En geometría , un trapezoedro n -gonal , n -trapezoedro , n- antidipirámide , n -antibipirámide o n -deltoedro [3] , [4] es el poliedro dual de un antiprisma n -gonal . Las 2 n caras de un n -trapezoedro son congruentes y están simétricamente escalonadas; se denominan cometas torcidas. Con una simetría mayor, sus 2 n caras son cometas (a veces también llamadas trapecios o deltoides ). [5]
La parte " n -gonal " del nombre no se refiere aquí a caras, sino a dos disposiciones de cada n vértices alrededor de un eje de simetría n -pliegue . El antiprisma dual n -gonal tiene dos caras n -gono reales .
Un trapezoedro n -gonal se puede diseccionar en dos pirámides n -gonales iguales y un antiprisma n -gonal .
Estas figuras, a veces llamadas deltoides , [ 3] no deben confundirse con los deltoides , [4] cuyas caras son triángulos equiláteros.
Los trapezoedros trigonales , tetragonales y hexagonales torcidos (con seis, ocho y doce caras de cometa congruentes torcidas ) existen como cristales; en cristalografía (que describe los hábitos cristalinos de los minerales ), se los llama simplemente trapezoedros trigonales , tetragonales y hexagonales . No tienen plano de simetría ni centro de simetría de inversión; [6] , [7] pero tienen un centro de simetría : el punto de intersección de sus ejes de simetría. El trapezoedro trigonal tiene un eje de simetría triple, perpendicular a tres ejes de simetría doble. [6] El trapezoedro tetragonal tiene un eje de simetría cuádruple, perpendicular a cuatro ejes de simetría doble de dos tipos. El trapezoedro hexagonal tiene un eje de simetría séxtuple, perpendicular a seis ejes de simetría doble de dos tipos. [8]
Las disposiciones cristalinas de los átomos pueden repetirse en el espacio con celdas trapezoidales trigonales y hexagonales. [9]
También en cristalografía, la palabra trapezoedro se utiliza a menudo para el poliedro con 24 caras de cometa congruentes no torcidas conocido propiamente como icositetraedro deltoidal , [10] que tiene dieciocho vértices de orden 4 y ocho vértices de orden 3. Esto no debe confundirse con el trapezoedro dodecagonal , que también tiene 24 caras de cometa congruentes, pero dos vértices de orden 12 (es decir, polos) y dos anillos de doce vértices de orden 3 cada uno.
Siguiendo en cristalografía, el dodecaedro deltoide [11] tiene 12 caras de cometa congruentes no torcidas, seis vértices de orden 4 y ocho vértices de orden 3 (el dodecaedro rómbico es un caso especial). Este no debe confundirse con el trapezoedro hexagonal , que también tiene 12 caras de cometa congruentes, [8] pero dos vértices de orden 6 (es decir, polos) y dos anillos de seis vértices de orden 3 cada uno.
Un n -trapezoedro se define por una base regular en zigzag de 2 n -gonos, dos vértices simétricos sin grado de libertad justo encima y justo debajo de la base, y caras cuadriláteras que conectan cada par de aristas basales adyacentes a un vértice.
Un n -trapezoedro tiene dos vértices apicales en su eje polar y 2 n vértices basales en dos anillos n -gonales regulares. Tiene 2 n caras de cometa congruentes y es isoédrico .
El grupo de simetría de un trapezoedro n -gonal es D n d = D n v , de orden 4 n , excepto en el caso de n = 3 : un cubo tiene el grupo de simetría más grande O d de orden 48 = 4×(4×3) , que tiene cuatro versiones de D 3d como subgrupos.
El grupo de rotación de un n -trapezoedro es D n , de orden 2 n , excepto en el caso de n = 3 : un cubo tiene el grupo de rotación más grande O de orden 24 = 4×(2×3) , que tiene cuatro versiones de D 3 como subgrupos.
Nota: Todo n -trapezoedro con una base de 2 n -gonos con forma de zigzag regular y 2 n caras de cometa congruentes no retorcidas tiene el mismo grupo de simetría (diédrico) que el n -trapezoedro uniforme dual , para n ≥ 4 .
Un grado de libertad dentro de la simetría de D n d (orden 4 n ) a D n (orden 2 n ) cambia las cometas congruentes en cuadriláteros congruentes con tres longitudes de arista, llamados cometas torcidas , y el n -trapezoedro se llama trapezoedro torcido . (En el límite, una arista de cada cuadrilátero llega a longitud cero, y el n -trapezoedro se convierte en una n - bipirámide ).
Si las cometas que rodean los dos picos no están torcidas sino que tienen dos formas diferentes, el n -trapezoedro solo puede tener simetría C n v (cíclica con espejos verticales), orden 2 n , y se denomina trapezoedro desigual o asimétrico . Su dual es un n - antiprisma desigual , con los n -gonos superior e inferior de radios diferentes.
Si las cometas están retorcidas y tienen dos formas diferentes, el n -trapezoedro solo puede tener simetría C n (cíclica), orden n , y se llama trapezoedro retorcido desigual .
Un trapezoedro estrellado p / q (donde 2 ≤ q < 1 p ) se define por una base de estrella 2 p/q regular en zigzag oblicuo, dos vértices simétricos sin grado de libertad justo encima y justo debajo de la base, y caras cuadriláteras que conectan cada par de aristas basales adyacentes a un vértice.
Un trapezoedro estrellado p / q tiene dos vértices apicales en su eje polar y 2 vértices basales p en dos anillos p -gonales regulares. Tiene 2 caras de cometa p congruentes y es isoédrico .
Un trapezoedro estrellado de este tipo es una forma autointersecante , cruzada o no convexa . Existe para cualquier estrella regular en zigzag oblicua con base de 2 p / q -gono (donde 2 ≤ q < 1 p ).
Pero sipag/q < 3/2 , entonces ( p − q ) 360°/pag < q/2 360°/pag , por lo que el antiprisma estelar dual (del trapezoedro estelar) no puede ser uniforme (es decir, no puede tener longitudes de aristas iguales); y si pag/q = 3/2 , entonces ( p − q ) 360°/pag = q/2 360°/pag , por lo tanto, el antiprisma de estrella dual debe ser plano, y por lo tanto degenerado, para ser uniforme.
Un trapezoedro p / q de estrella uniforme dual tiene un diagrama de Coxeter-Dynkin 
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