Anomalía de calibre

Ruptura de la simetría de calibre a nivel cuántico

En física teórica , una anomalía de calibre es un ejemplo de anomalía : es una característica de la mecánica cuántica —normalmente un diagrama de un bucle— que invalida la simetría de calibre de una teoría cuántica de campos ; es decir, de una teoría de calibre . ^[1]

Todas las anomalías de calibración deben cancelarse. Las anomalías en las simetrías de calibración ^[2] conducen a una inconsistencia, ya que se requiere una simetría de calibración para cancelar grados de libertad con una norma negativa que no son físicos (como un fotón polarizado en la dirección del tiempo). De hecho, la cancelación ocurre en el Modelo Estándar .

El término anomalía de gauge se utiliza generalmente para las anomalías de gauge vectoriales. Otro tipo de anomalía de gauge es la anomalía gravitacional , porque la reparametrización de coordenadas (llamada difeomorfismo ) es la simetría de gauge de la gravitación .

Cálculo de la anomalía

Las anomalías sólo se producen en dimensiones espacio-temporales pares. Por ejemplo, las anomalías en las 4 dimensiones espacio-temporales habituales surgen de los diagramas de Feynman triangulares.

Anomalías de calibre vectorial

En anomalías de calibre vectorial (en simetrías de calibre cuyo bosón de calibre es un vector), la anomalía es una anomalía quiral , y se puede calcular exactamente en un nivel de bucle, a través de un diagrama de Feynman con un fermión quiral que corre en el bucle con n bosones de calibre externos unidos al bucle donde es la dimensión del espacio-tiempo . ${\displaystyle n=1+D/2}$ ${\displaystyle D}$

Veamos la acción (semi)efectiva que obtenemos después de integrar sobre los fermiones quirales . Si hay una anomalía de norma, la acción resultante no será invariante de norma. Si denotamos por el operador correspondiente a una transformación de norma infinitesimal por ε, entonces la condición de consistencia de Frobenius requiere que ${\displaystyle \delta _{\epsilon }}$

${\displaystyle \left[\delta _{\epsilon _{1}},\delta _{\epsilon _{2}}\right]{\mathcal {F}}=\delta _{\left[\epsilon _{1},\epsilon _{2}\right]}{\mathcal {F}}}$

para cualquier función , incluida la acción (semi)efectiva S donde [,] es el corchete de Lie . Como es lineal en ε, podemos escribir ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \delta _{\epsilon }S}$

${\displaystyle \delta _{\epsilon }S=\int _{M^{d}}\Omega ^{(d)}(\epsilon )}$

donde Ω ^(d) es la forma d como funcional de los campos no integrados y es lineal en ε. Supongamos además (que resulta ser válida en todos los casos de interés) que esta funcional es local (es decir, Ω ^(d) (x) solo depende de los valores de los campos y sus derivadas en x) y que puede expresarse como el producto exterior de las formas p. Si el espacio-tiempo M ^d es cerrado (es decir, sin frontera) y orientado, entonces es la frontera de alguna variedad orientada de dimensión d+1 M ^d+1 . Si luego extendemos arbitrariamente los campos (incluido ε) tal como se definen en M ^d a M ^d+1 con la única condición de que coincidan en las fronteras y la expresión Ω ^(d) , al ser el producto exterior de las formas p, puede extenderse y definirse en el interior, entonces

${\displaystyle \delta _{\epsilon }S=\int _{M^{d+1}}d\Omega ^{(d)}(\epsilon ).}$

La condición de consistencia de Frobenius ahora se convierte en

${\displaystyle \left[\delta _{\epsilon _{1}},\delta _{\epsilon _{2}}\right]S=\int _{M^{d+1}}\left[\delta _{\epsilon _{1}}d\Omega ^{(d)}(\epsilon _{2})-\delta _{\epsilon _{2}}d\Omega ^{(d)}(\epsilon _{1})\right]=\int _{M^{d+1}}d\Omega ^{(d)}(\left[\epsilon _{1},\epsilon _{2}\right]).}$

Como la ecuación anterior es válida para cualquier extensión arbitraria de los campos hacia el interior,

${\displaystyle \delta _{\epsilon _{1}}d\Omega ^{(d)}(\epsilon _{2})-\delta _{\epsilon _{2}}d\Omega ^{(d)}(\epsilon _{1})=d\Omega ^{(d)}(\left[\epsilon _{1},\epsilon _{2}\right]).}$

Debido a la condición de consistencia de Frobenius, esto significa que existe una forma d+1 Ω ^(d+1) (que no depende de ε) definida sobre M ^d+1 que satisface

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\Omega ^{(d+1)}=d\Omega ^{(d)}(\epsilon ).}$

A Ω ^(d+1) a menudo se le denomina forma de Chern-Simons .

Una vez más, si asumimos que Ω ^(d+1) puede expresarse como un producto exterior y que puede extenderse a una forma d+1 en una variedad orientada de dimensión d+2, podemos definir

${\displaystyle \Omega ^{(d+2)}=d\Omega ^{(d+1)}}$

en dimensiones d+2. Ω ^(d+2) es invariante de calibre:

${\displaystyle \delta _{\epsilon }\Omega ^{(d+2)}=d\delta _{\epsilon }\Omega ^{(d+1)}=d^{2}\Omega ^{(d)}(\epsilon )=0}$

a medida que d y δ _ε conmutan.

Véase también

• Teoría de calibre quiral
• Condición de coincidencia de anomalía
• Mecanismo verde-negro
• Anomalía mixta

Referencias

1. Treiman, Sam y Roman Jackiw, (2014). Álgebra actual y anomalías . Princeton University Press.
2. Cheng, TP; Li, LF (1984). Teoría de calibre de la física de partículas elementales . Oxford Science Publications.