Rastro singular

Estructura geométrica no conmutativa

En matemáticas, una traza singular es una traza en un espacio de operadores lineales de un espacio de Hilbert separable que se anula en operadores de rango finito . Las trazas singulares son una característica de los espacios de Hilbert de dimensión infinita, como el espacio de secuencias sumables al cuadrado y los espacios de funciones integrables al cuadrado . Los operadores lineales en un espacio de Hilbert de dimensión finita solo tienen el cero funcional como traza singular, ya que todos los operadores tienen rango finito. Por ejemplo, las álgebras matriciales no tienen trazas singulares no triviales y la traza matricial es la única traza hasta el escalamiento.

El matemático estadounidense Gary Weiss y, más tarde, el matemático británico Nigel Kalton observaron en el caso de dimensión infinita que hay trazas singulares no triviales en el ideal de los operadores de clase traza . ^{[1] [2]} Por lo tanto, a diferencia del caso de dimensión finita, en dimensiones infinitas la traza del operador canónico no es la única traza hasta el escalamiento. La traza del operador es la extensión continua de la traza matricial desde los operadores de rango finito a todos los operadores de clase traza, y el término singular deriva del hecho de que una traza singular se desvanece donde la traza matricial es apoyada, análogo a una medida singular que se desvanece donde la medida de Lebesgue es apoyada.

Las trazas singulares miden el comportamiento espectral asintótico de los operadores y han encontrado aplicaciones en la geometría no conmutativa del matemático francés Alain Connes . ^{[3] [4]} En términos heurísticos, una traza singular corresponde a una forma de sumar números a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... que es completamente ortogonal o 'singular' con respecto a la suma habitual a ₁ + a ₂ + a ₃ + ... . Esto permite a los matemáticos sumar secuencias como la secuencia armónica (y operadores con comportamiento espectral similar) que son divergentes para la suma habitual . En términos similares, se puede construir una teoría de la medida (no conmutativa) o teoría de la probabilidad para distribuciones como la distribución de Cauchy (y operadores con comportamiento espectral similar) que no tienen expectativa finita en el sentido habitual.

Origen

En 1950, el matemático francés Jacques Dixmier , fundador de la teoría semifinita de las álgebras de von Neumann , ^[5] pensó que una traza en los operadores acotados de un espacio de Hilbert separable sería automáticamente normal ^{[ aclaración necesaria ]} hasta algunos contraejemplos triviales. ^{[6] : 217} A lo largo de 15 años, Dixmier, ayudado por una sugerencia de Nachman Aronszajn y desigualdades probadas por Joseph Hersch, desarrolló un ejemplo de una traza no trivial pero no normal ^{[ aclaración necesaria ]} en operadores de clase traza débil , ^[7] refutando su punto de vista anterior. Las trazas singulares basadas en la construcción de Dixmier se denominan trazas de Dixmier .

De forma independiente y por diferentes métodos, el matemático alemán Albrecht Pietsch (de) investigó las trazas en los ideales de los operadores en los espacios de Banach. ^[8] En 1987, Nigel Kalton respondió a una pregunta de Pietsch mostrando que la traza del operador no es la única traza en los subideales propios cuasi-normados de los operadores de la clase traza en un espacio de Hilbert. ^[9] József Varga estudió de forma independiente una cuestión similar. ^[10] Para resolver la cuestión de la unicidad de la traza en el ideal completo de los operadores de la clase traza, Kalton desarrolló una condición espectral para el subespacio conmutador de los operadores de la clase traza siguiendo los resultados de Gary Weiss. ^[1] Una consecuencia de los resultados de Weiss y la condición espectral de Kalton fue la existencia de trazas singulares no triviales en los operadores de la clase traza. ^{[2] [6] : 185}

También de forma independiente, y desde una dirección diferente, Mariusz Wodzicki investigó el residuo no conmutativo , una traza en operadores pseudo-diferenciales clásicos en una variedad compacta que se desvanece en operadores pseudo-diferenciales de clase traza de orden menor que el negativo de la dimensión de la variedad. ^[11]

Definición

Una traza φ en un ideal bilateral J de los operadores lineales acotados B ( H ) en un espacio de Hilbert separable H es una funcional lineal φ: J → tal que φ( AB ) = φ( BA ) para todos los operadores A de J y B de B ( H ). Es decir, una traza es una funcional lineal en J que se desvanece en el subespacio conmutador Com( J ) de J . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Una traza φ es singular si φ ( A ) = 0 para cada A del subideal de operadores de rango finito F ( H ) dentro de J .

