En geometría , un movimiento es una isometría de un espacio métrico . Por ejemplo, un plano dotado de la métrica de distancias euclidianas es un espacio métrico en el que una aplicación que asocia figuras congruentes es un movimiento. [1] De manera más general, el término movimiento es sinónimo de isometría sobreyectiva en geometría métrica, [2] incluyendo la geometría elíptica y la geometría hiperbólica . En este último caso, los movimientos hiperbólicos proporcionan una aproximación al tema para principiantes.
Los movimientos se pueden dividir en movimientos directos e indirectos. Los movimientos directos, propios o rígidos son movimientos como las traslaciones y rotaciones que conservan la orientación de una forma quiral . Los movimientos indirectos o impropios son movimientos como las reflexiones , las reflexiones de deslizamiento y las rotaciones impropias que invierten la orientación de una forma quiral . Algunos geómetras definen el movimiento de tal manera que solo los movimientos directos son movimientos [ cita requerida ] .
En geometría diferencial , un difeomorfismo se denomina movimiento si induce una isometría entre el espacio tangente en un punto de la variedad y el espacio tangente en la imagen de ese punto. [3] [4]
Dada una geometría, el conjunto de movimientos forma un grupo bajo composición de aplicaciones. Este grupo de movimientos se destaca por sus propiedades. Por ejemplo, el grupo euclidiano se destaca por el subgrupo normal de traslaciones . En el plano, un movimiento euclidiano directo es una traslación o una rotación , mientras que en el espacio todo movimiento euclidiano directo puede expresarse como un desplazamiento helicoidal según el teorema de Chasles . Cuando el espacio subyacente es una variedad de Riemann , el grupo de movimientos es un grupo de Lie . Además, la variedad tiene curvatura constante si y solo si, para cada par de puntos y cada isometría, hay un movimiento que lleva un punto al otro para el cual el movimiento induce la isometría. [5]
La idea de un grupo de movimientos para la relatividad especial se ha planteado como movimientos lorentzianos. Por ejemplo, se expusieron ideas fundamentales para un plano caracterizado por la forma cuadrática en American Mathematical Monthly . [6] Los movimientos del espacio de Minkowski fueron descritos por Sergei Novikov en 2006: [7]
Alhazen (965-1039) fue el primero en valorar el papel del movimiento en la geometría . Su obra "El espacio y su naturaleza" [8] utiliza comparaciones de las dimensiones de un cuerpo móvil para cuantificar el vacío del espacio imaginario. Fue criticado por Omar Khayyam, quien señaló que Aristóteles había condenado el uso del movimiento en la geometría. [9]
En el siglo XIX, Felix Klein se convirtió en un defensor de la teoría de grupos como un medio para clasificar las geometrías según sus "grupos de movimientos". Propuso utilizar grupos de simetría en su programa de Erlangen , una sugerencia que fue ampliamente adoptada. Observó que cada congruencia euclidiana es una aplicación afín , y cada una de estas es una transformación proyectiva ; por lo tanto, el grupo de proyectividades contiene el grupo de aplicaciones afines, que a su vez contiene el grupo de congruencias euclidianas. El término movimiento , más corto que transformación , pone más énfasis en los adjetivos: proyectivo, afín, euclidiano. El contexto se amplió así, tanto que "En topología , los movimientos permitidos son deformaciones invertibles continuas que podrían llamarse movimientos elásticos". [10]
La ciencia de la cinemática se dedica a expresar el movimiento físico como una transformación matemática. Con frecuencia, la transformación se puede escribir utilizando álgebra vectorial y mapeo lineal. Un ejemplo simple es un giro escrito como una multiplicación de números complejos : donde . La rotación en el espacio se logra mediante el uso de cuaterniones , y las transformaciones de Lorentz del espacio-tiempo mediante el uso de bicuaterniones . A principios del siglo XX, se examinaron los sistemas numéricos hipercomplejos . Más tarde, sus grupos de automorfismos dieron lugar a grupos excepcionales como G2 .
En la década de 1890, los lógicos redujeron las nociones primitivas de la geometría sintética a un mínimo absoluto. Giuseppe Peano y Mario Pieri utilizaron la expresión movimiento para la congruencia de pares de puntos. Alessandro Padoa celebró la reducción de las nociones primitivas a meramente punto y movimiento en su informe al Congreso Internacional de Filosofía de 1900. Fue en este congreso donde Bertrand Russell conoció la lógica continental a través de Peano. En su libro Principles of Mathematics (1903), Russell consideró que el movimiento era una isometría euclidiana que preserva la orientación . [11]
En 1914, DMY Sommerville utilizó la idea de un movimiento geométrico para establecer la idea de distancia en la geometría hiperbólica cuando escribió Elementos de geometría no euclidiana . [12] Explica:
László Rédei da como axiomas de movimiento: [13]
Los axiomas 2 a 4 implican que los movimientos forman un grupo .
El axioma 5 significa que el grupo de movimientos proporciona acciones grupales en R que son transitivas , de modo que hay un movimiento que asigna cada línea a cada línea.
