Principio de incertidumbre

Foundational principle in quantum physics

Regla de conmutación canónica para las variables posición q y momento p de una partícula, 1927. pq − qp = h /(2 πi ). Principio de incertidumbre de Heisenberg, 1927.

El principio de incertidumbre , también conocido como principio de indeterminación de Heisenberg , es un concepto fundamental de la mecánica cuántica . Afirma que existe un límite a la precisión con la que se pueden conocer simultáneamente ciertos pares de propiedades físicas, como la posición y el momento . En otras palabras, cuanto más exactamente se mide una propiedad, con menos precisión se puede conocer la otra.

Más formalmente, el principio de incertidumbre es cualquiera de una variedad de desigualdades matemáticas que afirman un límite fundamental al producto de la precisión de ciertos pares de mediciones relacionadas en un sistema cuántico, como la posición , x , y el momento, p . ^[1] Estas variables pareadas se conocen como variables complementarias o variables conjugadas canónicamente .

Introducida por primera vez en 1927 por el físico alemán Werner Heisenberg , ^{[2] [3] [4] [5]} la desigualdad formal que relaciona la desviación estándar de la posición σ _x y la desviación estándar del momento σ _p fue derivada por Earle Hesse Kennard ^[6] más tarde ese año y por Hermann Weyl ^[7] en 1928:

${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

¿Dónde está la constante de Planck reducida ? ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$

El principio de incertidumbre, por excelencia de la mecánica cuántica, se presenta en muchas formas distintas a la posición-momento. La relación energía-tiempo se utiliza ampliamente para relacionar la duración de vida de los estados cuánticos con los anchos de energía medidos, pero su derivación formal está plagada de cuestiones confusas sobre la naturaleza del tiempo. El principio básico se ha extendido en numerosas direcciones; debe tenerse en cuenta en muchos tipos de mediciones físicas fundamentales.

Posición-momento

La superposición de varias ondas planas para formar un paquete de ondas. Este paquete de ondas se vuelve cada vez más localizado con la adición de muchas ondas. La transformada de Fourier es una operación matemática que separa un paquete de ondas en sus ondas planas individuales. Las ondas que se muestran aquí son reales solo con fines ilustrativos; en mecánica cuántica, la función de onda es generalmente compleja .

Es vital ilustrar cómo se aplica el principio a situaciones físicas relativamente inteligibles, ya que es indiscernible en las escalas macroscópicas ^{[8] que experimentan los humanos. Dos marcos alternativos para la física cuántica ofrecen explicaciones diferentes para el principio de incertidumbre. La imagen de} la mecánica ondulatoria del principio de incertidumbre es más intuitiva visualmente, pero la imagen más abstracta de la mecánica matricial lo formula de una manera que se generaliza más fácilmente.

Matemáticamente, en mecánica ondulatoria, la relación de incertidumbre entre posición y momento surge porque las expresiones de la función de onda en las dos bases ortonormales correspondientes en el espacio de Hilbert son transformadas de Fourier entre sí (es decir, la posición y el momento son variables conjugadas ). Una función distinta de cero y su transformada de Fourier no pueden estar localizadas nítidamente al mismo tiempo. ^[9] Una compensación similar entre las varianzas de los conjugados de Fourier surge en todos los sistemas subyacentes al análisis de Fourier, por ejemplo en las ondas sonoras: un tono puro es un pico agudo en una sola frecuencia, mientras que su transformada de Fourier da la forma de la onda sonora en el dominio del tiempo, que es una onda sinusoidal completamente deslocalizada. En mecánica cuántica, los dos puntos clave son que la posición de la partícula toma la forma de una onda de materia, y el momento es su conjugado de Fourier, asegurado por la relación de De Broglie p = ħk , donde k es el número de onda .

En mecánica matricial , la formulación matemática de la mecánica cuántica , cualquier par de operadores autoadjuntos no conmutativos que representan observables están sujetos a límites de incertidumbre similares. Un estado propio de un observable representa el estado de la función de onda para un cierto valor de medición (el valor propio). Por ejemplo, si se realiza una medición de un observable A , entonces el sistema está en un estado propio particular Ψ de ese observable. Sin embargo, el estado propio particular del observable A no necesita ser un estado propio de otro observable B : si es así, entonces no tiene una medición asociada única para él, ya que el sistema no está en un estado propio de ese observable. ^[10]

Visualización

El principio de incertidumbre se puede visualizar utilizando las funciones de onda del espacio de posición y momento para una partícula sin espín con masa en una dimensión.

Cuanto más localizada sea la función de onda del espacio de posición, más probable es que la partícula se encuentre con las coordenadas de posición en esa región y, correspondientemente, la función de onda del espacio de momento está menos localizada, por lo que los posibles componentes de momento que podría tener la partícula están más extendidos. Por el contrario, cuanto más localizada sea la función de onda del espacio de momento, más probable es que la partícula se encuentre con esos valores de componentes de momento en esa región y, correspondientemente, cuanto menos localizada sea la función de onda del espacio de posición, por lo que las coordenadas de posición que podría ocupar la partícula están más extendidas. Estas funciones de onda son transformadas de Fourier entre sí: matemáticamente, el principio de incertidumbre expresa la relación entre las variables conjugadas en la transformada.

Funciones de onda de posición x y momento p correspondientes a partículas cuánticas. La opacidad del color de las partículas corresponde a la densidad de probabilidad de encontrar la partícula con posición x o componente de momento p .
Arriba: Si se desconoce la longitud de onda λ , también se desconocen el momento p , el vector de onda k y la energía E (relaciones de De Broglie). Como la partícula está más localizada en el espacio de posición, Δ x es menor que para Δ p _x .
Abajo: Si se conoce λ , también se conocen p , k y E . Como la partícula está más localizada en el espacio de momento, Δ p es menor que para Δ x .

Interpretación de la mecánica ondulatoria

Propagación de las ondas de De Broglie en 1d: la parte real de la amplitud compleja es azul, la parte imaginaria es verde. La probabilidad (mostrada como la opacidad del color ) de encontrar la partícula en un punto dado x se extiende como una forma de onda, no hay una posición definida de la partícula. A medida que la amplitud aumenta por encima de cero, la curvatura invierte el signo, por lo que la amplitud comienza a disminuir nuevamente, y viceversa: el resultado es una amplitud alterna: una onda.

Según la hipótesis de De Broglie , cada objeto del universo está asociado a una onda . Por lo tanto, todos los objetos, desde una partícula elemental hasta los átomos, las moléculas, los planetas y más allá, están sujetos al principio de incertidumbre.

La función de onda independiente del tiempo de una onda plana monomodo de número de onda k ₀ o momento p ₀ es $${\displaystyle \psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~.}$$

La regla de Born establece que esto debe interpretarse como una función de amplitud de densidad de probabilidad en el sentido de que la probabilidad de encontrar la partícula entre a y b es $${\displaystyle \operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~.}$$

En el caso de la onda plana monomodo, es 1 si es así y 0 en caso contrario. En otras palabras, la posición de la partícula es extremadamente incierta en el sentido de que podría estar prácticamente en cualquier parte a lo largo del paquete de ondas. ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$ ${\displaystyle X=x}$

Por otra parte, considere una función de onda que es una suma de muchas ondas , que podemos escribir como donde A _n representa la contribución relativa del modo p _n al total general. Las figuras a la derecha muestran cómo con la adición de muchas ondas planas, el paquete de ondas puede volverse más localizado. Podemos llevar esto un paso más allá hasta el límite continuo , donde la función de onda es una integral sobre todos los modos posibles con que representa la amplitud de estos modos y se llama función de onda en el espacio de momento . En términos matemáticos, decimos que es la transformada de Fourier de y que x y p son variables conjugadas . Sumar todas estas ondas planas tiene un costo, es decir, el momento se ha vuelto menos preciso, habiéndose convertido en una mezcla de ondas de muchos momentos diferentes. ^[11] $${\displaystyle \psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~,}$$ $${\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~,}$$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

Una forma de cuantificar la precisión de la posición y el momento es la desviación estándar  σ . Como es una función de densidad de probabilidad para la posición, calculamos su desviación estándar. ${\displaystyle |\psi (x)|^{2}}$

La precisión de la posición se mejora, es decir, se reduce σ _x , al utilizar muchas ondas planas, lo que debilita la precisión del momento, es decir, aumenta σ _p . Otra forma de expresarlo es que σ _x y σ _p tienen una relación inversa o al menos están acotadas desde abajo. Este es el principio de incertidumbre, cuyo límite exacto es el límite de Kennard.

