En geometría , un movimiento es una isometría de un espacio métrico . Por ejemplo, un plano equipado con la métrica de distancia euclidiana es un espacio métrico en el que una aplicación que asocia figuras congruentes es un movimiento. [1] De manera más general, el término movimiento es sinónimo de isometría sobreyectiva en geometría métrica, [2] incluyendo geometría elíptica y geometría hiperbólica . En este último caso, los movimientos hiperbólicos proporcionan una aproximación al tema para principiantes.
Las mociones se pueden dividir en mociones directas e indirectas. Los movimientos directos, propios o rígidos son movimientos como traslaciones y rotaciones que preservan la orientación de una forma quiral . Los movimientos indirectos o impropios son movimientos como reflexiones , reflexiones de deslizamiento y rotaciones impropias que invierten la orientación de una forma quiral . Algunos geómetras definen el movimiento de tal manera que sólo los movimientos directos son movimientos [ cita necesaria ] .
En geometría diferencial , un difeomorfismo se llama movimiento si induce una isometría entre el espacio tangente en un punto múltiple y el espacio tangente en la imagen de ese punto. [3] [4]
Dada una geometría, el conjunto de movimientos forma un grupo bajo composición de mapeos. Este grupo de movimientos destaca por sus propiedades. Por ejemplo, el grupo euclidiano se destaca por el subgrupo normal de traducciones . En el plano, un movimiento euclidiano directo es una traslación o una rotación , mientras que en el espacio todo movimiento euclidiano directo puede expresarse como un desplazamiento de tornillo según el teorema de Chasles . Cuando el espacio subyacente es una variedad de Riemann , el grupo de movimientos es un grupo de Lie . Además, la variedad tiene curvatura constante si y sólo si, para cada par de puntos y cada isometría, hay un movimiento que lleva un punto al otro y el movimiento induce la isometría. [5]
La idea de un grupo de movimientos para la relatividad especial se ha propuesto como movimientos de Lorentz. Por ejemplo, en American Mathematical Monthly se expusieron ideas fundamentales para un plano caracterizado por la forma cuadrática . [6] Los movimientos del espacio de Minkowski fueron descritos por Sergei Novikov en 2006: [7]
Alhazen (965 a 1039) dio una temprana apreciación del papel del movimiento en la geometría . Su obra "El espacio y su naturaleza" [8] utiliza comparaciones de las dimensiones de un cuerpo móvil para cuantificar el vacío del espacio imaginario. Omar Khayyam lo criticó y señaló que Aristóteles había condenado el uso del movimiento en geometría. [9]
En el siglo XIX, Felix Klein se convirtió en un defensor de la teoría de grupos como un medio para clasificar las geometrías según sus "grupos de movimientos". Propuso utilizar grupos de simetría en su programa de Erlangen , sugerencia que fue ampliamente adoptada. Observó que cada congruencia euclidiana es un mapeo afín , y cada una de éstas es una transformación proyectiva ; por tanto, el grupo de proyectividades contiene el grupo de mapas afines, que a su vez contiene el grupo de congruencias euclidianas. El término movimiento , más corto que transformación , pone más énfasis en los adjetivos: proyectivo, afín, euclidiano. El contexto se amplió así, hasta el punto de que "en topología , los movimientos permitidos son deformaciones continuas invertibles que podrían llamarse movimientos elásticos". [10]
La ciencia de la cinemática se dedica a expresar el movimiento físico como transformación matemática. Con frecuencia, la transformación se puede escribir utilizando álgebra vectorial y mapeo lineal. Un ejemplo sencillo es un giro escrito como una multiplicación de números complejos : donde . La rotación en el espacio se logra mediante el uso de cuaterniones y las transformaciones de Lorentz del espacio-tiempo mediante el uso de bicuaterniones . A principios del siglo XX se examinaron los sistemas numéricos hipercomplejos . Posteriormente sus grupos de automorfismo dieron lugar a grupos excepcionales como G2 .
En la década de 1890, los lógicos estaban reduciendo las nociones primitivas de geometría sintética a un mínimo absoluto. Giuseppe Peano y Mario Pieri utilizaron la expresión movimiento para la congruencia de pares de puntos. Alessandro Padoa celebró la reducción de las nociones primitivas a meros puntos y movimientos en su informe al Congreso Internacional de Filosofía de 1900 . Fue en este congreso donde Bertrand Russell conoció la lógica continental a través de Peano. En su libro Principios de Matemáticas (1903), Russell consideró un movimiento como una isometría euclidiana que preserva la orientación . [11]
En 1914, DMY Sommerville utilizó la idea de un movimiento geométrico para establecer la idea de distancia en geometría hiperbólica cuando escribió Elementos de geometría no euclidiana . [12] Él explica:
László Rédei da como axiomas de movimiento: [13]
Los axiomas 2 a 4 implican que los movimientos forman un grupo .
El axioma 5 significa que el grupo de movimientos proporciona acciones grupales en R que son transitivas, de modo que hay un movimiento que asigna cada línea a cada línea.
