Mapeo de compresión

En álgebra lineal , una aplicación de compresión , también llamada transformación de compresión , es un tipo de aplicación lineal que preserva el área euclidiana de las regiones en el plano cartesiano , pero no es una aplicación de rotación o de corte .

Para un número real positivo fijo $a$ , la función

(x,y)\mapsto (ax,y/a)

es el mapeo de compresión con parámetro $a$ . Dado que

\{(u,v)\,:\,uv=\mathrm {constante} \}

es una hipérbola , si $u = ax$ y $v = y / a$ , entonces $uv = xy$ y los puntos de la imagen de la aplicación de compresión están en la misma hipérbola que $(x, y)$ . Por esta razón, es natural pensar en la aplicación de compresión como una rotación hiperbólica , como lo hizo Émile Borel en 1914, ^[1] por analogía con las rotaciones circulares , que preservan los círculos.

Logaritmo y ángulo hiperbólico

La aplicación de compresión sienta las bases para el desarrollo del concepto de logaritmos. El problema de encontrar el área limitada por una hipérbola (como $xy = 1)$ es uno de cuadratura . La solución, encontrada por Grégoire de Saint-Vincent y Alphonse Antonio de Sarasa en 1647, requería la función logaritmo natural , un nuevo concepto. Algunos conocimientos sobre logaritmos vienen a través de sectores hiperbólicos que se permutan mediante aplicaciones de compresión mientras se conserva su área. El área de un sector hiperbólico se toma como una medida de un ángulo hiperbólico asociado con el sector. El concepto de ángulo hiperbólico es bastante independiente del ángulo circular ordinario , pero comparte una propiedad de invariancia con él: mientras que el ángulo circular es invariante bajo rotación, el ángulo hiperbólico es invariante bajo la aplicación de compresión. Tanto el ángulo circular como el hiperbólico generan medidas invariantes pero con respecto a diferentes grupos de transformación. Las funciones hiperbólicas , que toman el ángulo hiperbólico como argumento, desempeñan el papel que desempeñan las funciones circulares con el argumento del ángulo circular. ^[2]

Teoría de grupos

En 1688, mucho antes de la teoría abstracta de grupos , Euclides Speidell describió la función de compresión en los términos de la época: "A partir de un cuadrado y una compañía infinita de oblongos sobre una superficie, cada uno igual a ese cuadrado, se genera una curva que tendrá las mismas propiedades o afecciones de cualquier hipérbola inscrita dentro de un cono rectángulo". ^[3]

Si $r$ y $s$ son números reales positivos, la composición de sus aplicaciones de compresión es la aplicación de compresión de su producto. Por lo tanto, la colección de aplicaciones de compresión forma un grupo de un parámetro isomorfo al grupo multiplicativo de números reales positivos . Una visión aditiva de este grupo surge de la consideración de los sectores hiperbólicos y sus ángulos hiperbólicos.

Desde el punto de vista de los grupos clásicos , el grupo de aplicaciones de compresión es $SO + (1,1)$ , el componente identidad del grupo ortogonal indefinido de matrices reales 2×2 que conservan la forma cuadrática $u 2 - v 2$ . Esto es equivalente a conservar la forma $xy$ mediante el cambio de base

x=u+v,\cuadrado y=uv\,,

y corresponde geométricamente a la conservación de las hipérbolas. La perspectiva del grupo de aplicaciones de compresión como rotación hiperbólica es análoga a la interpretación del grupo $SO(2)$ (el componente conectado del grupo ortogonal definido ) que conserva la forma cuadrática $x 2 + y 2$ como rotaciones circulares .