Existencia y caracterización

Las trazas singulares se caracterizan por la correspondencia espectral de Calkin entre ideales bilaterales de operadores acotados en el espacio de Hilbert y espacios de secuencias invariantes de reordenamiento. Utilizando la caracterización espectral del subespacio conmutador debido a Ken Dykema, Tadeusz Figiel, Gary Weiss y Mariusz Wodzicki, ^[12] para cada traza φ en un ideal bilateral J existe un funcional simétrico único f en el espacio de secuencias de Calkin correspondiente j tal que

para cada operador positivo A perteneciente a J . ^[6] Aquí μ: J ₊ → j ₊ es la función de un operador positivo a sus valores singulares . Una traza singular φ corresponde a una función simétrica f en el espacio de secuencias j que se desvanece en c ₀₀ , las secuencias con un número finito de términos distintos de cero.

La caracterización es paralela a la construcción de la traza del operador habitual donde

${\displaystyle {\rm {Tr}}(A)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (n,A)=\sum \mu (A)}$

para A un operador de clase de traza positivo. Los operadores de clase de traza y el espacio de secuencias de secuencias sumables están en correspondencia de Calkin. (La suma Σ es una función simétrica en el espacio de secuencias sumables).

Existencia

Existe una traza no nula φ en un ideal bilateral J de operadores en un espacio de Hilbert separable si la codimensión de su subespacio conmutador no es cero. Hay ideales que admiten infinitas trazas singulares no nulas linealmente independientes. Por ejemplo, el subespacio conmutador del ideal de operadores de la clase traza débil contiene el ideal de operadores de la clase traza y cada operador positivo en el subespacio conmutador de la clase traza débil es de la clase traza. ^[12] En consecuencia, cada traza en el ideal de la clase traza débil es singular y la codimensión del subespacio conmutador del ideal de la clase traza débil es infinita. ^{[6] : 191} No todas las trazas singulares en el ideal de la clase traza débil son trazas de Dixmier. ^{[6] : 316}

Formulación de Lidskii

La traza de una matriz cuadrada es la suma de sus valores propios. La fórmula de Lidskii extiende este resultado al análisis funcional y establece que la traza de un operador de clase de traza A está dada por la suma de sus valores propios, ^[13]

${\displaystyle {\rm {Tr}}(A)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda (n,A)=\sum (\lambda (A)).}$

La caracterización ( 1 ) de una traza φ en operadores positivos de un J de dos ideales como una funcional simétrica aplicada a valores singulares se puede mejorar hasta la afirmación de que la traza φ en cualquier operador en J está dada por la misma funcional simétrica aplicada a secuencias de valores propios , siempre que los valores propios de todos los operadores en J pertenezcan al espacio de secuencias de Calkin j . ^[14] En particular, si un operador acotado A pertenece a J siempre que haya un operador acotado B en J tal que

para cada número natural n , entonces para cada traza φ en J hay una única función simétrica f en el espacio de Calkin j con

donde λ( A ) es la secuencia de valores propios de un operador A en J reordenada de modo que el valor absoluto de los valores propios sea decreciente. Si A es cuasi-nilpotente entonces λ( A ) es la secuencia cero. La mayoría de los ideales bilaterales satisfacen la propiedad ( 2 ), incluidos todos los ideales de Banach y los ideales cuasi-Banach.

La ecuación ( 3 ) es la afirmación precisa de que las trazas singulares miden el comportamiento espectral asintótico de los operadores.

