eje. Al analizar cuidadosamente esta no conmutatividad, se pueden derivar las relaciones de conmutación de los operadores de momento angular. ^[6]

(Este mismo procedimiento de cálculo es una forma de responder a la pregunta matemática "¿Cuál es el álgebra de Lie de los grupos de Lie SO(3) o SU(2) ?")

Conservación del momento angular

El hamiltoniano H representa la energía y la dinámica del sistema. En una situación esféricamente simétrica, el hamiltoniano es invariante bajo rotaciones:

$${\displaystyle RHR^{-1}=H}$$

Roperador de rotaciónJRteorema de EhrenfestJ ${\displaystyle [H,R]=0}$ ${\displaystyle [H,\mathbf {J} ]=\mathbf {0} }$

En resumen, si H es rotacionalmente invariante (esféricamente simétrico), entonces el momento angular total J se conserva. Este es un ejemplo del teorema de Noether .

Si H es simplemente el hamiltoniano para una partícula, el momento angular total de esa partícula se conserva cuando la partícula está en un potencial central (es decir, cuando la función de energía potencial depende sólo de ). Alternativamente, H puede ser el hamiltoniano de todas las partículas y campos del universo, y entonces H es siempre rotacionalmente invariante, ya que las leyes fundamentales de la física del universo son las mismas independientemente de la orientación. Ésta es la base para decir que la conservación del momento angular es un principio general de la física. ${\displaystyle \left|\mathbf {r} \right|}$

Para una partícula sin espín, J = L , por lo que el momento angular orbital se conserva en las mismas circunstancias. Cuando el giro es distinto de cero, la interacción giro-órbita permite que el momento angular se transfiera de L a S o viceversa. Por lo tanto, L no se conserva por sí solo.

Acoplamiento de momento angular

A menudo, dos o más tipos de momento angular interactúan entre sí, de modo que el momento angular puede transferirse de uno a otro. Por ejemplo, en el acoplamiento espín-órbita , el momento angular puede transferirse entre L y S , pero solo se conserva el total J = L + S. En otro ejemplo, en un átomo con dos electrones, cada uno tiene su propio momento angular J ₁ y J ₂ , pero sólo se conserva el total J = J ₁ + J _{2 .}

En estas situaciones, suele ser útil conocer la relación entre, por un lado, estados donde todos tienen valores definidos y, por otro lado, estados donde todos tienen valores definidos, ya que los últimos cuatro generalmente se conservan (constantes de movimiento). ). El procedimiento para ir y venir entre estas bases es utilizar coeficientes de Clebsch-Gordan . ${\displaystyle \left(J_{1}\right)_{z},\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)_{z},\left(J_{2}\right)^{2}}$ ${\displaystyle \left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2},J_{z}}$

Un resultado importante en este campo es que existe una relación entre los números cuánticos para : ${\displaystyle \left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2}}$

$${\displaystyle j\in \left\{\left|j_{1}-j_{2}\right|,\left(\left|j_{1}-j_{2}\right|+1\right),\ldots ,\left(j_{1}+j_{2}\right)\right\}.}$$

Para un átomo o molécula con J = L + S , el término símbolo proporciona los números cuánticos asociados con los operadores . ${\displaystyle L^{2},S^{2},J^{2}}$

Momento angular orbital en coordenadas esféricas

Los operadores de momento angular suelen aparecer al resolver un problema con simetría esférica en coordenadas esféricas . El momento angular en la representación espacial es ^{[26] [27]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &=i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\&=i\hbar \left({\hat {\mathbf {x} }}\left(\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+{\hat {\mathbf {y} }}\left(-\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)-{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\L_{+}&=\hbar e^{i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L_{-}&=\hbar e^{-i\phi }\left(-{\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L^{2}&=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right),\\L_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.\end{aligned}}}$$

En coordenadas esféricas, la parte angular del operador de Laplace se puede expresar mediante el momento angular. Esto lleva a la relación

$${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\frac {L^{2}}{\hbar ^{2}r^{2}}}.}$$