Nótese que la notación " $SO +$ " corresponde al hecho de que las reflexiones

u\mapsto -u,\quad v\mapsto -v

no se permiten, aunque preservan la forma (en términos de $x$ e $y$ estas son $x \mapsto y, y \mapsto x$ y $x \mapsto - x, y \mapsto - y) ; el "$ $+$ " adicional en el caso hiperbólico (en comparación con el caso circular) es necesario para especificar el componente identidad porque el grupo $O(1,1)$ tiene $4$ componentes conectados , mientras que el grupo $O(2)$ tiene $2$ componentes: $SO(1,1)$ tiene $2$ componentes, mientras que $SO(2)$ solo tiene 1. El hecho de que las transformadas de compresión preservan el área y la orientación corresponde a la inclusión de subgrupos $SO \subset SL$ – en este caso $SO(1,1) \subset SL(2)$ – del subgrupo de rotaciones hiperbólicas en el grupo lineal especial de transformadas que preservan el área y la orientación (una forma de volumen ). En el lenguaje de las transformaciones de Möbius , las transformaciones de compresión son los elementos hiperbólicos en la clasificación de elementos .

Una transformación geométrica se denomina conforme cuando conserva los ángulos. El ángulo hiperbólico se define utilizando el área bajo y = 1/ x . Dado que las aplicaciones de compresión conservan las áreas de las regiones transformadas, como los sectores hiperbólicos , se conserva la medida del ángulo de los sectores. Por lo tanto, las aplicaciones de compresión son conformes en el sentido de que conservan el ángulo hiperbólico.

Aplicaciones

Aquí se resumen algunas aplicaciones con referencias históricas.

Espacio-tiempo relativista

La geometría del espacio-tiempo se desarrolla convencionalmente de la siguiente manera: seleccione (0,0) para un "aquí y ahora" en un espacio-tiempo. La luz radiante de izquierda a derecha a través de este evento central traza dos líneas en el espacio-tiempo, líneas que se pueden usar para dar coordenadas a eventos alejados de (0,0). Las trayectorias de menor velocidad trazan más cerca de la línea de tiempo original (0, t ). Cualquier velocidad de este tipo se puede ver como una velocidad cero bajo una aplicación de compresión llamada refuerzo de Lorentz . Esta idea se desprende de un estudio de multiplicaciones de números complejos divididos y la base diagonal que corresponde al par de líneas de luz. Formalmente, una compresión conserva la métrica hiperbólica expresada en la forma xy ; en un sistema de coordenadas diferente. Esta aplicación en la teoría de la relatividad fue notada en 1912 por Wilson y Lewis, ^[4] por Werner Greub, ^[5] y por Louis Kauffman . ^[6] Además, la forma de mapeo de compresión de las transformaciones de Lorentz fue utilizada por Gustav Herglotz (1909/10) ^[7] mientras discutía la rigidez de Born , y fue popularizada por Wolfgang Rindler en su libro de texto sobre relatividad, quien la utilizó en su demostración de su propiedad característica. ^[8]

El término transformación de compresión se utilizó en este contexto en un artículo que conectaba el grupo de Lorentz con el cálculo de Jones en óptica. ^[9]

Flujo de esquina

En dinámica de fluidos, uno de los movimientos fundamentales de un flujo incompresible implica la bifurcación de un flujo que choca contra una pared inamovible. Representando la pared por el eje y = 0 y tomando el parámetro r = exp( t ) donde t es el tiempo, entonces la aplicación de compresión con el parámetro r aplicado a un estado de fluido inicial produce un flujo con bifurcación a la izquierda y a la derecha del eje x = 0. El mismo modelo da convergencia de fluidos cuando el tiempo se ejecuta hacia atrás. De hecho, el área de cualquier sector hiperbólico es invariante bajo compresión.

Para otro enfoque de un flujo con líneas de corriente hiperbólicas , consulte Flujo potencial § Leyes de potencia con n = 2 .

En 1989 Ottino ^[10] describió el "flujo bidimensional isocórico lineal" como

{\ Displaystyle v_ {1} = Gx_ {2} \ quad v_ {2} = KGx_ {1}}

donde K se encuentra en el intervalo [−1, 1]. Las líneas de corriente siguen las curvas

x_{2}^{2}-Kx_{1}^{2}=\mathrm {constante}

Por lo tanto, K negativa corresponde a una elipse y K positiva a una hipérbola, correspondiendo el caso rectangular de la función de compresión a K = 1.

Stocker y Hosoi ^[11] describieron su enfoque del flujo de esquina de la siguiente manera:

Sugerimos una formulación alternativa para dar cuenta de la geometría en forma de esquina, basada en el uso de coordenadas hiperbólicas, que permite un avance analítico sustancial hacia la determinación del flujo en un borde de meseta y hilos de líquido adheridos. Consideramos una región de flujo que forma un ángulo de π /2 y está delimitada a la izquierda y abajo por planos de simetría.