Formulación de Fredholm

La traza de una matriz cuadrada es la suma de sus elementos diagonales. En análisis funcional, la fórmula correspondiente para los operadores de la clase de traza es

${\displaystyle {\rm {Tr}}(A)=\sum _{n=0}^{\infty }\langle Ae_{n},e_{n}\rangle =\sum (\{\langle Ae_{n},e_{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty })}$

donde { e _n } _{n = 0} ^∞ es una base ortonormal arbitraria del espacio de Hilbert separable H . Las trazas singulares no tienen una formulación equivalente para bases arbitrarias. Solo cuando φ( A )=0 un operador A generalmente satisfará

${\displaystyle \varphi (A)={\rm {f}}(\{\langle Ae_{n},e_{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty })}$

para una traza singular φ y una base ortonormal arbitraria { e _n } _{n = 0} ^∞ . ^{[6] : 242}

La formulación diagonal se utiliza a menudo en lugar de la formulación de Lidskii para calcular la traza de productos, ya que los valores propios de los productos son difíciles de determinar. Por ejemplo, en mecánica estadística cuántica , la esperanza de un observable S se calcula en relación con un operador de densidad de energía de clase de traza fija T mediante la fórmula

${\displaystyle \langle S\rangle ={\rm {Tr}}(ST)=\sum _{n=0}^{\infty }\langle Se_{n},e_{n}\rangle \lambda (n,T)=v_{T}(\{\langle Se_{n},e_{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty })}$

donde v _T pertenece a ( l _∞ ) _* ≅ l ₁ . La esperanza se calcula a partir de los valores esperados ⟨ Se _n , e _n ⟩ y la probabilidad ⟨ P _n ⟩ = λ( n , T ) de que el sistema esté en el estado cuántico límite e _n . Aquí P _n es el operador de proyección sobre el subespacio unidimensional abarcado por el estado propio de energía e _n . Los valores propios del producto, λ( n , ST ), no tienen una interpretación equivalente.

Hay resultados para trazas singulares de productos. ^[15] Para un producto ST donde S está acotado y T es autoadjunto y pertenece a un ideal bilateral J entonces

${\displaystyle \varphi (ST)={\rm {f}}(\{\langle Se_{n},e_{n}\rangle \lambda (n,T)\}_{n=0}^{\infty })=v_{\varphi ,T}(\{\langle Se_{n},e_{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty })}$

para cualquier traza φ en J . La base ortonormal { e _n } _{n = 0} ^∞ debe ordenarse de modo que Te _n = μ( n , T ) e _n , n = 0,1,2... . Cuando φ es singular y φ( T )=1 entonces v _{φ , T} es un funcional lineal en l _∞ que extiende el límite en el infinito en las secuencias convergentes c . La esperanza ⟨ S ⟩ = φ( ST ) en este caso tiene la propiedad de que ⟨ P _n ⟩= 0 para cada n , o que no hay probabilidad de estar en un estado cuántico acotado.

${\displaystyle \langle S\rangle ={\text{``limit at infinity''}}\langle Se_{n},e_{n}\rangle }$

Ha llevado a un vínculo entre las trazas singulares, el principio de correspondencia y los límites clásicos. ^{[6] : cap 12}

Uso en geometría no conmutativa

La primera aplicación de trazas singulares fue el residuo no conmutativo , una traza en operadores pseudodiferenciales clásicos en una variedad compacta que se desvanece en operadores pseudodiferenciales de clase traza de orden menor que el negativo de la dimensión de la variedad, introducido independientemente por Mariusz Wodzicki y Victor Guillemin . ^{[11] [16]} Alain Connes caracterizó el residuo no conmutativo dentro de la geometría no conmutativa , la generalización de Connes de la geometría diferencial, utilizando trazas de Dixmier. ^[3]

En geometría no conmutativa se utiliza una expectativa que implica una densidad de clases de traza singular y no traza .

Aquí S es un operador lineal acotado en el espacio de Hilbert L ₂ ( X ) de funciones integrables al cuadrado en una variedad cerrada de dimensión d X , Tr _ω es una traza de Dixmier en el ideal de clase de traza débil, y la densidad | D | ^{− d} en el ideal de clase de traza débil es la d ésima potencia del 'elemento de línea' | D | ⁻¹ donde D es un operador de tipo Dirac adecuadamente normalizado de modo que Tr _ω (| D | ^{− d} )=1.

