Valor esperado (mecánica cuántica)

Valor esperado de una medida cuántica

En mecánica cuántica , el valor esperado es el valor probabilístico esperado del resultado (medición) de un experimento. Puede considerarse como un promedio de todos los resultados posibles de una medición ponderados por su probabilidad y, como tal, no es el valor más probable de una medición; de hecho, el valor esperado puede tener una probabilidad cero de ocurrir (por ejemplo, las mediciones que solo pueden producir valores enteros pueden tener una media no entera). Es un concepto fundamental en todas las áreas de la física cuántica .

Definición operativa

Consideremos un operador . El valor esperado está entonces en notación de Dirac con un vector de estado normalizado . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Formalismo en mecánica cuántica

En la teoría cuántica, una configuración experimental se describe mediante el observable que se va a medir y el estado del sistema. El valor esperado de en el estado se denota como . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }}$

Matemáticamente, es un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert complejo separable . En el caso más comúnmente utilizado en mecánica cuántica, es un estado puro , descrito por un vector ^[a] normalizado en el espacio de Hilbert. El valor esperado de en el estado se define como ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$

Si se considera la dinámica , se considera que el vector o el operador dependen del tiempo, según se utilice la imagen de Schrödinger o la de Heisenberg . Sin embargo, la evolución del valor esperado no depende de esta elección. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$

Si tiene un conjunto completo de vectores propios , con valores propios , entonces ( 1 ) se puede expresar como ^[1] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi _{j}}$ ${\displaystyle a_{j}}$

Esta expresión es similar a la media aritmética e ilustra el significado físico del formalismo matemático: los valores propios son los posibles resultados del experimento, ^[b] y su coeficiente correspondiente es la probabilidad de que este resultado ocurra; a menudo se denomina probabilidad de transición . ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle |\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}}$

Un caso particularmente simple surge cuando es una proyección y, por lo tanto, tiene solo los valores propios 0 y 1. Esto corresponde físicamente a un experimento de tipo "sí-no". En este caso, el valor esperado es la probabilidad de que el experimento dé como resultado "1", y se puede calcular como ${\displaystyle A}$

En teoría cuántica, también es posible que un operador tenga un espectro no discreto, como el operador de posición en mecánica cuántica. Este operador tiene un espectro completamente continuo , con valores propios y vectores propios que dependen de un parámetro continuo, . Específicamente, el operador actúa sobre un vector espacial como . ^[2] En este caso, el vector puede escribirse como una función de valor complejo en el espectro de (generalmente la línea real). Esto se logra formalmente proyectando el vector de estado sobre los valores propios del operador, como en el caso discreto . Sucede que los vectores propios del operador de posición forman una base completa para el espacio vectorial de estados y, por lo tanto, obedecen a una relación de completitud en mecánica cuántica: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |x\rangle }$ ${\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\textstyle \psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle }$ $${\displaystyle \int |x\rangle \langle x|\,dx\equiv \mathbb {I} }$$

Lo anterior se puede utilizar para derivar la expresión integral común para el valor esperado ( 4 ), insertando identidades en la expresión vectorial del valor esperado y luego expandiéndola en la base de posición:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle X\rangle _{\psi }&=\langle \psi |X|\psi \rangle =\langle \psi |\mathbb {I} X\mathbb {I} |\psi \rangle \\&=\iint \langle \psi |x\rangle \langle x|X|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\langle x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\delta (x-x')\langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\int \psi (x)^{*}x\psi (x)dx=\int x\psi (x)^{*}\psi (x)dx=\int x|\psi (x)|^{2}dx\end{aligned}}}$

Donde la relación de ortonormalidad de los vectores de posición base , reduce la integral doble a una integral simple. La última línea utiliza el módulo de una función de valor complejo para reemplazar con , que es una sustitución común en integrales de mecánica cuántica. ${\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta (x-x')}$ ${\displaystyle \psi ^{*}\psi }$ ${\displaystyle |\psi |^{2}}$

El valor esperado puede entonces establecerse, donde x no tiene límites, como indica la fórmula

Una fórmula similar se aplica al operador de momento , en sistemas donde tiene espectro continuo.

