Transversalidad (matemáticas)

En matemáticas , la transversalidad es una noción que describe cómo los espacios pueden intersecarse ; la transversalidad puede verse como el "opuesto" de la tangencia y desempeña un papel en la posición general . Formaliza la idea de una intersección genérica en topología diferencial . Se define considerando las linealizaciones de los espacios que se intersectan en los puntos de intersección.

Definición

Curvas transversales en la superficie de una esfera

Curvas no transversales en la superficie de una esfera

Se dice que dos subvariedades de una variedad lisa de dimensión finita dada se intersecan transversalmente si en cada punto de intersección , sus espacios tangentes separados en ese punto generan juntos el espacio tangente de la variedad ambiente en ese punto. ^[1] Las variedades que no se intersecan son vacuamente transversales. Si las variedades son de dimensión complementaria (es decir, sus dimensiones se suman a la dimensión del espacio ambiente ), la condición significa que el espacio tangente a la variedad ambiente es la suma directa de los dos espacios tangentes más pequeños. Si una intersección es transversal, entonces la intersección será una subvariedad cuya codimensión es igual a las sumas de las codimensiones de las dos variedades. En ausencia de la condición de transversalidad, la intersección puede no ser una subvariedad, teniendo algún tipo de punto singular .

En particular, esto significa que las subvariedades transversales de dimensión complementaria se intersecan en puntos aislados (es decir, una variedad 0 ). Si ambas subvariedades y la variedad ambiente están orientadas , su intersección está orientada. Cuando la intersección es de dimensión cero, la orientación es simplemente un más o un menos para cada punto.

Una notación para la intersección transversal de dos subvariedades y de una variedad dada es . Esta notación se puede leer de dos maneras: como “ y se intersecan transversalmente” o como una notación alternativa para la intersección de teoría de conjuntos de y cuando esa intersección es transversal. En esta notación, la definición de transversalidad se lee ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L_{1}\pitchfork L_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}\cap L_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$

${\displaystyle L_{1}\pitchfork L_{2}\iff \forall p\in L_{1}\cap L_{2},T_{p}M=T_{p}L_{1}+T_{p}L_{2}.}$

Transversalidad de los mapas

La noción de transversalidad de un par de subvariedades se extiende fácilmente a la transversalidad de una subvariedad y una función con la variedad ambiental, o a un par de funciones con la variedad ambiental, preguntando si los empujes hacia delante de los espacios tangentes a lo largo de la preimagen de puntos de intersección de las imágenes generan todo el espacio tangente de la variedad ambiental. ^[2] Si las funciones son incrustaciones , esto es equivalente a la transversalidad de subvariedades.

Significado de transversalidad para diferentes dimensiones

La transversalidad depende del espacio circundante. Las dos curvas mostradas son transversales cuando las consideramos como incrustadas en el plano, pero no si las consideramos como incrustadas en un plano en el espacio tridimensional.

Supongamos que tenemos mapas transversales y donde y son variedades con dimensiones y respectivamente. ${\displaystyle f_{1}:L_{1}\to M}$ ${\displaystyle f_{2}:L_{2}\to M}$ ${\displaystyle L_{1},L_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ell _{1},\ell _{2}}$ ${\displaystyle m}$

El significado de transversalidad difiere mucho según las dimensiones relativas de y . La relación entre transversalidad y tangencia es más clara cuando . ${\displaystyle M,L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}=m}$

Podemos considerar tres casos separados:

1. Cuando , es imposible que la imagen de los espacios tangentes de y abarque el espacio tangente de en cualquier punto. Por lo tanto, cualquier intersección entre y no puede ser transversal. Sin embargo, las variedades que no se intersecan satisfacen la condición de manera vacía, por lo que se puede decir que se intersecan transversalmente. ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}<m}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$
2. Cuando , la imagen de los espacios tangentes de y deben sumar directamente el espacio tangente de en cualquier punto de intersección. Por lo tanto, su intersección consta de puntos aislados con signo, es decir, una variedad de dimensión cero. ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}=m}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle M}$
3. Cuando esta suma no tiene por qué ser directa. De hecho, no puede ser directa si y son inmersiones en su punto de intersección, como sucede en el caso de subvariedades embebidas. Si las aplicaciones son inmersiones, la intersección de sus imágenes será una variedad de dimensión ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}>m}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle \ell _{1}+\ell _{2}-m.}$

Producto de intersección

Dadas dos subvariedades lisas cualesquiera, es posible perturbar cualquiera de ellas en una cantidad arbitrariamente pequeña de modo que la subvariedad resultante interseque transversalmente con la subvariedad fija. Tales perturbaciones no afectan la clase de homología de las variedades o de sus intersecciones. Por ejemplo, si variedades de dimensión complementaria se intersecan transversalmente, la suma con signo del número de sus puntos de intersección no cambia incluso si isotopizamos las variedades con otra intersección transversal. (Los puntos de intersección se pueden contar módulo 2, ignorando los signos, para obtener un invariante más grueso). Esto desciende a un producto de intersección bilineal en clases de homología de cualquier dimensión, que es dual de Poincaré al producto de copa en cohomología . Al igual que el producto de copa, el producto de intersección es conmutativo gradual .