Al resolver para encontrar estados propios del operador , obtenemos lo siguiente ${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}\left|\ell ,m\right\rangle &=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\left|\ell ,m\right\rangle \\L_{z}\left|\ell ,m\right\rangle &=\hbar m\left|\ell ,m\right\rangle \end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \left\langle \theta ,\phi |\ell ,m\right\rangle =Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )}$$

armónicos esféricos^[28]

Ver también

• Vector de Runge-Lenz (utilizado para describir la forma y orientación de los cuerpos en órbita)
• Transformación de Holstein-Primakoff
• Mapa de Jordania ( modelo bosónico de momento angular de Schwinger ^[29] )
• Pseudovector de Pauli-Lubanski
• Diagramas de momento angular (mecánica cuántica)
• base esférica
• Operador tensorial
• Magnetización orbital
• Momento angular orbital de electrones libres.
• Momento angular orbital de la luz.

Notas

1. En la derivación de Condon y Shortley en la que se basa la derivación actual, un conjunto de observables junto con un conjunto completo de observables conmutantes forman un conjunto completo. Además exigieron que se desplace con y . ^[13] La presente derivación se simplifica al no incluir el conjunto o su correspondiente conjunto de valores propios . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle J^{2}}$ ${\displaystyle J_{z}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle J_{x}}$ ${\displaystyle J_{y}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Referencias

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3. Aruldhas, G. (1 de febrero de 2004). "fórmula (8.8)". Mecánica cuántica . pag. 171.ISBN​ 978-81-203-1962-2.
4. Shankar, R. (1994). Principios de la mecánica cuántica (2ª ed.). Nueva York: Kluwer Academic / Plenum. pag. 319.ISBN​ 9780306447907.
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11. Introducción a la mecánica cuántica: con aplicaciones a la química , por Linus Pauling, Edgar Bright Wilson, página 45, enlace de Google Books
12. Griffiths, David J. (1995). Introducción a la Mecánica Cuántica . Prentice Hall . págs. 147-149.
13. Condon y Shortley 1935, págs.
14. Condon y Shortley 1935, págs. 50-51
15. Condon y Shortley 1935, pág. 50, ecuación 1
16. Condon y Shortley 1935, pág. 50, ecuación 3
17. Condon y Shortley 1935, pág. 51
18. Ballentine, LE (1998). Mecánica cuántica: un desarrollo moderno . Publicaciones científicas mundiales. pag. 169.
19. Japaridze, G; et al. (2020). "Comentarios críticos sobre la cuantificación del momento angular: II. Análisis basado en el requisito de que la función propia de la tercera componente del operador del momento angular debe ser una función periódica de un solo valor". arXiv : 1912.08042 [física.gen-ph].
20. Cazador, G.; et al. (1999). "Armónicos cuasi esféricos de fermión". Revista de Física A. 32 (5): 795–803. arXiv : math-ph/9810001 . doi :10.1088/0305-4470/32/5/011. S2CID  119721724.
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23. Ballentine, LE (1998). Mecánica cuántica: un desarrollo moderno . Publicaciones científicas mundiales. págs. 169-171.
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27. Comparar y contrastar con el contragrediente clásico L.
28. Sakurai, JJ y Napolitano, J (2010), Mecánica cuántica moderna (segunda edición) (Pearson) ISBN 978-0805382914 
29. Schwinger, Julián (1952). Sobre el momento angular (PDF) . Comisión de Energía Atómica de Estados Unidos.

Otras lecturas

• Abers, E. (2004). Mecánica cuántica . Addison Wesley, Prentice Hall Inc. ISBN 978-0-13-146100-0.
• Biedenharn, LC ; Louck, James D. (1984). Momento angular en física cuántica: teoría y aplicación. Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/cbo9780511759888. ISBN 978-0-521-30228-9.
• Bransden, BH; Joachain, CJ (1983). Física de Átomos y Moléculas . Longman. ISBN 0-582-44401-2.
• Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Arenas, Mateo. "Capítulo 18: Momento angular". Las conferencias Feynman sobre física vol. III (El Nuevo Milenio ed.).
• McMahon, D. (2006). "Mecánica cuántica desmitificada" . Mc Graw Hill (Estados Unidos). ISBN 0-07-145546 9.
• Zare, RN (1991). Momento angular. Comprensión de los aspectos espaciales en química y física . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-47-1858928.