Todas las fórmulas anteriores son válidas únicamente para estados puros. En termodinámica y óptica cuántica , también son importantes los estados mixtos ; estos se describen mediante un operador de clase traza positiva , el operador estadístico o matriz de densidad . El valor esperado se puede obtener como ${\displaystyle \sigma }$ ${\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

Formulación general

En general, los estados cuánticos se describen mediante funciones lineales normalizadas positivas en el conjunto de observables, que matemáticamente se suele considerar como un C*-álgebra . El valor esperado de un observable se da entonces por ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A}$

Si el álgebra de observables actúa irreduciblemente en un espacio de Hilbert , y si es un funcional normal , es decir, es continuo en la topología ultradébil , entonces puede escribirse como con un operador de clase de traza positivo de traza 1. Esto da la fórmula ( 5 ) anterior. En el caso de un estado puro , es una proyección sobre un vector unitario . Entonces , lo que da la fórmula ( 1 ) anterior. ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle \sigma (\cdot )=\operatorname {Tr} (\rho \;\cdot )}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot \;\psi \rangle }$

${\displaystyle A}$se supone que es un operador autoadjunto. En el caso general, su espectro no será completamente discreto ni completamente continuo. Aún así, se puede escribir en una descomposición espectral , con una medida con valor de proyección . Para el valor esperado de en un estado puro , esto significa que puede verse como una generalización común de las fórmulas ( 2 ) y ( 4 ) anteriores. ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=\int a\,dP(a)}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot \,\psi \rangle }$ $${\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }=\int a\;d\langle \psi |P(a)\psi \rangle ,}$$

En las teorías no relativistas de un número finito de partículas (mecánica cuántica, en sentido estricto), los estados considerados son generalmente normales ^{[ aclaración necesaria ]} . Sin embargo, en otras áreas de la teoría cuántica, también se utilizan estados no normales: aparecen, por ejemplo, en forma de estados KMS en la mecánica estadística cuántica de medios infinitamente extendidos, ^[3] y como estados cargados en la teoría cuántica de campos . ^[4] En estos casos, el valor esperado está determinado solo por la fórmula más general ( 6 ).

Ejemplo en el espacio de configuración

Como ejemplo, considere una partícula mecánica cuántica en una dimensión espacial, en la representación del espacio de configuración . Aquí el espacio de Hilbert es , el espacio de funciones integrables al cuadrado en la línea real. Los vectores se representan mediante funciones , llamadas funciones de onda . El producto escalar está dado por . Las funciones de onda tienen una interpretación directa como una distribución de probabilidad: ${\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\textstyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{\ast }(x)\psi _{2}(x)\,dx}$

${\displaystyle \rho (x)dx=\psi ^{*}(x)\psi (x)dx}$

da la probabilidad de encontrar la partícula en un intervalo infinitesimal de longitud alrededor de algún punto . ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle x}$

Como observable, considere el operador de posición , que actúa sobre las funciones de onda mediante ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle (Q\psi )(x)=x\psi (x).}$$

El valor esperado, o valor medio de las mediciones, realizadas en un número muy grande de sistemas independientes idénticos estará dado por ${\displaystyle Q}$ $${\displaystyle \langle Q\rangle _{\psi }=\langle \psi |Q|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\rho (x)\,dx.}$$

El valor esperado solo existe si la integral converge, lo que no sucede con todos los vectores . Esto se debe a que el operador de posición no tiene límites y debe elegirse de su dominio de definición . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$

En general, la expectativa de cualquier observable se puede calcular reemplazando con el operador apropiado. Por ejemplo, para calcular el momento promedio, se utiliza el operador de momento en el espacio de configuración , . Explícitamente, su valor esperado es ${\displaystyle Q}$ ${\textstyle \mathbf {p} =-i\hbar \,{\frac {d}{dx}}}$

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle _{\psi }=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,{\frac {d\psi (x)}{dx}}\,dx.}$

En general, no todos los operadores proporcionan un valor medible. Un operador que tiene un valor esperado real puro se denomina observable y su valor se puede medir directamente en un experimento.

Véase también

• Cociente de Rayleigh
• Principio de incertidumbre
• Teorema del virial

Notas

1. Este artículo siempre se considera de norma 1. Para vectores no normalizados, debe reemplazarse por en todas las fórmulas. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi /\|\psi \|}$
2. Se supone aquí que los valores propios no son degenerados.

Referencias

1. Probabilidad, valor esperado e incertidumbre
2. Cohen-Tannoudji, Claude, 1933- (junio de 2020). Mecánica cuántica. Volumen 2. Diu, Bernard, Laloë, Franck, 1940-, Hemley, Susan Reid, Ostrowsky, Nicole, 1943-, Ostrowsky, DB Weinheim. ISBN 978-3-527-82272-0.OCLC 1159410161  .{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
3. Bratteli, Ola ; Robinson, Derek W (1987). Álgebras de operadores y mecánica estadística cuántica 1 . Springer. ISBN 978-3-540-17093-8. 2da edición.
4. Haag, Rudolf (1996). Física cuántica local . Springer. pp. Capítulo IV. ISBN. 3-540-61451-6.

Lectura adicional

El valor esperado, en particular tal como se presenta en la sección "Formalismo en mecánica cuántica", se cubre en la mayoría de los libros de texto elementales sobre mecánica cuántica.

Para una discusión de los aspectos conceptuales, véase:

• Isham, Chris J (1995). Lecciones sobre teoría cuántica: fundamentos matemáticos y estructurales . Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-001-9.