Demostración de la desigualdad de Kennard mediante la mecánica ondulatoria

Nos interesan las variaciones de posición y momento, definidas como $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx\right)^{2}}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp-\left(\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp\right)^{2}~.}$$

Sin pérdida de generalidad , supondremos que las medias se desvanecen, lo que simplemente equivale a un desplazamiento del origen de nuestras coordenadas. (A continuación se ofrece una prueba más general que no hace esta suposición). Esto nos da la forma más simple $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp~.}$$

La función puede interpretarse como un vector en un espacio funcional . Podemos definir un producto interno para un par de funciones u ( x ) y v ( x ) en este espacio vectorial: donde el asterisco denota el conjugado complejo . ${\displaystyle f(x)=x\cdot \psi (x)}$ $${\displaystyle \langle u\mid v\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }u^{*}(x)\cdot v(x)\,dx,}$$

Con este producto interno definido, observamos que la varianza para la posición se puede escribir como $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\langle f\mid f\rangle ~.}$$

Podemos repetir esto para el momento interpretando la función como un vector, pero también podemos aprovechar el hecho de que y son transformadas de Fourier entre sí. Evaluamos la transformada de Fourier inversa a través de la integración por partes : donde en la integración por partes, el término cancelado se desvanece porque la función de onda se desvanece en el infinito, y las dos integraciones finales reafirman las transformadas de Fourier. A menudo, el término se denomina operador de momento en el espacio de posición. Aplicando el teorema de Parseval , vemos que la varianza para el momento se puede escribir como ${\displaystyle {\tilde {g}}(p)=p\cdot \varphi (p)}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {g}}(p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot \varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {1}{2\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[p\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left[{\cancel {\left.\psi (\chi )e^{-ip\chi /\hbar }\right|_{-\infty }^{\infty }}}-\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \right]\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp\\&={\frac {-i}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \,e^{ipx/\hbar }\,dp\\&=-i{\sqrt {\frac {\hbar }{2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\psi (\chi )}{d\chi }}e^{-ip\chi /\hbar }\,d\chi \\&=\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot \psi (x),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle v={\frac {\hbar }{-ip}}e^{-ip\chi /\hbar }}$ ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {g}}(p)|^{2}\,dp=\int _{-\infty }^{\infty }|g(x)|^{2}\,dx=\langle g\mid g\rangle .}$$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz afirma que $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\langle f\mid f\rangle \cdot \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}~.}$$

El módulo al cuadrado de cualquier número complejo z se puede expresar como dejamos y y los sustituimos en la ecuación anterior para obtener $${\displaystyle |z|^{2}={\Big (}{\text{Re}}(z){\Big )}^{2}+{\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}\geq {\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}=\left({\frac {z-z^{\ast }}{2i}}\right)^{2}.}$$ ${\displaystyle z=\langle f|g\rangle }$ ${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$ $${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}~.}$$

Ahora sólo queda evaluar estos productos internos.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle ={}&\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,x\cdot \left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\,\psi (x)\,dx\\&{}-\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\,\left(-i\hbar {\frac {d}{dx}}\right)\cdot x\,\psi (x)\,dx\\={}&i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+{\frac {d(x\psi (x))}{dx}}\right]\,dx\\={}&i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\left[\left(-x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)+\psi (x)+\left(x\cdot {\frac {d\psi (x)}{dx}}\right)\right]\,dx\\={}&i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x)\psi (x)\,dx\\={}&i\hbar \cdot \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx\\={}&i\hbar \end{aligned}}}$$

Conectando esto a las desigualdades anteriores, obtenemos o tomando la raíz cuadrada $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}\geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}=\left({\frac {i\hbar }{2i}}\right)^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{4}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

con igualdad si y solo si p y x son linealmente dependientes. Nótese que la única física involucrada en esta prueba fue que y son funciones de onda para la posición y el momento, que son transformadas de Fourier entre sí. Un resultado similar se cumpliría para cualquier par de variables conjugadas. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \varphi (p)}$

Interpretación de la mecánica matricial

(Ref ^[11] )

En mecánica matricial, los observables como la posición y el momento se representan mediante operadores autoadjuntos. Al considerar pares de observables, una cantidad importante es el conmutador . Para un par de operadores  y , se define su conmutador como En el caso de la posición y el momento, el conmutador es la relación de conmutación canónica ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}.}$$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$$

El significado físico de la no conmutatividad se puede entender considerando el efecto del conmutador sobre los estados propios de posición y momento . Sea un estado propio derecho de posición con un valor propio constante x ₀ . Por definición, esto significa que Al aplicar el conmutador a se obtiene donde Î es el operador identidad . ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {x}}|\psi \rangle =x_{0}|\psi \rangle .}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle ,}$$

Supongamos, a los efectos de la prueba por contradicción , que también es un estado propio correcto del momento, con valor propio constante p ₀ . Si esto fuera cierto, entonces se podría escribir Por otro lado, la relación de conmutación canónica anterior requiere que Esto implica que ningún estado cuántico puede ser simultáneamente un estado propio de posición y de momento. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ $${\displaystyle ({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0.}$$ $${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0.}$$

Cuando se mide un estado, se proyecta sobre un estado propio en base al observable relevante. Por ejemplo, si se mide la posición de una partícula, entonces el estado equivale a un estado propio de posición. Esto significa que el estado no es un estado propio de momento, sino que puede representarse como una suma de múltiples estados propios de base de momento. En otras palabras, el momento debe ser menos preciso. Esta precisión puede cuantificarse mediante las desviaciones estándar, $${\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}={\sqrt {\langle {\hat {p}}^{2}\rangle -\langle {\hat {p}}\rangle ^{2}}}.}$$

Al igual que en la interpretación de la mecánica ondulatoria anterior, se observa una compensación entre las respectivas precisiones de ambos, cuantificada por el principio de incertidumbre.

Ejemplos

(Refs ^[11] )

Estados estacionarios del oscilador armónico cuántico

Consideremos un oscilador armónico cuántico unidimensional. Es posible expresar los operadores de posición y momento en términos de los operadores de creación y aniquilación : $${\displaystyle {\hat {x}}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(a+a^{\dagger })}$$ $${\displaystyle {\hat {p}}=i{\sqrt {\frac {m\omega \hbar }{2}}}(a^{\dagger }-a).}$$

Utilizando las reglas estándar para los operadores de creación y aniquilación en los estados propios de energía, las varianzas se pueden calcular directamente. El producto de estas desviaciones estándar es entonces $${\displaystyle a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle }$$ $${\displaystyle a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle ,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{m\omega }}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\hbar m\omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\,.}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}=\hbar \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}.~}$$

En particular, el límite de Kennard anterior ^[6] está saturado para el estado fundamental n = 0 , para el cual la densidad de probabilidad es simplemente la distribución normal .

Osciladores armónicos cuánticos con condición inicial gaussiana

Densidades de probabilidad de posición (azul) y momento (rojo) para una distribución gaussiana inicial. De arriba a abajo, las animaciones muestran los casos Ω = ω , Ω = 2 ω y Ω = ω /2 . Nótese la compensación entre los anchos de las distribuciones.

En un oscilador armónico cuántico de frecuencia angular característica ω , coloque un estado que esté desplazado del fondo del potencial por algún desplazamiento x ₀ como donde Ω describe el ancho del estado inicial pero no necesita ser el mismo que ω . A través de la integración sobre el propagador , podemos resolver la solución dependiente del tiempo completa. Después de muchas cancelaciones, las densidades de probabilidad se reducen a donde hemos usado la notación para denotar una distribución normal de media μ y varianza σ ² . Copiando las varianzas anteriores y aplicando identidades trigonométricas , podemos escribir el producto de las desviaciones estándar como $${\displaystyle \psi (x)=\left({\frac {m\Omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\exp {\left(-{\frac {m\Omega (x-x_{0})^{2}}{2\hbar }}\right)},}$$ $${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(x_{0}\cos {(\omega t)},{\frac {\hbar }{2m\Omega }}\left(\cos ^{2}(\omega t)+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right)}$$ $${\displaystyle |\Phi (p,t)|^{2}\sim {\mathcal {N}}\left(-mx_{0}\omega \sin(\omega t),{\frac {\hbar m\Omega }{2}}\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\right),}$$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{x}\sigma _{p}&={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)\left(\cos ^{2}{(\omega t)}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\sin ^{2}{(\omega t)}\right)}}\\&={\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)\cos {(4\omega t)}}}\end{aligned}}}$$

De las relaciones podemos concluir lo siguiente (la igualdad más a la derecha se cumple sólo cuando Ω = ω ): $${\displaystyle {\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\geq 2,\quad |\cos(4\omega t)|\leq 1,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{4}}{\sqrt {3+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\Omega ^{2}}{\omega ^{2}}}+{\frac {\omega ^{2}}{\Omega ^{2}}}\right)-1\right)}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$

Estados coherentes

Un estado coherente es un estado propio correcto del operador de aniquilación , que puede representarse en términos de estados de Fock como $${\displaystyle {\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle ,}$$ $${\displaystyle |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle }$$

En la imagen donde el estado coherente es una partícula masiva en un oscilador armónico cuántico, los operadores de posición y momento pueden expresarse en términos de los operadores de aniquilación en las mismas fórmulas anteriores y usarse para calcular las varianzas. Por lo tanto, cada estado coherente satura el límite de Kennard con la posición y el momento, cada uno de los cuales contribuye con una cantidad de manera "equilibrada". Además, cada estado coherente comprimido también satura el límite de Kennard, aunque las contribuciones individuales de la posición y el momento no necesitan estar equilibradas en general. $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }},}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}={\frac {\hbar m\omega }{2}}.}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\,{\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}={\frac {\hbar }{2}}.}$$ ${\textstyle {\sqrt {\hbar /2}}}$

Partícula en una caja

Consideremos una partícula en una caja unidimensional de longitud . Las funciones propias en el espacio de posición y momento son y donde y hemos utilizado la relación de De Broglie . Las varianzas de y se pueden calcular explícitamente: ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin(k_{n}x)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega _{n}t},&0<x<L,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \varphi _{n}(p,t)={\sqrt {\frac {\pi L}{\hbar }}}\,\,{\frac {n\left(1-(-1)^{n}e^{-ikL}\right)e^{-i\omega _{n}t}}{\pi ^{2}n^{2}-k^{2}L^{2}}},}$$ ${\textstyle \omega _{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar n^{2}}{8L^{2}m}}}$ ${\displaystyle p=\hbar k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle \sigma _{p}^{2}=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}.}$$