La expectativa ( 4 ) es una extensión de la integral de Lebesgue sobre el álgebra conmutativa de funciones esencialmente acotadas que actúan por multiplicación en L ₂ ( X ) al álgebra no conmutativa completa de operadores acotados en L ₂ ( X ). ^[15] Es decir,

${\displaystyle \int M_{f}=\int _{X}f(x)\,dx.}$

donde dx es la forma de volumen en X , f es una función esencialmente acotada, y M _f es el operador acotado M _f h ( x ) = ( fh )( x ) para cualquier función integrable al cuadrado h en L ₂ ( X ). Simultáneamente, la expectativa ( 4 ) es el límite en el infinito de las expectativas cuánticas S → ⟨ Se _n , e _n ⟩ definidas por los vectores propios del Laplaciano en X . Más precisamente, para muchos operadores acotados en L ₂ ( X ), incluidos todos los operadores pseudodiferenciales clásicos de orden cero y los operadores de la forma M _f donde f es una función esencialmente acotada, la secuencia ⟨ Se _n , e _n ⟩ converge logarítmicamente y ^{[6] : 384}

${\displaystyle \int S=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{1+k}}\langle Se_{k},e_{k}\rangle }{\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{1+k}}}}}$

Estas propiedades están vinculadas al espectro de operadores de tipo Dirac y no a trazas de Dixmier; todavía se mantienen si la traza de Dixmier en ( 4 ) se reemplaza por cualquier traza en operadores de clase de traza débil. ^[15]

Ejemplos

Supongamos que H es un espacio de Hilbert de dimensión infinita separable.

Ideales sin rastros

• Operadores acotados. Paul Halmos demostró en 1954 que todo operador acotado en un espacio de Hilbert de dimensión infinita separable es la suma de dos conmutadores. ^[17] Es decir, Com( B ( H )) = B ( H ) y la co-dimensión del subespacio conmutador de B ( H ) es cero. Los operadores lineales acotados no admiten trazas definidas en todas partes . La salvedad es relevante; como álgebra de von Neumann, B ( H ) admite trazas semifinitas (definidas de manera densa y fuerte).

El examen moderno del subespacio conmutador implica verificar su caracterización espectral . Los siguientes ideales no tienen rastros ya que las medias de Cesàro de las secuencias positivas del espacio de secuencias correspondiente de Calkin pertenecen nuevamente al espacio de secuencias, lo que indica que el ideal y su subespacio conmutador son iguales.

• Operadores compactos. El subespacio conmutador Com( K ( H )) = K ( H ) donde K ( H ) denota los operadores lineales compactos . El ideal de los operadores compactos no admite trazas.
• P -ideales de Schatten . El subespacio conmutador Com( L _p ) = L _p , p > 1, donde L _p denota el p -ideal de Schatten ,

${\displaystyle L_{p}=\{A\in K(H):\left(\sum _{n=0}^{\infty }\mu (n,A)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty \},}$

y μ( A ) denota la secuencia de valores singulares de un operador compacto A . Los ideales de Schatten para p > 1 no admiten trazas.

• p -ideales de Lorentz o ideales débiles L _p . El subespacio conmutador Com( L _{p ,∞} ) = L _{p ,∞} , p > 1, donde

${\displaystyle L_{p,\infty }=\{A\in K(H):\mu (n,A)=O(n^{-{\frac {1}{p}}})\}}$

es el ideal débil -L _p . Los ideales débiles -L _p , p > 1, no admiten trazas. Los ideales débiles -L _p son iguales a los ideales de Lorentz (abajo) con función cóncava ψ( n )= n ^{1−1/ p} .

Ideales con rastros

• Operadores de rango finito. Se comprueba a partir de la condición espectral que el núcleo de la traza del operador Tr y el subespacio conmutador de los operadores de rango finito son iguales, ker Tr = Com( F ( H )). De ello se deduce que el subespacio conmutador Com( F ( H )) tiene co-dimensión 1 en F ( H ). Hasta el escalado Tr es la única traza en F ( H ).
• Operadores de la clase traza. Los operadores de la clase traza L ₁ tienen Com( L ₁ ) estrictamente contenido en ker Tr. Por lo tanto, la co-dimensión del subespacio del conmutador es mayor que uno y se muestra que es infinita. ^[18] Mientras que Tr es, hasta el escalado, la única traza continua en L ₁ para la norma ||A|| ₁ = Tr(|A|), el ideal de los operadores de la clase traza admite infinitas trazas singulares linealmente independientes y no triviales.