Ejemplos de intersecciones transversales

El ejemplo más simple y no trivial de transversalidad es el de los arcos en una superficie . Un punto de intersección entre dos arcos es transversal si y solo si no es una tangencia, es decir, sus líneas tangentes dentro del plano tangente a la superficie son distintas.

En un espacio tridimensional, dos curvas pueden ser transversales sólo cuando tienen intersección vacía, ya que sus espacios tangentes podrían generar como máximo un espacio bidimensional. Las curvas transversales a superficies se cortan en puntos, y las superficies transversales entre sí se cortan en curvas. Las curvas que son tangentes a una superficie en un punto (por ejemplo, las curvas que se encuentran sobre una superficie) no cortan la superficie transversalmente.

He aquí un ejemplo más especializado: supongamos que es un grupo de Lie simple y es su álgebra de Lie. Por el teorema de Jacobson-Morozov, cada elemento nilpotente puede incluirse en una -triple . La teoría de representación de nos dice que . El espacio es el espacio tangente en a la órbita adjunta y, por lo tanto, el espacio afín interseca la órbita de transversalmente. El espacio se conoce como la "porción de Slodowy" en honor a Peter Slodowy . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle e\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl_{2}}}}$ ${\displaystyle (e,h,f)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl_{2}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},e]\oplus {\mathfrak {g}}_{f}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},e]}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\rm {{Ad}(G)e}}}$ ${\displaystyle e+{\mathfrak {g}}_{f}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e+{\mathfrak {g}}_{f}}$

Aplicaciones

Control óptimo

En los campos en los que se utiliza el cálculo de variaciones o el principio de máximo de Pontryagin relacionado , la condición de transversalidad se utiliza con frecuencia para controlar los tipos de soluciones que se encuentran en los problemas de optimización. Por ejemplo, es una condición necesaria para las curvas de solución de problemas de la forma:

Minimizar donde uno o ambos puntos finales de la curva no están fijos. ${\displaystyle \int {F(x,y,y^{\prime })}dx}$

En muchos de estos problemas, la solución satisface la condición de que la curva de solución debe cruzar transversalmente la nulclina o alguna otra curva que describa las condiciones terminales.

Suavidad de los espacios de solución

Utilizando el teorema de Sard , cuya hipótesis es un caso especial de la transversalidad de las aplicaciones, se puede demostrar que las intersecciones transversales entre subvariedades de un espacio de dimensiones complementarias o entre subvariedades y aplicaciones de un espacio son en sí mismas subvariedades suaves. Por ejemplo, si una sección suave del fibrado tangente de una variedad orientada —es decir, un campo vectorial— se considera como una función desde la base hasta el espacio total, e intersecta la sección cero (vista ya sea como función o como subvariedad) transversalmente, entonces el conjunto cero de la sección —es decir, las singularidades del campo vectorial— forma una subvariedad suave de dimensión 0 de la base, es decir, un conjunto de puntos con signo. Los signos concuerdan con los índices del campo vectorial y, por lo tanto, la suma de los signos —es decir, la clase fundamental del conjunto cero— es igual a la característica de Euler de la variedad. De manera más general, para un fibrado vectorial sobre una variedad cerrada, lisa y orientada de dimensión finita, el conjunto cero de una sección transversal a la sección cero será una subvariedad de base de codimensión igual al rango del fibrado vectorial, y su clase de homología será dual de Poincaré de la clase de Euler del fibrado.

Un caso extremadamente especial de esto es el siguiente: si una función diferenciable de números reales a números reales tiene derivada distinta de cero en un cero de la función, entonces el cero es simple, es decir, si la gráfica es transversal al eje x en ese cero; una derivada cero significaría una tangente horizontal a la curva, lo cual coincidiría con el espacio tangente al eje x .

Para un ejemplo de dimensión infinita, el operador d-barra es una sección de un determinado fibrado espacial de Banach sobre el espacio de funciones desde una superficie de Riemann hacia una variedad casi compleja . El conjunto cero de esta sección consiste en funciones holomorfas. Si se puede demostrar que el operador d-barra es transversal a la sección cero, este espacio de módulos será una variedad suave. Estas consideraciones juegan un papel fundamental en la teoría de curvas pseudoholomorfas y la teoría de Gromov-Witten . (¡Obsérvese que para este ejemplo, la definición de transversalidad tiene que refinarse para poder tratar con espacios de Banach !)

Gramática

"Transversal" es un sustantivo; el adjetivo es "transversal".

cita de JHC Whitehead, 1959 ^[3]

Véase también

• Teorema de transversalidad

Notas

1. Guillemin y Pollack 1974, pág.30.
2. Guillemin y Pollack 1974, pág. 28.
3. Hirsch (1976), pág. 66

Referencias

• Thom, René (1954). "Quelques propriétés globales des variétés diferenciables". Comentario. Matemáticas. Helv. 28 (1): 17–86. doi :10.1007/BF02566923. S2CID  120243638.
• Guillemin, Victor; Pollack, Alan (1974). Topología diferencial . Prentice-Hall. ISBN 0-13-212605-2.
• Hirsch, Morris (1976). Topología diferencial . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.