El producto de las desviaciones típicas es, por tanto, Para todo , la cantidad es mayor que 1, por lo que nunca se viola el principio de incertidumbre. Para la concreción numérica, el valor más pequeño se da cuando , en cuyo caso $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}.}$$ ${\displaystyle n=1,\,2,\,3,\,\ldots }$ ${\textstyle {\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$ ${\displaystyle n=1}$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {\pi ^{2}}{3}}-2}}\approx 0.568\hbar >{\frac {\hbar }{2}}.}$$

Impulso constante

Densidad de probabilidad en el espacio de posición de un estado inicialmente gaussiano que se mueve con un momento constante y mínimamente incierto en el espacio libre

Supongamos que una partícula tiene inicialmente una función de onda espacial de momento descrita por una distribución normal alrededor de un momento constante p ₀ según donde hemos introducido una escala de referencia , con que describe el ancho de la distribución (cf. no dimensionalización) . Si se permite que el estado evolucione en el espacio libre, entonces las funciones de onda espaciales de momento y posición dependientes del tiempo son $${\displaystyle \varphi (p)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}\right),}$$ ${\textstyle x_{0}={\sqrt {\hbar /m\omega _{0}}}}$ ${\displaystyle \omega _{0}>0}$ $${\displaystyle \Phi (p,t)=\left({\frac {x_{0}}{\hbar {\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}\exp \left({\frac {-x_{0}^{2}(p-p_{0})^{2}}{2\hbar ^{2}}}-{\frac {ip^{2}t}{2m\hbar }}\right),}$$ $${\displaystyle \Psi (x,t)=\left({\frac {1}{x_{0}{\sqrt {\pi }}}}\right)^{1/2}{\frac {e^{-x_{0}^{2}p_{0}^{2}/2\hbar ^{2}}}{\sqrt {1+i\omega _{0}t}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-ix_{0}^{2}p_{0}/\hbar )^{2}}{2x_{0}^{2}(1+i\omega _{0}t)}}\right).}$$

Dado que y , esto puede interpretarse como una partícula que se mueve con un momento constante con una precisión arbitrariamente alta. Por otra parte, la desviación estándar de la posición es tal que el producto de incertidumbre solo puede aumentar con el tiempo como ${\displaystyle \langle p(t)\rangle =p_{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}(t)=\hbar /({\sqrt {2}}x_{0})}$ $${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {x_{0}}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}(t)\sigma _{p}(t)={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {1+\omega _{0}^{2}t^{2}}}}$$

Principio de incertidumbre energía-tiempo

Ancho de línea del espectro de energía vs. vida útil

Una relación de incertidumbre de energía-tiempo como tiene una historia larga y controvertida; el significado de y varía y diferentes formulaciones tienen diferentes áreas de validez. ^[12] Sin embargo, una aplicación bien conocida está bien establecida ^{[13] [14]} y verificada experimentalmente: ^{[15] [16]} la conexión entre la vida útil de un estado de resonancia y su ancho de energía : En física de partículas, los anchos de los ajustes experimentales a la distribución de energía de Breit-Wigner se utilizan para caracterizar la vida útil de estados cuasi estables o en descomposición. ^[17] $${\displaystyle \Delta E\Delta t\gtrsim \hbar /2,}$$ ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle \tau _{\sqrt {1/2}}}$ ${\displaystyle \Delta E}$ $${\displaystyle \tau _{\sqrt {1/2}}\Delta E=\pi \hbar /4.}$$

Un significado informal y heurístico del principio es el siguiente: ^[18] Un estado que solo existe por un corto tiempo no puede tener una energía definida. Para tener una energía definida, la frecuencia del estado debe definirse con precisión, y esto requiere que el estado se mantenga durante muchos ciclos, el recíproco de la precisión requerida. Por ejemplo, en espectroscopia , los estados excitados tienen una vida útil finita. Por el principio de incertidumbre tiempo-energía, no tienen una energía definida y, cada vez que se desintegran, la energía que liberan es ligeramente diferente. La energía promedio del fotón saliente tiene un pico en la energía teórica del estado, pero la distribución tiene un ancho finito llamado ancho de línea natural . Los estados de desintegración rápida tienen un ancho de línea amplio, mientras que los estados de desintegración lenta tienen un ancho de línea estrecho. ^[19] El mismo efecto del ancho de línea también dificulta especificar la masa en reposo de partículas inestables de desintegración rápida en física de partículas . Cuanto más rápido se desintegra la partícula (cuanto más corta es su vida), menos segura es su masa (cuanto mayor es el ancho de la partícula ).

El tiempo en la mecánica cuántica

El concepto de "tiempo" en mecánica cuántica presenta muchos desafíos. ^[20] No existe una teoría cuántica de medición del tiempo; la relatividad es fundamental para el tiempo y difícil de incluir en la mecánica cuántica. ^[12] Mientras que la posición y el momento están asociados con una sola partícula, el tiempo es una propiedad del sistema: no tiene ningún operador necesario para la relación de Robertson-Schrödinger. ^[1] El tratamiento matemático de los sistemas cuánticos estables e inestables difiere. ^[21] Estos factores se combinan para hacer que los principios de incertidumbre energía-tiempo sean controvertidos.

Se pueden distinguir tres nociones de "tiempo": ^[12] externo, intrínseco y observable. El tiempo externo o de laboratorio es el que ve el experimentador; el tiempo intrínseco se infiere a partir de cambios en variables dinámicas, como las manecillas de un reloj o el movimiento de una partícula libre; el tiempo observable se refiere al tiempo como algo observable, la medición de eventos separados en el tiempo.

Un principio de incertidumbre de energía-tiempo externo podría decir que medir la energía de un sistema cuántico con una precisión requiere un intervalo de tiempo . ^[14] Sin embargo, Yakir Aharonov y David Bohm ^{[22] [12]} han demostrado que, en algunos sistemas cuánticos, la energía se puede medir con precisión dentro de un tiempo arbitrariamente corto: los principios de incertidumbre de tiempo externo no son universales. ${\displaystyle \Delta E}$ ${\displaystyle \Delta t>h/\Delta E}$

El tiempo intrínseco es la base de varias formulaciones de relaciones de incertidumbre energía-tiempo, incluida la relación de Mandelstam-Tamm que se analiza en la siguiente sección. Un sistema físico con un tiempo intrínseco que coincide estrechamente con el tiempo externo del laboratorio se denomina "reloj". ^{[20] : 31}

El tiempo observable, que mide el tiempo entre dos eventos, sigue siendo un desafío para las teorías cuánticas; se han logrado algunos avances utilizando conceptos de medida con valores de operador positivos . ^[12]

Mandelstam–Tamm

En 1945, Leonid Mandelstam e Igor Tamm derivaron una relación de incertidumbre de tiempo-energía no relativista como sigue. ^{[23] [12] A partir de la mecánica de Heisenberg, el} teorema de Ehrenfest generalizado para un observable B sin dependencia temporal explícita, representado por un operador autoadjunto, relaciona la dependencia temporal del valor promedio de con el promedio de su conmutador con el hamiltoniano: ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

$${\displaystyle {\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}={\frac {i}{\hbar }}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle .}$$

El valor de se sustituye entonces en la relación de incertidumbre de Robertson por el operador de energía y : dando (siempre que el denominador no sea cero). Si bien este es un resultado universal, depende del observable elegido y de que las desviaciones y se calculen para un estado particular. La identificación de y el tiempo característico da una relación energía-tiempo Aunque tiene la dimensión del tiempo, es diferente del parámetro de tiempo t que entra en la ecuación de Schrödinger . Esto se puede interpretar como el tiempo para el cual el valor esperado del observable, cambia en una cantidad igual a una desviación estándar. ^[24] Ejemplos: ${\displaystyle \langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle \sigma _{H}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {H}},{\hat {B}}]\rangle \right|,}$$ $${\displaystyle \sigma _{H}{\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$ ${\displaystyle \sigma _{H}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}}$ ${\displaystyle \Delta E\equiv \sigma _{E}}$ $${\displaystyle \tau _{B}\equiv {\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}}$$ ${\displaystyle \Delta E\tau _{B}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$ ${\displaystyle \tau _{B}}$ ${\displaystyle \tau _{B}}$ ${\displaystyle \langle {\hat {B}}\rangle ,}$

• El tiempo que una partícula cuántica libre pasa por un punto en el espacio es más incierto ya que la energía del estado está controlada con mayor precisión: dado que la dispersión del tiempo está relacionada con la dispersión de la posición de la partícula y la dispersión de la energía está relacionada con la dispersión del momento, esta relación está directamente relacionada con la incertidumbre de la posición-momento. ^{[25] : 144} ${\displaystyle \Delta T=\hbar /2\Delta E.}$
• Una partícula delta , un compuesto cuasistible de quarks relacionados con protones y neutrones, tiene una vida útil de 10 ⁻²³  s, por lo que su masa medida equivalente a energía , 1232 MeV/ c ² , varía en ±120 MeV/ c ² ; esta variación es intrínseca y no causada por errores de medición. ^{[25] : 144}
• Dos estados de energía con energías superpuestas para crear un estado compuesto ${\displaystyle \psi _{1,2}}$ ${\displaystyle E_{1,2},}$

$${\displaystyle \Psi (x,t)=a\psi _{1}(x)e^{-iE_{1}t/h}+b\psi _{2}(x)e^{-iE_{2}t/h}.}$$

La amplitud de probabilidad de este estado tiene un término de interferencia dependiente del tiempo:

$${\displaystyle |\Psi (x,t)|^{2}=a^{2}|\psi _{1}(x)|^{2}+b^{2}|\psi _{2}(x)|^{2}+2ab\cos({\frac {E_{2}-E_{1}}{\hbar }}t).}$$

El período de oscilación varía inversamente con la diferencia de energía: . ^{[25] : 144} ${\displaystyle \tau =2\pi \hbar /(E_{2}-E_{1})}$

Cada ejemplo tiene un significado diferente para la incertidumbre temporal, según el observable y el estado utilizado.