• Operadores de clase traza débil . Dado que Com( L _{1 ,∞} ) ₊ = ( L ₁ ) ₊ la co-dimensión del subespacio conmutador del ideal débil- L ₁ es infinita. Cada traza en operadores de clase traza débil se desvanece en operadores de clase traza y, por lo tanto, es singular. Los operadores de clase traza débil forman el ideal más pequeño donde cada traza en el ideal debe ser singular. ^[18] Las trazas de Dixmier proporcionan una construcción explícita de trazas en los operadores de clase traza débil.

${\displaystyle {\rm {Tr}}_{\omega }(A)=\omega \left(\left\{{\frac {1}{\log(1+n)}}\sum _{k=0}^{n}\lambda (k,A)\right\}_{n=0}^{\infty }\right),\quad A\in L_{1,\infty }.}$

Esta fórmula es válida para cada operador de clase de traza débil A e involucra los valores propios ordenados en valor absoluto decreciente. Además, ω puede ser cualquier extensión hasta l _∞ del límite ordinario, no necesita ser invariante a la dilatación como en la formulación original de Dixmier. No todas las trazas singulares en el ideal de clase de traza débil son trazas de Dixmier. ^{[6] : 316}

• Ideales de la clase de traza débil del tensor k . Los ideales débiles L _p , p > 1, no admiten trazas como se explicó anteriormente. No son la configuración correcta para factorizaciones de orden superior de las trazas en el ideal de la clase de traza débil L _{1 ,∞} . Para un número natural k ≥ 1 los ideales

${\displaystyle E_{\otimes k}=\{A\in K(H):\mu (n,A)=O(\log ^{k-1}(n)/n)\}}$

forman el entorno apropiado. Tienen subespacios conmutadores de co-dimensión infinita que forman una cadena tal que E _{⊗ k -1} ⊂ Com( E _{⊗ k} ) (con la convención de que E ₀ = L ₁ ). Las trazas de Dixmier en E _{⊗ k} tienen la forma

${\displaystyle {\rm {Tr}}_{\omega }^{k}(A)=\omega \left(\left\{{\frac {1}{\log ^{k}(1+n)}}\sum _{j=0}^{n}\lambda (j,A)\right\}_{n=0}^{\infty }\right),\quad A\in E_{\otimes k}.}$

• ψ-ideales de Lorentz. La configuración natural para las trazas de Dixmier es un ψ-ideal de Lorentz para una función cóncava creciente ψ : [0,∞) → [0,∞),

${\displaystyle L_{\psi }=\{A\in K(H):{\frac {1}{\psi (1+n)}}\sum _{j=0}^{n}\mu (n,A)<\infty \}.}$

Hay algunos ω que extienden el límite ordinario a l _∞ tales que

${\displaystyle {\rm {Tr}}_{\omega }^{\psi }(A)=\omega \left(\left\{{\frac {1}{\psi (1+n)}}\sum _{j=0}^{n}\lambda (j,A)\right\}_{n=0}^{\infty }\right),\quad A\in L_{\psi }}$

es una traza singular si y sólo si ^{[6] : 225}

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {\psi (2n)}{\psi (n)}}=1.}$

El ideal principal generado por cualquier operador compacto A con μ( A )=ψ' se denomina 'pequeño ideal' dentro de L _ψ . El ideal de la clase de traza débil del k -tensor es el pequeño ideal dentro del ideal de Lorentz con ψ=log ^k .

• Los ideales completamente simétricos generalizan los ideales de Lorentz. Las trazas de Dixmier forman todas las trazas completamente simétricas en un ideal de Lorentz hasta el escalamiento, y forman un subconjunto débil* denso de las trazas completamente simétricas en un ideal general completamente simétrico. Se sabe que las trazas completamente simétricas son un subconjunto estricto de las trazas positivas en un ideal completamente simétrico. ^{[6] : 109} Por lo tanto, las trazas de Dixmier no son el conjunto completo de trazas positivas en los ideales de Lorentz.