Stocker y Hosoi luego recuerdan la consideración de Moffatt ^[12] del "flujo en una esquina entre límites rígidos, inducido por una perturbación arbitraria a una gran distancia". Según Stocker y Hosoi,

Para un fluido libre en una esquina cuadrada, la función de corriente (antisimétrica) de Moffatt... [indica] que las coordenadas hiperbólicas son de hecho la opción natural para describir estos flujos.

Puente a lo trascendental

La propiedad de conservación de área del mapeo de compresión tiene una aplicación en el establecimiento de las bases de las funciones trascendentales, el logaritmo natural y su inversa, la función exponencial :

Definición: El sector ( a,b ) es el sector hiperbólico obtenido con rayos centrales en ( a , 1/ a ) y ( b , 1/ b ).

Lema: Si bc = ad , entonces hay una función de compresión que mueve el sector ( a,b ) al sector ( c,d ).

Demostración: Tome el parámetro r = c / a de modo que ( u,v ) = ( rx , y / r ) toma ( a , 1/ a ) a ( c , 1/ c ) y ( b , 1/ b ) a ( d , 1/ d ).

Teorema ( Gregoire de Saint-Vincent 1647) Si bc = ad , entonces la cuadratura de la hipérbola xy = 1 contra la asíntota tiene áreas iguales entre a y b en comparación con entre c y d .

Demostración: Un argumento que suma y resta triángulos de área 1 ⁄ 2 , siendo uno de los triángulos {(0,0), (0,1), (1,1)}, muestra que el área del sector hiperbólico es igual al área a lo largo de la asíntota. El teorema se deduce entonces del lema.

Teorema ( Alphonse Antonio de Sarasa 1649) A medida que el área medida respecto a la asíntota aumenta en progresión aritmética, las proyecciones sobre la asíntota aumentan en secuencia geométrica. Por lo tanto, las áreas forman logaritmos del índice de la asíntota.

Por ejemplo, para un ángulo de posición estándar que va de (1, 1) a ( x , 1/ x ), uno puede preguntar "¿Cuándo el ángulo hiperbólico es igual a uno?" La respuesta es el número trascendental x = e .

Un apretón con r = e mueve el ángulo unitario a uno entre ( e , 1/ e ) y ( ee , 1/ ee ) que subtiende un sector también de área uno. La progresión geométrica

mi , mi ² , mi ³ , ..., mi ⁿ , ...

corresponde al índice asintótico logrado con cada suma de áreas

1,2,3,..., n ,...

que es una progresión aritmética prototípica A + nd donde A = 0 y d = 1.

Mentira transformada

Siguiendo las investigaciones de Pierre Ossian Bonnet (1867) sobre superficies de curvatura constante, Sophus Lie (1879) encontró una manera de derivar nuevas superficies pseudoesféricas a partir de una ya conocida. Tales superficies satisfacen la ecuación de Sine-Gordon :

{\frac {d^{2}\Theta }{ds\ d\sigma }}=K\sin \Theta ,

donde son las coordenadas asintóticas de dos curvas tangentes principales y su ángulo respectivo. Lie demostró que si es una solución de la ecuación de Sine-Gordon, entonces la siguiente función de compresión (ahora conocida como transformada de Lie ^[13] ) indica otras soluciones de esa ecuación: ^[14] ${\estilo de visualización (s,\sigma)}$ ${\estilo de visualización \Theta}$ $\Theta = f(s,\sigma )$

\Theta = f\left(ms,\ {\frac {\sigma }{m}}\right).