Teoría cuántica de campos

Algunas formulaciones de la teoría cuántica de campos utilizan pares electrón-positrón temporales en sus cálculos, denominados partículas virtuales . La masa-energía y la duración de vida de estas partículas están relacionadas por la relación de incertidumbre energía-tiempo. La energía de un sistema cuántico no se conoce con la precisión suficiente como para limitar su comportamiento a una historia única y simple. Por lo tanto, la influencia de todas las historias debe incorporarse a los cálculos cuánticos, incluidas aquellas con mucha mayor o mucha menor energía que la media de la distribución de energía medida/calculada.

El principio de incertidumbre energía-tiempo no viola temporalmente la conservación de la energía ; no implica que la energía pueda ser "tomada prestada" del universo siempre que sea "devuelta" dentro de un corto período de tiempo. ^{[25] : 145} La energía del universo no es un parámetro exactamente conocido en todo momento. ^[1] Cuando los eventos ocurren en intervalos de tiempo muy cortos, hay incertidumbre en la energía de estos eventos.

Incertidumbre cuántica intrínseca

Históricamente, el principio de incertidumbre se ha confundido ^{[26] [27]} con un efecto relacionado en física , llamado efecto del observador , que señala que las mediciones de ciertos sistemas no se pueden realizar sin afectar al sistema, ^{[28] [29]} es decir, sin cambiar algo en un sistema. Heisenberg utilizó dicho efecto del observador a nivel cuántico (ver más abajo) como una "explicación" física de la incertidumbre cuántica. ^[30] Sin embargo, desde entonces ha quedado más claro que el principio de incertidumbre es inherente a las propiedades de todos los sistemas ondulatorios , ^[31] y que surge en la mecánica cuántica simplemente debido a la naturaleza ondulatoria de la materia de todos los objetos cuánticos. ^[32] Por lo tanto, el principio de incertidumbre en realidad establece una propiedad fundamental de los sistemas cuánticos y no es una declaración sobre el éxito observacional de la tecnología actual. ^[33]

Formalismo matemático

Partiendo de la derivación de Kennard de la incertidumbre de posición-momento, Howard Percy Robertson desarrolló ^{[34] [1]} una formulación para operadores hermíticos arbitrarios expresados ​​en términos de su desviación estándar, donde los corchetes indican un valor esperado . Para un par de operadores y , defina su conmutador como ${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$ $${\displaystyle \sigma _{\mathcal {O}}={\sqrt {\langle {\hat {\mathcal {O}}}^{2}\rangle -\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle ^{2}}},}$$ ${\displaystyle \langle {\mathcal {O}}\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}},}$$

y la relación de incertidumbre de Robertson está dada por $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|,}$$

Erwin Schrödinger ^[35] mostró cómo permitir la correlación entre los operadores, dando una desigualdad más fuerte, conocida como la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger , ^{[36] [1]}

${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|^{2},}$

donde se utiliza el anticonmutador . ${\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}}$

Prueba de la relación de incertidumbre de Schrödinger

La derivación que se muestra aquí incorpora y se basa en las que se muestran en Robertson, ^[34] Schrödinger ^[36] y libros de texto estándar como Griffiths. ^{[25] : 138} Para cualquier operador hermítico , basado en la definición de varianza , tenemos que y por lo tanto ${\displaystyle {\hat {A}}}$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle .}$$ ${\displaystyle |f\rangle =|({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle }$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle f\mid f\rangle \,.}$$

De manera similar, para cualquier otro operador hermítico en el mismo estado para ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle ({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle =\langle g\mid g\rangle }$$ ${\displaystyle |g\rangle =|({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle .}$

El producto de las dos desviaciones puede entonces expresarse como

Para relacionar los dos vectores y , utilizamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz ^[37] que se define como y por lo tanto la ecuación ( 1 ) se puede escribir como ${\displaystyle |f\rangle }$ ${\displaystyle |g\rangle }$ $${\displaystyle \langle f\mid f\rangle \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2},}$$

Como es en general un número complejo, utilizamos el hecho de que el módulo al cuadrado de cualquier número complejo se define como , donde es el conjugado complejo de . El módulo al cuadrado también se puede expresar como ${\displaystyle \langle f\mid g\rangle }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|^{2}=zz^{*}}$ ${\displaystyle z^{*}}$ ${\displaystyle z}$

Dejamos y y sustituimos estos en la ecuación anterior para obtener ${\displaystyle z=\langle f\mid g\rangle }$ ${\displaystyle z^{*}=\langle g\mid f\rangle }$

El producto interno se escribe explícitamente como y utilizando el hecho de que y son operadores hermíticos, encontramos ${\displaystyle \langle f\mid g\rangle }$ $${\displaystyle \langle f\mid g\rangle =\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle ,}$$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle &=\langle \Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle -{\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid {\hat {A}}{\hat {B}}\Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle \Psi \rangle +\langle \Psi \mid \langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .\end{aligned}}}$$

De manera similar se puede demostrar que ${\displaystyle \langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .}$

Así pues, tenemos y $${\displaystyle \langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle }$$ $${\displaystyle \langle f\mid g\rangle +\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -2\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .}$$

Ahora sustituimos las dos ecuaciones anteriores en la ecuación ( 4 ) y obtenemos $${\displaystyle |\langle f\mid g\rangle |^{2}={\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}\,.}$$

Sustituyendo lo anterior en la ecuación ( 2 ) obtenemos la relación de incertidumbre de Schrödinger $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\sqrt {{\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}}}.}$$

Esta prueba tiene un problema ^[38] relacionado con los dominios de los operadores involucrados. Para que la prueba tenga sentido, el vector tiene que estar en el dominio del operador ilimitado , lo que no siempre es el caso. De hecho, la relación de incertidumbre de Robertson es falsa si es una variable angular y es la derivada con respecto a esta variable. En este ejemplo, el conmutador es una constante distinta de cero, al igual que en la relación de incertidumbre de Heisenberg, y sin embargo hay estados donde el producto de las incertidumbres es cero. ^[39] (Véase la sección de contraejemplos a continuación). Este problema se puede superar utilizando un método variacional para la prueba, ^{[40] [41]} o trabajando con una versión exponencial de las relaciones de conmutación canónicas. ^[39] ${\displaystyle {\hat {B}}|\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Obsérvese que en la forma general de la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger no es necesario suponer que los operadores y son operadores autoadjuntos . Basta con suponer que son simplemente operadores simétricos . (La distinción entre estas dos nociones generalmente se pasa por alto en la literatura de física, donde se utiliza el término hermítico para una o ambas clases de operadores. Véase el Capítulo 9 del libro de Hall ^[42] para una discusión detallada de esta distinción importante pero técnica). ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Estados mixtos

La relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger puede generalizarse de manera sencilla para describir estados mixtos . $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}.}$$

Las relaciones de incertidumbre de Maccone-Pati

La relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger puede ser trivial si se elige que el estado del sistema sea el estado propio de uno de los observables. Las relaciones de incertidumbre más fuertes probadas por Lorenzo Maccone y Arun K. Pati dan límites no triviales a la suma de las varianzas para dos observables incompatibles. ^[43] (Trabajos anteriores sobre relaciones de incertidumbre formuladas como la suma de varianzas incluyen, por ejemplo, Ref. ^[44] debido a Yichen Huang). Para dos observables no conmutativos y la primera relación de incertidumbre más fuerte viene dada por donde , , es un vector normalizado que es ortogonal al estado del sistema y se debe elegir el signo de para hacer de esta cantidad real un número positivo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq \pm i\langle \Psi \mid [A,B]|\Psi \rangle +\mid \langle \Psi \mid (A\pm iB)\mid {\bar {\Psi }}\rangle |^{2},}$$ ${\displaystyle \sigma _{A}^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid A\mid \Psi \rangle ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid B\mid \Psi \rangle ^{2}}$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \pm i\langle \Psi \mid [A,B]\mid \Psi \rangle }$

La segunda relación de incertidumbre más fuerte viene dada por donde es un estado ortogonal a . La forma de implica que el lado derecho de la nueva relación de incertidumbre es distinto de cero a menos que sea un estado propio de . Se puede observar que puede ser un estado propio de sin ser un estado propio de ninguno de los dos o . Sin embargo, cuando es un estado propio de uno de los dos observables, la relación de incertidumbre de Heisenberg-Schrödinger se vuelve trivial. Pero el límite inferior en la nueva relación es distinto de cero a menos que sea un estado propio de ambos. $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}\mid (A+B)\mid \Psi \rangle |^{2}}$$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle (A+B)}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle (A+B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Mejora de la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger basada en descomposiciones de la matriz de densidad