Notas

1. Weiss, Gary (1980). "Conmutadores de operadores de Hilbert-Schmidt, II". Ecuaciones integrales y teoría de operadores . 3 (4): 574–600. doi :10.1007/BF01702316. S2CID  189875793.
2. NJ Kalton (1989). "Operadores y conmutadores de clase traza". Journal of Functional Analysis . 86 : 41–74. doi : 10.1016/0022-1236(89)90064-5 .
3. Connes, Alain (1988). "La acción funcional en geometría no conmutativa" (PDF) . Comunicaciones en Física Matemática . 117 (4): 673–683. Bibcode :1988CMaPh.117..673C. doi :10.1007/bf01218391. S2CID  14261310.
4. A. Connes (1995). Geometría no conmutativa (PDF) . Nueva York: Academic Press. ISBN 978-0-08-057175-1.
5. J. Dixmier (1957). Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann . París: Gauthier-Villars.,
6. S. Lord, FA Sukochev. D. Zanin (2012). Huellas singulares: teoría y aplicaciones. Berlín: De Gruyter. doi :10.1515/9783110262551. ISBN 978-3-11-026255-1.
7. J. Dixmier (1966). "Existencia de huellas no normales". Cuentas Rendus de l'Académie des Sciences, Serie A et B. 262 : A1107–A1108.
8. A. Pietsch (1981). "Ideales de operador con huella". Mathematische Nachrichten . 100 : 61–91. doi :10.1002/mana.19811000105.
9. Nueva Jersey Kalton (1987). "Huellas inusuales sobre los ideales de los operadores" (PDF) . Mathematische Nachrichten . 134 : 119-130. doi :10.1002/mana.19871340108.
10. JV Varga (1989). "Huellas sobre ideales irregulares" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 107 (3): 715–723. doi : 10.1090/s0002-9939-1989-0984818-8 .
11. M. Wodzicki (1984). "Invariantes locales de asimetría espectral". Inventiones Mathematicae . 75 : 143–177. Código Bibliográfico :1984InMat..75..143W. doi :10.1007/bf01403095. S2CID  120857263.
12. K. Dykema; T. Figiel; G. Weiss; M. Wodzicki (2004). "Estructura del conmutador de los ideales del operador" (PDF) . Avances en Matemáticas . 185 : 1–79. doi : 10.1016/s0001-8708(03)00141-5 .
13. VB Lidskii (1959). "Condiciones de completitud de un sistema de subespacios raíz para operadores no autoadjuntos con espectro discreto". Tr. Mosk. Mat. Obs . 8 : 83–120.
14. ^{[ cita requerida ]}
15. NJ Kalton; S. Lord; D. Potapov; F. Sukochev (2013). "Rastros de operadores compactos y el residuo no conmutativo" (PDF) . Avances en Matemáticas . 235 : 1–55. arXiv : 1210.3423 . doi : 10.1016/j.aim.2012.11.007 .
16. V. Guillemin (1985). "Una nueva prueba de la fórmula de Weyl sobre la distribución asintótica de valores propios". Avances en Matemáticas . 55 (2): 131–160. doi : 10.1016/0001-8708(85)90018-0 .
17. P. Halmos (1954). "Conmutadores de operadores. II". Revista Americana de Matemáticas . 76 (1): 191–198. doi :10.2307/2372409. JSTOR  2372409.
18. V. Kaftal; G. Weiss (2002). "Trazas, ideales y medias aritméticas". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 99 (11): 7356–7360. Bibcode :2002PNAS...99.7356K. doi : 10.1073/pnas.112074699 . PMC 124235 . PMID  12032287. 

Referencias

• S. Señor, FA Sukochev. D. Zanin (2012). Huellas singulares: teoría y aplicaciones. Berlín: De Gruyter. doi :10.1515/9783110262551. ISBN 978-3-11-026255-1.

• B. Simon (2005). Los ideales de trazas y sus aplicaciones . Providence, RI: Amer. Math. Soc. ISBN 978-0-82-183581-4.

• A. Pietsch (1981). "Ideales de operador con huella". Mathematische Nachrichten . 100 : 61–91. doi :10.1002/mana.19811000105.

• A. Pietsch (1987). Valores propios y números s . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0-52-132532-5.

• S. Albeverio; D. Guido; A. Ponosov; S. Scarlatti (1996). "Trazas singulares y operadores compactos" (PDF) . Journal of Functional Analysis . 137 (2): 281–302. doi : 10.1006/jfan.1996.0047 .

• M. Wodzicki (2002). «Vestigia investiganda» (PDF) . Revista de Matemáticas de Moscú . 2 (4): 769–798. doi :10.17323/1609-4514-2002-2-4-769-798.

• A. Connes (1994). Geometría no conmutativa . Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-185860-5.

Véase también

• Rastro de Dixmier