Lie (1883) observó su relación con otras dos transformaciones de superficies pseudoesféricas: ^[15] La transformada de Bäcklund (introducida por Albert Victor Bäcklund en 1883) puede verse como la combinación de una transformada de Lie con una transformada de Bianchi (introducida por Luigi Bianchi en 1879). Tales transformaciones de superficies pseudoesféricas se discutieron en detalle en las conferencias sobre geometría diferencial de Gaston Darboux (1894), ^[16] Luigi Bianchi (1894), ^[17] o Luther Pfahler Eisenhart (1909). ^[18]

Se sabe que las transformadas de Lie (o mapeos de compresión) corresponden a los impulsos de Lorentz en términos de coordenadas del cono de luz , como lo señalan Terng y Uhlenbeck (2000): ^[13]

Sophus Lie observó que la ecuación SGE [Sinus-Gordon] es invariante bajo las transformaciones de Lorentz. En coordenadas asintóticas, que corresponden a las coordenadas del cono de luz, una transformación de Lorentz es . $(x,t)\mapsto \left({\tfrac {1}{\lambda }}x,\lambda t\right)$

Esto se puede representar de la siguiente manera:

{\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}\\\hline {\begin{aligned}ct'&=ct\gamma -x\beta \gamma &&=ct\cosh \eta -x\sinh \eta \\x'&=-ct\beta \gamma +x\gamma &&=-ct\sinh \eta +x\cosh \eta \end{aligned}}\\\hline u=ct+x,\ v=ct-x,\ k={\sqrt {\tfrac {1+\beta }{1-\beta }}}=e^{\eta }\\u'={\frac {u}{k}},\ v'=kv\\\hline u'v'=uv\end{matrix}}

donde k corresponde al factor Doppler en el cálculo k de Bondi , η es la rapidez .

Véase también

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Squeeze (geometría) .

Referencias

^ Émile Borel (1914) Introducción Geometrique à quelques Théories Physiques, página 29, Gauthier-Villars, enlace de Monografías de matemáticas históricas de la Universidad de Cornell
^ Mellen W. Haskell (1895) Sobre la introducción de la noción de funciones hiperbólicas Boletín de la Sociedad Matemática Americana 1(6):155–9, particularmente la ecuación 12, página 159
^ Euclid Speidell (1688) Logarithmotechnia: la creación de números llamados logaritmos de Google Books
^ Edwin Bidwell Wilson y Gilbert N. Lewis (1912) "La variedad espacio-temporal de la relatividad. La geometría no euclidiana de la mecánica y el electromagnetismo", Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387–507, nota al pie p. 401
^ WH Greub (1967) Álgebra lineal , Springer-Verlag. Véanse las páginas 272 a 274
^ Louis Kauffman (1985) "Transformaciones en la relatividad especial", Revista internacional de física teórica 24:223–36
^ Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [traducción de Wikisource: Sobre cuerpos que deben designarse como "rígidos" desde el punto de vista del principio de relatividad], Annalen der Physik , 336 (2): 408, Bibcode :1910AnP...336..393H, doi :10.1002/andp.19103360208
^ Wolfgang Rindler , Essential Relativity , ecuación 29.5 en la página 45 de la edición de 1969, o ecuación 2.17 en la página 37 de la edición de 1977, o ecuación 2.16 en la página 52 de la edición de 2001
^ Daesoo Han, Young Suh Kim y Marilyn E. Noz (1997) "El formalismo de la matriz de Jones como representación del grupo de Lorentz", Journal of the Optical Society of America A14(9):2290–8
^ JM Ottino (1989) La cinemática de la mezcla: estiramiento, caos, transporte , página 29, Cambridge University Press
^ Roman Stocker y AE Hosoi (2004) "Flujo angular en películas líquidas libres", Journal of Engineering Mathematics 50:267–88
^ HK Moffatt (1964) "Remolinos viscosos y resistivos cerca de una esquina aguda", Journal of Fluid Mechanics 18:1–18
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^ Eisenhart, LP (1909). Tratado sobre la geometría diferencial de curvas y superficies. Boston: Ginn and Company. pp. 289–290.

HSM Coxeter y SL Greitzer (1967) Geometría revisitada , Capítulo 4 Transformaciones, Una genealogía de la transformación.
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Walter, Scott (1999). "El estilo no euclidiano de la relatividad de Minkowski" (PDF) . En J. Gray (ed.). El universo simbólico: geometría y física . Oxford University Press. págs. 91–127.(ver página 9 del enlace electrónico)
Materiales de aprendizaje relacionados con los valores propios recíprocos en Wikiversidad