La incertidumbre de Robertson-Schrödinger se puede mejorar notando que debe cumplirse para todos los componentes en cualquier descomposición de la matriz de densidad dada como Aquí, para las probabilidades y se cumplen. Luego, usando la relación para , se deduce que ^[45] donde la función en el límite está definida La relación anterior muy a menudo tiene un límite mayor que el de la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger original. Por lo tanto, necesitamos calcular el límite de la incertidumbre de Robertson-Schrödinger para los componentes mixtos del estado cuántico en lugar de para el estado cuántico, y calcular un promedio de sus raíces cuadradas. La siguiente expresión es más fuerte que la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger donde en el lado derecho hay un techo cóncavo sobre las descomposiciones de la matriz de densidad. La relación mejorada anterior está saturada por todos los estados cuánticos de un solo cúbit. ^[45] ${\displaystyle \varrho _{k}}$ $${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\varrho _{k}.}$$ ${\displaystyle p_{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1}$ $${\displaystyle \sum _{k}a_{k}\sum _{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k}{\sqrt {a_{k}b_{k}}}\right)^{2}}$$ ${\displaystyle a_{k},b_{k}\geq 0}$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$ $${\displaystyle L(\varrho )={\sqrt {\left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}}}.}$$ $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\max _{p_{k},\varrho _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},}$$

Con argumentos similares, se puede derivar una relación con un techo convexo en el lado derecho ^[45] donde denota la información cuántica de Fisher y la matriz de densidad se descompone en estados puros como La derivación aprovecha el hecho de que la información cuántica de Fisher es el techo convexo de la varianza multiplicada por cuatro. ^{[46] [47]} $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq 4\left[\min _{p_{k},\Psi _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert )\right]^{2}}$$ ${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]}$ $${\displaystyle \varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert .}$$

Se sigue una desigualdad más simple sin techo convexo ^[48] que es más fuerte que la relación de incertidumbre de Heisenberg, ya que para la información cuántica de Fisher tenemos mientras que para los estados puros la igualdad se cumple. $${\displaystyle \sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq \vert \langle i[A,B]\rangle \vert ^{2},}$$ $${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,B]\leq 4\sigma _{B},}$$

Espacio de fases

En la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, la relación de Robertson-Schrödinger se deduce de una condición de positividad en una función estrella-cuadrada real. Dada una función de Wigner con producto estrella ★ y una función f , lo siguiente es generalmente cierto: ^[49] ${\displaystyle W(x,p)}$ $${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle =\int (f^{*}\star f)\,W(x,p)\,dx\,dp\geq 0~.}$$

Eligiendo , llegamos a ${\displaystyle f=a+bx+cp}$ $${\displaystyle \langle f^{*}\star f\rangle ={\begin{bmatrix}a^{*}&b^{*}&c^{*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\geq 0~.}$$

Como esta condición de positividad es verdadera para todos a , b y c , se deduce que todos los valores propios de la matriz son no negativos.

Los valores propios no negativos implican entonces una condición de no negatividad correspondiente en el determinante o , explícitamente, después de una manipulación algebraica, $${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x^{2}\rangle &\left\langle xp+{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle \\\langle p\rangle &\left\langle xp-{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle &\langle p^{2}\rangle \end{bmatrix}}\geq 0~,}$$ $${\displaystyle \sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\left(\langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}\right)\left(\langle p^{2}\rangle -\langle p\rangle ^{2}\right)\geq \left(\langle xp\rangle -\langle x\rangle \langle p\rangle \right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{4}}~.}$$

Ejemplos

Dado que las relaciones de Robertson y Schrödinger se aplican a operadores generales, se pueden aplicar a dos observables cualesquiera para obtener relaciones de incertidumbre específicas. A continuación se presentan algunas de las relaciones más comunes que se encuentran en la literatura.

• Relación de incertidumbre entre posición y momento lineal : para los operadores de posición y momento lineal, la relación de conmutación canónica implica la desigualdad de Kennard de arriba: ${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar }$ $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.}$$
• Relación de incertidumbre del momento angular : Para dos componentes ortogonales del operador de momento angular total de un objeto: donde i , j , k son distintos, y J _i denota el momento angular a lo largo del eje x _i . Esta relación implica que a menos que los tres componentes se anulen juntos, solo un único componente del momento angular de un sistema puede definirse con precisión arbitraria, normalmente el componente paralelo a un campo externo (magnético o eléctrico). Además, para , una elección , , en multipletes de momento angular, ψ = | j , m ⟩, limita el invariante de Casimir (momento angular al cuadrado, ) desde abajo y, por lo tanto, produce restricciones útiles como j ( j + 1) ≥ m ( m + 1) , y, por lo tanto, j ≥ m , entre otras. $${\displaystyle \sigma _{J_{i}}\sigma _{J_{j}}\geq {\frac {\hbar }{2}}{\big |}\langle J_{k}\rangle {\big |},}$$ ${\displaystyle [J_{x},J_{y}]=i\hbar \varepsilon _{xyz}J_{z}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}=J_{x}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}=J_{y}}$ ${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle }$

• Para el número de electrones en un superconductor y la fase de su parámetro de orden Ginzburg-Landau ^{[50] [51]} $${\displaystyle \Delta N\,\Delta \varphi \geq 1.}$$

Limitaciones

La derivación de la desigualdad de Robertson para los operadores y requiere que se definan y . Hay sistemas cuánticos donde estas condiciones no son válidas. ^[52] Un ejemplo es una partícula cuántica en un anillo , donde la función de onda depende de una variable angular en el intervalo . Defina los operadores de "posición" y "momento" y por y con condiciones de contorno periódicas en . La definición de depende del rango de 0 a . Estos operadores satisfacen las relaciones de conmutación habituales para los operadores de posición y momento, . Más precisamente, siempre que tanto y estén definidos, y el espacio de tales es un subespacio denso del espacio cuántico de Hilbert. ^[53] ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ $${\displaystyle {\hat {A}}\psi (\theta )=\theta \psi (\theta ),\quad \theta \in [0,2\pi ],}$$ $${\displaystyle {\hat {B}}\psi =-i\hbar {\frac {d\psi }{d\theta }},}$$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]=i\hbar }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi =i\hbar \psi }$ ${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {B}}\psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}\psi }$ ${\displaystyle \psi }$

Sea ahora cualquiera de los estados propios de , que están dados por . Estos estados son normalizables, a diferencia de los estados propios del operador de momento en la línea. Además, el operador está acotado, ya que varía en un intervalo acotado. Por lo tanto, en el estado , la incertidumbre de es cero y la incertidumbre de es finita, de modo que El principio de incertidumbre de Robertson no se aplica en este caso: no está en el dominio del operador , ya que la multiplicación por altera las condiciones de contorno periódicas impuestas a . ^[39] ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ${\displaystyle \psi (\theta )=e^{2\pi in\theta }}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}=0.}$$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {B}}{\hat {A}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

Para los operadores de posición y momento habituales y en la línea real, no pueden darse tales contraejemplos. Mientras y estén definidos en el estado , se cumple el principio de incertidumbre de Heisenberg, incluso si no está en el dominio de o de . ^[54] ${\displaystyle {\hat {X}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle \sigma _{x}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {X}}{\hat {P}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}{\hat {X}}}$

Relaciones de incertidumbre adicionales

Límite de Heisenberg

En metrología cuántica , y especialmente en interferometría , el límite de Heisenberg es la tasa óptima a la que la precisión de una medición puede escalar con la energía utilizada en la medición. Normalmente, se trata de la medición de una fase (aplicada a un brazo de un divisor de haz ) y la energía viene dada por el número de fotones utilizados en un interferómetro . Aunque algunos afirman haber roto el límite de Heisenberg, esto refleja un desacuerdo sobre la definición del recurso de escala. ^[55] Definido adecuadamente, el límite de Heisenberg es una consecuencia de los principios básicos de la mecánica cuántica y no se puede superar, aunque sí se puede superar el límite débil de Heisenberg. ^[56]

Errores sistemáticos y estadísticos

Las desigualdades anteriores se centran en la imprecisión estadística de los observables cuantificados por la desviación estándar . Sin embargo, la versión original de Heisenberg se ocupaba del error sistemático , una perturbación del sistema cuántico producida por el aparato de medición, es decir, un efecto del observador. ${\displaystyle \sigma }$

Si representamos el error (es decir, la inexactitud ) de una medición de un observable A y la perturbación producida en una medición posterior de la variable conjugada B por la medición anterior de A , entonces la desigualdad propuesta por Ozawa, que abarca tanto los errores sistemáticos como los estadísticos, se cumple: ^[27] ${\displaystyle \varepsilon _{A}}$ ${\displaystyle \eta _{B}}$

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

El principio de incertidumbre de Heisenberg, tal como se describió originalmente en la formulación de 1927, menciona solo el primer término de la desigualdad de Ozawa, en relación con el error sistemático . Si se utiliza la notación anterior para describir el efecto de error/perturbación de las mediciones secuenciales (primero A , luego B ), se podría escribir como

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\eta _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

La derivación formal de la relación de Heisenberg es posible pero lejos de ser intuitiva. No fue propuesta por Heisenberg, sino formulada de manera matemáticamente consistente solo en años recientes. ^{[57] [58]} Además, debe enfatizarse que la formulación de Heisenberg no tiene en cuenta los errores estadísticos intrínsecos y . Hay cada vez más evidencia experimental ^{[31] [59] [60] [61]} de que la incertidumbre cuántica total no puede describirse solo por el término de Heisenberg, sino que requiere la presencia de los tres términos de la desigualdad de Ozawa. ${\displaystyle \sigma _{A}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}}$

Utilizando el mismo formalismo, ^[1] también es posible introducir el otro tipo de situación física, a menudo confundida con la anterior, es decir el caso de medidas simultáneas ( A y B al mismo tiempo):

${\displaystyle \varepsilon _{A}\,\varepsilon _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

Las dos mediciones simultáneas en A y B son necesariamente ^[62] poco nítidas o débiles .

También es posible derivar una relación de incertidumbre que, como la de Ozawa, combina los componentes de error estadístico y sistemático, pero mantiene una forma muy cercana a la desigualdad original de Heisenberg. Añadiendo Robertson ^[1]

${\displaystyle \sigma _{A}\,\sigma _{B}\,\geq \,{\frac {1}{2}}\,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

y las relaciones de Ozawa obtenemos Los cuatro términos se pueden escribir como: Definiendo: como la inexactitud en los valores medidos de la variable A y como la fluctuación resultante en la variable conjugada B , Kazuo Fujikawa ^[63] estableció una relación de incertidumbre similar a la original de Heisenberg, pero válida tanto para errores sistemáticos como estadísticos : $${\displaystyle \varepsilon _{A}\eta _{B}+\varepsilon _{A}\,\sigma _{B}+\sigma _{A}\,\eta _{B}+\sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|.}$$ $${\displaystyle (\varepsilon _{A}+\sigma _{A})\,(\eta _{B}+\sigma _{B})\,\geq \,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|.}$$ $${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{A}\,\equiv \,(\varepsilon _{A}+\sigma _{A})}$$ $${\displaystyle {\bar {\eta }}_{B}\,\equiv \,(\eta _{B}+\sigma _{B})}$$

${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{A}\,{\bar {\eta }}_{B}\,\geq \,\left|{\Bigl \langle }{\bigl [}{\hat {A}},{\hat {B}}{\bigr ]}{\Bigr \rangle }\right|}$

Principio de incertidumbre entrópica cuántica

Para muchas distribuciones, la desviación estándar no es una forma particularmente natural de cuantificar la estructura. Por ejemplo, las relaciones de incertidumbre en las que uno de los observables es un ángulo tienen poco significado físico para fluctuaciones mayores a un período. ^{[41] [64] [65] [66]} Otros ejemplos incluyen distribuciones altamente bimodales o distribuciones unimodales con varianza divergente.

A solution that overcomes these issues is an uncertainty based on entropic uncertainty instead of the product of variances. While formulating the many-worlds interpretation of quantum mechanics in 1957, Hugh Everett III conjectured a stronger extension of the uncertainty principle based on entropic certainty.^[67] This conjecture, also studied by I. I. Hirschman^[68] and proven in 1975 by W. Beckner^[69] and by Iwo Bialynicki-Birula and Jerzy Mycielski^[70] is that, for two normalized, dimensionless Fourier transform pairs f(a) and g(b) where

${\displaystyle f(a)=\int _{-\infty }^{\infty }g(b)\ e^{2\pi iab}\,db}$    and     ${\displaystyle \,\,\,g(b)=\int _{-\infty }^{\infty }f(a)\ e^{-2\pi iab}\,da}$

the Shannon information entropies $${\displaystyle H_{a}=\int _{-\infty }^{\infty }f(a)\log(f(a))\,da,}$$and $${\displaystyle H_{b}=\int _{-\infty }^{\infty }g(b)\log(g(b))\,db}$$are subject to the following constraint,

${\displaystyle H_{a}+H_{b}\geq \log(e/2)}$

where the logarithms may be in any base.

The probability distribution functions associated with the position wave function ψ(x) and the momentum wave function φ(x) have dimensions of inverse length and momentum respectively, but the entropies may be rendered dimensionless by $${\displaystyle H_{x}=-\int |\psi (x)|^{2}\ln \left(x_{0}\,|\psi (x)|^{2}\right)dx=-\left\langle \ln \left(x_{0}\,\left|\psi (x)\right|^{2}\right)\right\rangle }$$ $${\displaystyle H_{p}=-\int |\varphi (p)|^{2}\ln(p_{0}\,|\varphi (p)|^{2})\,dp=-\left\langle \ln(p_{0}\left|\varphi (p)\right|^{2})\right\rangle }$$where x₀ and p₀ are some arbitrarily chosen length and momentum respectively, which render the arguments of the logarithms dimensionless. Note that the entropies will be functions of these chosen parameters. Due to the Fourier transform relation between the position wave function ψ(x) and the momentum wavefunction φ(p), the above constraint can be written for the corresponding entropies as

${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e\,h}{2\,x_{0}\,p_{0}}}\right)}$

where h is the Planck constant.

Depending on one's choice of the x₀ p₀ product, the expression may be written in many ways. If x₀ p₀ is chosen to be h, then $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e}{2}}\right)}$$

If, instead, x₀ p₀ is chosen to be ħ, then $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log(e\,\pi )}$$

If x₀ and p₀ are chosen to be unity in whatever system of units are being used, then $${\displaystyle H_{x}+H_{p}\geq \log \left({\frac {e\,h}{2}}\right)}$$where h is interpreted as a dimensionless number equal to the value of the Planck constant in the chosen system of units. Note that these inequalities can be extended to multimode quantum states, or wavefunctions in more than one spatial dimension.^[71]

The quantum entropic uncertainty principle is more restrictive than the Heisenberg uncertainty principle. From the inverse logarithmic Sobolev inequalities^[72] $${\displaystyle H_{x}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{x}^{2}/x_{0}^{2})~,}$$ $${\displaystyle H_{p}\leq {\frac {1}{2}}\log(2e\pi \sigma _{p}^{2}/p_{0}^{2})~,}$$(equivalently, from the fact that normal distributions maximize the entropy of all such with a given variance), it readily follows that this entropic uncertainty principle is stronger than the one based on standard deviations, because $${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}\exp \left(H_{x}+H_{p}-\log \left({\frac {e\,h}{2\,x_{0}\,p_{0}}}\right)\right)\geq {\frac {\hbar }{2}}~.}$$

In other words, the Heisenberg uncertainty principle, is a consequence of the quantum entropic uncertainty principle, but not vice versa. A few remarks on these inequalities. First, the choice of base e is a matter of popular convention in physics. The logarithm can alternatively be in any base, provided that it be consistent on both sides of the inequality. Second, recall the Shannon entropy has been used, not the quantum von Neumann entropy. Finally, the normal distribution saturates the inequality, and it is the only distribution with this property, because it is the maximum entropy probability distribution among those with fixed variance (cf. here for proof).

A measurement apparatus will have a finite resolution set by the discretization of its possible outputs into bins, with the probability of lying within one of the bins given by the Born rule. We will consider the most common experimental situation, in which the bins are of uniform size. Let δx be a measure of the spatial resolution. We take the zeroth bin to be centered near the origin, with possibly some small constant offset c. The probability of lying within the jth interval of width δx is $${\displaystyle \operatorname {P} [x_{j}]=\int _{(j-1/2)\delta x-c}^{(j+1/2)\delta x-c}|\psi (x)|^{2}\,dx}$$

To account for this discretization, we can define the Shannon entropy of the wave function for a given measurement apparatus as $${\displaystyle H_{x}=-\sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatorname {P} [x_{j}]\ln \operatorname {P} [x_{j}].}$$

Under the above definition, the entropic uncertainty relation is $${\displaystyle H_{x}+H_{p}>\ln \left({\frac {e}{2}}\right)-\ln \left({\frac {\delta x\delta p}{h}}\right).}$$

Here we note that δx δp/h is a typical infinitesimal phase space volume used in the calculation of a partition function. The inequality is also strict and not saturated. Efforts to improve this bound are an active area of research.

Uncertainty relation with three angular momentum components

For a particle of total angular momentum ${\displaystyle j}$ the following uncertainty relation holds $${\displaystyle \sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+\sigma _{J_{z}}^{2}\geq j,}$$where ${\displaystyle J_{l}}$ are angular momentum components. The relation can be derived from $${\displaystyle \langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle =j(j+1),}$$and $${\displaystyle \langle J_{x}\rangle ^{2}+\langle J_{y}\rangle ^{2}+\langle J_{z}\rangle ^{2}\leq j.}$$The relation can be strengthened as^[45][73] $${\displaystyle \sigma _{J_{x}}^{2}+\sigma _{J_{y}}^{2}+F_{Q}[\varrho ,J_{z}]/4\geq j,}$$where ${\displaystyle F_{Q}[\varrho ,J_{z}]}$ is the quantum Fisher information.

Harmonic analysis

In the context of harmonic analysis, a branch of mathematics, the uncertainty principle implies that one cannot at the same time localize the value of a function and its Fourier transform. To wit, the following inequality holds, $${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq {\frac {\|f\|_{2}^{4}}{16\pi ^{2}}}.}$$

Further mathematical uncertainty inequalities, including the above entropic uncertainty, hold between a function f and its Fourier transform ƒ̂:^[74][75][76] $${\displaystyle H_{x}+H_{\xi }\geq \log(e/2)}$$

Signal processing

In the context of signal processing, and in particular time–frequency analysis, uncertainty principles are referred to as the Gabor limit, after Dennis Gabor, or sometimes the Heisenberg–Gabor limit. The basic result, which follows from "Benedicks's theorem", below, is that a function cannot be both time limited and band limited (a function and its Fourier transform cannot both have bounded domain)—see bandlimited versus timelimited. More accurately, the time-bandwidth or duration-bandwidth product satisfies $${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},t}\cdot \sigma _{{\text{energy}},f}\geq {\frac {1}{4\pi }}\approx 0.08{\text{ cycles}},}$$where ${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},t}}$ and ${\displaystyle \sigma _{{\text{energy}},f}}$ are the standard deviations of the time and frequency energy or power (i.e. squared) representations respectively.^[77] The minimum is attained for a Gaussian-shaped pulse (Gabor wavelet) [For the un-squared Gaussian (i.e. signal amplitude) and its un-squared Fourier transform magnitude ${\displaystyle \sigma _{t}\sigma _{f}=1/2\pi }$; squaring reduces each ${\displaystyle \sigma }$ by a factor ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.] Another common measure is the product of the time and frequency full width at half maximum (of the power/energy), which for the Gaussian equals ${\displaystyle 2\ln 2/\pi \approx 0.44}$ (see bandwidth-limited pulse).

Stated alternatively, "One cannot simultaneously sharply localize a signal (function f) in both the time domain and frequency domain (ƒ̂, its Fourier transform)".

When applied to filters, the result implies that one cannot achieve high temporal resolution and frequency resolution at the same time; a concrete example are the resolution issues of the short-time Fourier transform—if one uses a wide window, one achieves good frequency resolution at the cost of temporal resolution, while a narrow window has the opposite trade-off.

Alternate theorems give more precise quantitative results, and, in time–frequency analysis, rather than interpreting the (1-dimensional) time and frequency domains separately, one instead interprets the limit as a lower limit on the support of a function in the (2-dimensional) time–frequency plane. In practice, the Gabor limit limits the simultaneous time–frequency resolution one can achieve without interference; it is possible to achieve higher resolution, but at the cost of different components of the signal interfering with each other.

As a result, in order to analyze signals where the transients are important, the wavelet transform is often used instead of the Fourier.

Discrete Fourier transform

Let ${\displaystyle \left\{\mathbf {x_{n}} \right\}:=x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ be a sequence of N complex numbers and ${\displaystyle \left\{\mathbf {X_{k}} \right\}:=X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1},}$ be its discrete Fourier transform.

Denote by ${\displaystyle \|x\|_{0}}$ the number of non-zero elements in the time sequence ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{N-1}}$ and by ${\displaystyle \|X\|_{0}}$ the number of non-zero elements in the frequency sequence ${\displaystyle X_{0},X_{1},\ldots ,X_{N-1}}$. Then, $${\displaystyle \|x\|_{0}\cdot \|X\|_{0}\geq N.}$$

This inequality is sharp, with equality achieved when x or X is a Dirac mass, or more generally when x is a nonzero multiple of a Dirac comb supported on a subgroup of the integers modulo N (in which case X is also a Dirac comb supported on a complementary subgroup, and vice versa).

More generally, if T and W are subsets of the integers modulo N, let ${\displaystyle L_{T},R_{W}:\ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )\to \ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$ denote the time-limiting operator and band-limiting operators, respectively. Then $${\displaystyle \|L_{T}R_{W}\|^{2}\leq {\frac {|T||W|}{|G|}}}$$where the norm is the operator norm of operators on the Hilbert space ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )}$ of functions on the integers modulo N. This inequality has implications for signal reconstruction.^[78]

When N is a prime number, a stronger inequality holds: $${\displaystyle \|x\|_{0}+\|X\|_{0}\geq N+1.}$$Discovered by Terence Tao, this inequality is also sharp.^[79]

Benedicks's theorem

Amrein–Berthier^[80] and Benedicks's theorem^[81] intuitively says that the set of points where f is non-zero and the set of points where ƒ̂ is non-zero cannot both be small.

Specifically, it is impossible for a function f in L²(R) and its Fourier transform ƒ̂ to both be supported on sets of finite Lebesgue measure. A more quantitative version is^[82][83] $${\displaystyle \|f\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{d})}\leq Ce^{C|S||\Sigma |}{\bigl (}\|f\|_{L^{2}(S^{c})}+\|{\hat {f}}\|_{L^{2}(\Sigma ^{c})}{\bigr )}~.}$$

One expects that the factor Ce^C|S||Σ| may be replaced by Ce^{C(|S||Σ|)1/d}, which is only known if either S or Σ is convex.

Hardy's uncertainty principle

The mathematician G. H. Hardy formulated the following uncertainty principle:^[84] it is not possible for f and ƒ̂ to both be "very rapidly decreasing". Specifically, if f in ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ is such that $${\displaystyle |f(x)|\leq C(1+|x|)^{N}e^{-a\pi x^{2}}}$$and $${\displaystyle |{\hat {f}}(\xi )|\leq C(1+|\xi |)^{N}e^{-b\pi \xi ^{2}}}$$ ( ${\displaystyle C>0,N}$ an integer), then, if ab > 1, f = 0, while if ab = 1, then there is a polynomial P of degree ≤ N such that $${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-a\pi x^{2}}.}$$

This was later improved as follows: if ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$ is such that $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}\int _{\mathbb {R} ^{d}}|f(x)||{\hat {f}}(\xi )|{\frac {e^{\pi |\langle x,\xi \rangle |}}{(1+|x|+|\xi |)^{N}}}\,dx\,d\xi <+\infty ~,}$$then $${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-\pi \langle Ax,x\rangle }~,}$$where P is a polynomial of degree (N − d)/2 and A is a real d × d positive definite matrix.

This result was stated in Beurling's complete works without proof and proved in Hörmander^[85] (the case ${\displaystyle d=1,N=0}$) and Bonami, Demange, and Jaming^[86] for the general case. Note that Hörmander–Beurling's version implies the case ab > 1 in Hardy's Theorem while the version by Bonami–Demange–Jaming covers the full strength of Hardy's Theorem. A different proof of Beurling's theorem based on Liouville's theorem appeared in ref.^[87]

A full description of the case ab < 1 as well as the following extension to Schwartz class distributions appears in ref.^[88]

Theorem —  If a tempered distribution ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})}$ is such that $${\displaystyle e^{\pi |x|^{2}}f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})}$$and $${\displaystyle e^{\pi |\xi |^{2}}{\hat {f}}\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d})~,}$$then $${\displaystyle f(x)=P(x)e^{-\pi \langle Ax,x\rangle }~,}$$for some convenient polynomial P and real positive definite matrix A of type d × d.

History

In 1925 Heisenberg published the Umdeutung (reinterpretation) paper where he showed that central aspect of quantum theory was the non-commutativity: the theory implied that the relative order of position and momentum measurement was significant. Working with Max Born and Pascual Jordan, he continued to develop matrix mechanics, that would become the first modern quantum mechanics formulation.^[89]

Werner Heisenberg and Niels Bohr

In March 1926, working in Bohr's institute, Heisenberg realized that the non-commutativity implies the uncertainty principle. Writing to Wolfgang Pauli in February 1927, he worked out the basic concepts.^[90]

In his celebrated 1927 paper "Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik" ("On the Perceptual Content of Quantum Theoretical Kinematics and Mechanics"), Heisenberg established this expression as the minimum amount of unavoidable momentum disturbance caused by any position measurement,^[2] but he did not give a precise definition for the uncertainties Δx and Δp. Instead, he gave some plausible estimates in each case separately. His paper gave an analysis in terms of a microscope that Bohr showed was incorrect; Heisenberg included an addendum to the publication.

In his 1930 Chicago lecture^[91] he refined his principle:

Later work broadened the concept. Any two variables that do not commute cannot be measured simultaneously—the more precisely one is known, the less precisely the other can be known. Heisenberg wrote:

It can be expressed in its simplest form as follows: One can never know with perfect accuracy both of those two important factors which determine the movement of one of the smallest particles—its position and its velocity. It is impossible to determine accurately both the position and the direction and speed of a particle at the same instant.^[92]

Kennard^{[6][1]: 204} in 1927 first proved the modern inequality:

where ħ = ⁠h/2π⁠, and σ_x, σ_p are the standard deviations of position and momentum. (Heisenberg only proved relation (A2) for the special case of Gaussian states.^[91]) In 1929 Robertson generalized the inequality to all observables and in 1930 Schrödinger extended the form to allow non-zero covariance of the operators; this result is referred to as Robertson-Schrödinger inequality.^[1]: 204

Terminology and translation

Throughout the main body of his original 1927 paper, written in German, Heisenberg used the word "Ungenauigkeit",^[2]to describe the basic theoretical principle. Only in the endnote did he switch to the word "Unsicherheit". Later on, he always used "Unbestimmtheit". When the English-language version of Heisenberg's textbook, The Physical Principles of the Quantum Theory, was published in 1930, however, only the English word "uncertainty" was used, and it became the term in the English language.^[93]

Heisenberg's microscope

Heisenberg's gamma-ray microscope for locating an electron (shown in blue). The incoming gamma ray (shown in green) is scattered by the electron up into the microscope's aperture angle θ. The scattered gamma-ray is shown in red. Classical optics shows that the electron position can be resolved only up to an uncertainty Δx that depends on θ and the wavelength λ of the incoming light.

The principle is quite counter-intuitive, so the early students of quantum theory had to be reassured that naive measurements to violate it were bound always to be unworkable. One way in which Heisenberg originally illustrated the intrinsic impossibility of violating the uncertainty principle is by using the observer effect of an imaginary microscope as a measuring device.^[91]

He imagines an experimenter trying to measure the position and momentum of an electron by shooting a photon at it.^{[94]: 49–50}

• Problem 1 – If the photon has a short wavelength, and therefore, a large momentum, the position can be measured accurately. But the photon scatters in a random direction, transferring a large and uncertain amount of momentum to the electron. If the photon has a long wavelength and low momentum, the collision does not disturb the electron's momentum very much, but the scattering will reveal its position only vaguely.
• Problem 2 – If a large aperture is used for the microscope, the electron's location can be well resolved (see Rayleigh criterion); but by the principle of conservation of momentum, the transverse momentum of the incoming photon affects the electron's beamline momentum and hence, the new momentum of the electron resolves poorly. If a small aperture is used, the accuracy of both resolutions is the other way around.

The combination of these trade-offs implies that no matter what photon wavelength and aperture size are used, the product of the uncertainty in measured position and measured momentum is greater than or equal to a lower limit, which is (up to a small numerical factor) equal to the Planck constant.^[95] Heisenberg did not care to formulate the uncertainty principle as an exact limit, and preferred to use it instead, as a heuristic quantitative statement, correct up to small numerical factors, which makes the radically new noncommutativity of quantum mechanics inevitable.

Critical reactions

The Copenhagen interpretation of quantum mechanics and Heisenberg's uncertainty principle were, in fact, initially seen as twin targets by detractors. According to the Copenhagen interpretation of quantum mechanics, there is no fundamental reality that the quantum state describes, just a prescription for calculating experimental results. There is no way to say what the state of a system fundamentally is, only what the result of observations might be.

Albert Einstein believed that randomness is a reflection of our ignorance of some fundamental property of reality, while Niels Bohr believed that the probability distributions are fundamental and irreducible, and depend on which measurements we choose to perform. Einstein and Bohr debated the uncertainty principle for many years.

Ideal detached observer

Wolfgang Pauli called Einstein's fundamental objection to the uncertainty principle "the ideal of the detached observer" (phrase translated from the German):

"Like the moon has a definite position" Einstein said to me last winter, "whether or not we look at the moon, the same must also hold for the atomic objects, as there is no sharp distinction possible between these and macroscopic objects. Observation cannot create an element of reality like a position, there must be something contained in the complete description of physical reality which corresponds to the possibility of observing a position, already before the observation has been actually made." I hope, that I quoted Einstein correctly; it is always difficult to quote somebody out of memory with whom one does not agree. It is precisely this kind of postulate which I call the ideal of the detached observer.

— Letter from Pauli to Niels Bohr, February 15, 1955^[96]

Einstein's slit

The first of Einstein's thought experiments challenging the uncertainty principle went as follows:

Consider a particle passing through a slit of width d. The slit introduces an uncertainty in momentum of approximately ⁠h/d⁠ because the particle passes through the wall. But let us determine the momentum of the particle by measuring the recoil of the wall. In doing so, we find the momentum of the particle to arbitrary accuracy by conservation of momentum.

Bohr's response was that the wall is quantum mechanical as well, and that to measure the recoil to accuracy Δp, the momentum of the wall must be known to this accuracy before the particle passes through. This introduces an uncertainty in the position of the wall and therefore the position of the slit equal to ⁠h/Δp⁠, and if the wall's momentum is known precisely enough to measure the recoil, the slit's position is uncertain enough to disallow a position measurement.

A similar analysis with particles diffracting through multiple slits is given by Richard Feynman.^[97]

Einstein's box

Bohr was present when Einstein proposed the thought experiment which has become known as Einstein's box. Einstein argued that "Heisenberg's uncertainty equation implied that the uncertainty in time was related to the uncertainty in energy, the product of the two being related to the Planck constant."^[98] Consider, he said, an ideal box, lined with mirrors so that it can contain light indefinitely. The box could be weighed before a clockwork mechanism opened an ideal shutter at a chosen instant to allow one single photon to escape. "We now know, explained Einstein, precisely the time at which the photon left the box."^[99] "Now, weigh the box again. The change of mass tells the energy of the emitted light. In this manner, said Einstein, one could measure the energy emitted and the time it was released with any desired precision, in contradiction to the uncertainty principle."^[98]

Bohr spent a sleepless night considering this argument, and eventually realized that it was flawed. He pointed out that if the box were to be weighed, say by a spring and a pointer on a scale, "since the box must move vertically with a change in its weight, there will be uncertainty in its vertical velocity and therefore an uncertainty in its height above the table. ... Furthermore, the uncertainty about the elevation above the Earth's surface will result in an uncertainty in the rate of the clock,"^[100] because of Einstein's own theory of gravity's effect on time. "Through this chain of uncertainties, Bohr showed that Einstein's light box experiment could not simultaneously measure exactly both the energy of the photon and the time of its escape."^[101]

EPR paradox for entangled particles

In 1935, Einstein, Boris Podolsky and Nathan Rosen published an analysis of spatially separated entangled particles (EPR paradox).^[102] According to EPR, one could measure the position of one of the entangled particles and the momentum of the second particle, and from those measurements deduce the position and momentum of both particles to any precision, violating the uncertainty principle. In order to avoid such possibility, the measurement of one particle must modify the probability distribution of the other particle instantaneously, possibly violating the principle of locality.^[103]

In 1964, John Stewart Bell showed that this assumption can be falsified, since it would imply a certain inequality between the probabilities of different experiments. Experimental results confirm the predictions of quantum mechanics, ruling out EPR's basic assumption of local hidden variables.

Popper's criticism

Science philosopher Karl Popper approached the problem of indeterminacy as a logician and metaphysical realist.^[104] He disagreed with the application of the uncertainty relations to individual particles rather than to ensembles of identically prepared particles, referring to them as "statistical scatter relations".^[104][105] In this statistical interpretation, a particular measurement may be made to arbitrary precision without invalidating the quantum theory.

In 1934, Popper published Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen (Critique of the Uncertainty Relations) in Naturwissenschaften,^[106] and in the same year Logik der Forschung (translated and updated by the author as The Logic of Scientific Discovery in 1959^[104]), outlining his arguments for the statistical interpretation. In 1982, he further developed his theory in Quantum theory and the schism in Physics, writing:

[Heisenberg's] formulae are, beyond all doubt, derivable statistical formulae of the quantum theory. But they have been habitually misinterpreted by those quantum theorists who said that these formulae can be interpreted as determining some upper limit to the precision of our measurements. [original emphasis]^[107]

Popper proposed an experiment to falsify the uncertainty relations, although he later withdrew his initial version after discussions with Carl Friedrich von Weizsäcker, Heisenberg, and Einstein; Popper sent his paper to Einstein and it may have influenced the formulation of the EPR paradox.^[108]: 720

Free will

Some scientists including Arthur Compton^[109] and Martin Heisenberg^[110] have suggested that the uncertainty principle, or at least the general probabilistic nature of quantum mechanics, could be evidence for the two-stage model of free will. One critique, however, is that apart from the basic role of quantum mechanics as a foundation for chemistry, nontrivial biological mechanisms requiring quantum mechanics are unlikely, due to the rapid decoherence time of quantum systems at room temperature.^[111] Proponents of this theory commonly say that this decoherence is overcome by both screening and decoherence-free subspaces found in biological cells.^[111]

Thermodynamics

There is reason to believe that violating the uncertainty principle also strongly implies the violation of the second law of thermodynamics.^[112] See Gibbs paradox.

Rejection of the principle

Uncertainty principles relate quantum particles–electrons for example–to classical concepts–position and momentum. This presumes quantum particles have position and momentum. Edwin C. Kemble pointed out^[113] in 1937 that such properties cannot be experimentally verified and assuming they exist gives rise to many contradictions; similarly Rudolf Haag notes that position in quantum mechanics is an attribute of an interaction, say between an electron and a detector, not an intrinsic property.^[114][115] From this point of view the uncertainty principle is not a fundamental quantum property but a concept "carried over from the language of our ancestors" as Kemble says.

Applications

Since the uncertainty principle is such a basic result in quantum mechanics, typical experiments in quantum mechanics routinely observe aspects of it. All forms of spectroscopy, including particle physics use the relationship to relate measured energy line-width to the lifetime of quantum states. Certain experiments, however, may deliberately test a particular form of the uncertainty principle as part of their main research program. These include, for example, tests of number–phase uncertainty relations in superconducting^[116] or quantum optics^[117] systems. Applications dependent on the uncertainty principle for their operation include extremely low-noise technology such as that required in gravitational wave interferometers.^[118]

See also

• Correspondence principle – Physics principle formulated by Niels Bohr
• Goodhart's law – Adage about statistical measures — when an attempt is made to use a statistical measure for purposes of control (directing), its statistical validity breaks down
• Introduction to quantum mechanics – Non-mathematical introduction
• Küpfmüller's uncertainty principle – concept in electronic engineering formulated by Karl KüpfmüllerPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Quantum indeterminacy – Apparent lack of definite state before measurement of quantum systems
• Quantum superposition – Principle of quantum mechanics
• Quantum tunnelling – Quantum mechanical phenomenon
• Physics and Beyond – 1969 book by Werner Heisenberg (Heisenberg's recollections)
• Stronger uncertainty relations – Later developments of Heisenberg's principle

References

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External links

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• Entrada de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford