El problema de Waring

Problema matemático en teoría de números

En teoría de números , el problema de Waring pregunta si cada número natural k tiene asociado un entero positivo s tal que cada número natural sea la suma de, como máximo, s números naturales elevados a la potencia k . Por ejemplo, cada número natural es la suma de, como máximo, 4 cuadrados, 9 cubos o 19 cuartas potencias. El problema de Waring fue propuesto en 1770 por Edward Waring , de quien recibe su nombre. Su respuesta afirmativa, conocida como el teorema de Hilbert-Waring , fue proporcionada por Hilbert en 1909. ^[1] El problema de Waring tiene su propia Clasificación de materias de matemáticas , 11P05, "El problema de Waring y variantes".

Relación con el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange

Mucho antes de que Waring planteara su problema, Diofanto había preguntado si todo entero positivo podía representarse como la suma de cuatro cuadrados perfectos mayores o iguales a cero. Esta cuestión se conocería más tarde como la conjetura de Bachet, tras la traducción de Diofanto de Claude Gaspard Bachet de Méziriac en 1621 , y fue resuelta por Joseph-Louis Lagrange en su teorema de los cuatro cuadrados en 1770, el mismo año en que Waring formuló su conjetura. Waring intentó generalizar este problema intentando representar todos los enteros positivos como la suma de cubos, enteros elevados a la cuarta potencia, etc., para demostrar que cualquier entero positivo puede representarse como la suma de otros enteros elevados a un exponente específico, y que siempre había un número máximo de enteros elevados a un cierto exponente necesario para representar todos los enteros positivos de esta manera.

El numerogramo(a)

Para cada , sea el número mínimo de potencias de números naturales necesarias para representar todos los números enteros positivos. Todo número entero positivo es la suma de una primera potencia, él mismo, por lo que . Algunos cálculos simples muestran que 7 requiere 4 cuadrados, 23 requiere 9 cubos, ^[2] y 79 requiere 19 cuartas potencias; estos ejemplos muestran que , y . Waring conjeturó que estos límites inferiores eran de hecho valores exactos. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle g(k)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle g(1)=1}$ ${\displaystyle g(2)\geq 4}$ ${\displaystyle g(3)\geq 9}$ ${\displaystyle g(4)\geq 19}$

El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange de 1770 establece que todo número natural es la suma de cuatro cuadrados como máximo. Como tres cuadrados no son suficientes, este teorema establece que . El teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange fue conjeturado en la edición de 1621 de Bachet de la Arithmetica de Diofanto ; Fermat afirmó tener una prueba, pero no la publicó. ^[3] ${\displaystyle g(2)=4}$

A lo largo de los años se establecieron diversos límites, utilizando técnicas de demostración cada vez más sofisticadas y complejas. Por ejemplo, Liouville demostró que es como máximo 53. Hardy y Littlewood demostraron que todos los números suficientemente grandes son la suma de como máximo 19 cuartas potencias. ${\displaystyle g(4)}$

Esto fue establecido de 1909 a 1912 por Wieferich ^[4] y AJ Kempner , ^[5] en 1986 por R. Balasubramanian , F. Dress y J.-M. Deshouillers , ^{[6] [7]} en 1964 por Chen Jingrun , y en 1940 por Pillai . ^[8] ${\displaystyle g(3)=9}$ ${\displaystyle g(4)=19}$ ${\displaystyle g(5)=37}$ ${\displaystyle g(6)=73}$

Sean y respectivamente la parte integral y fraccionaria de un número real positivo . Dado el número , solo y pueden usarse para representar ; la representación más económica requiere términos de y términos de . De ello se deduce que es al menos tan grande como . Esto fue observado por J. A. Euler , el hijo de Leonhard Euler , alrededor de 1772. ^[9] Trabajos posteriores de Dickson , Pillai , Rubugunday , Niven ^[10] y muchos otros han demostrado que ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c=2^{k}\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -1<3^{k}}$ ${\displaystyle 2^{k}}$ ${\displaystyle 1^{k}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \lfloor (3/2)^{k}\rfloor -1}$ ${\displaystyle 2^{k}}$ ${\displaystyle 2^{k}-1}$ ${\displaystyle 1^{k}}$ ${\displaystyle g(k)}$ ${\displaystyle 2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2}$

${\displaystyle g(k)={\begin{cases}2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor \leq 2^{k},\\2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -2&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}{\text{ and }}\lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor =2^{k},\\2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor -3&{\text{if}}\quad 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}{\text{ and }}\lfloor (4/3)^{k}\rfloor \lfloor (3/2)^{k}\rfloor +\lfloor (4/3)^{k}\rfloor +\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}.\end{cases}}}$

No se conoce ningún valor de para el cual . Mahler ^[11] demostró que solo puede haber un número finito de tales , y Kubina y Wunderlich ^[12] han demostrado que cualquier tal debe satisfacer . Por lo tanto, se conjetura que esto nunca sucede, es decir, para cada entero positivo . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2^{k}\{(3/2)^{k}\}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor >2^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k>471\,600\,000}$ ${\displaystyle g(k)=2^{k}+\lfloor (3/2)^{k}\rfloor -2}$ ${\displaystyle k}$

Los primeros valores de son: ${\displaystyle g(k)}$

1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223, 8384, 16673, 33203, 66190, 132055, 263619, 526502, 1051899, ... (secuencia A002804 en la OEIS ).

El numeroGRAMO(a)

A partir del trabajo de Hardy y Littlewood , ^[13] se estudió la cantidad relacionada G ( k ) con g ( k ). G ( k ) se define como el menor entero positivo s tal que cada entero suficientemente grande (es decir, cada entero mayor que alguna constante) puede representarse como una suma de como máximo s enteros positivos a la potencia de k . Claramente, G (1) = 1. Dado que los cuadrados son congruentes con 0, 1 o 4 (mod 8), ningún entero congruente con 7 (mod 8) puede representarse como una suma de tres cuadrados, lo que implica que G (2) ≥ 4 . Dado que G ( k ) ≤ g ( k ) para todo k , esto muestra que G (2) = 4 . Davenport demostró ^[14] que G (4) = 16 en 1939, al demostrar que cualquier número suficientemente grande congruente con 1 a través de 14 módulo 16 podría escribirse como una suma de 14 cuartas potencias (Vaughan en 1986 ^[15] y 1989 ^[16] redujo los 14 bicuadrados sucesivamente a 13 y 12). El valor exacto de G ( k ) es desconocido para cualquier otro k , pero existen límites.

Límites inferiores paraGRAMO(a)

El número G ( k ) es mayor o igual a

En ausencia de restricciones de congruencia, un argumento de densidad sugiere que G ( k ) debería ser igual a k + 1 .

Límites superiores paraGRAMO(a)

G (3) es al menos 4 (ya que los cubos son congruentes con 0, 1 o −1 mod 9); para números menores que 1,3 × 10⁹ ,1 290 740 es el último que requiere 6 cubos, y la cantidad de números entre N y 2 N que requieren 5 cubos disminuye con el aumento de N a una velocidad suficiente para que la gente crea que G (3) = 4 ; ^[17] el número más grande que ahora se sabe que no es una suma de 4 cubos es7 373 170 279 850 , ^[18] y los autores dan argumentos razonables de que este puede ser el mayor posible. El límite superior G (3) ≤ 7 se debe a Linnik en 1943. ^[19] (Todos los números enteros no negativos requieren como máximo 9 cubos, y se conjetura que los números enteros más grandes que requieren 9, 8, 7, 6 y 5 cubos son 239, 454, 8042,1 290 740 y7 373 170 279 850 , respectivamente.)

13 792 es el número más grande que requiere 17 cuartas potencias (Deshouillers, Hennecart y Landreau demostraron en 2000 ^[20] que cada número entre13 793 y 10 ²⁴⁵ requerían como máximo 16, y Kawada, Wooley y Deshouillers ampliaron ^[21] el resultado de Davenport de 1939 para mostrar que cada número por encima de 10 ²²⁰ requería como máximo 16). Los números de la forma 31·16 ⁿ siempre requieren 16 cuartas potencias.

68 578 904 422 es el último número conocido que requiere 9 quintas potencias (secuencia entera S001057, Tony D. Noe, 4 de julio de 2017),617 597 724 es el último número menor que 1,3 × 10⁹ que requiere 10 quintas potencias, y51 033 617 es el último número menor que 1,3 × 10⁹ que requiere 11.

Los límites superiores a la derecha con k = 5, 6, ..., 20 se deben a Vaughan y Wooley . ^[22]

Utilizando su método mejorado de Hardy-Ramanujan-Littlewood , I. M. Vinogradov publicó numerosos refinamientos que condujeron a

${\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11)}$

en 1947 ^[23] y, en última instancia,

${\displaystyle G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+C\log \log \log k)}$

para una constante C no especificada y un k suficientemente grande en 1959. ^[24]

Aplicando su forma p -ádica del método de Hardy–Ramanujan–Littlewood–Vinogradov para estimar sumas trigonométricas, en las que la suma se toma sobre números con divisores primos pequeños, Anatolii Alexeevitch Karatsuba obtuvo ^[25] en 1985 una nueva estimación, para : ${\displaystyle k\geq 400}$

${\displaystyle G(k)\leq k(2\log k+2\log \log k+12).}$

Vaughan obtuvo mejoras adicionales en 1989. ^[16]

Wooley estableció entonces que para alguna constante C , ^[26]

${\displaystyle G(k)\leq k(\log k+\log \log k+C).}$

El artículo de investigación de Vaughan y Wooley de 2002 era exhaustivo en su momento. ^[22]

Véase también

• Teorema de los números poligonales de Fermat , que establece que todo entero positivo es una suma de como máximo n de los números n -gonales
• Problema de Waring-Goldbach , el problema de representar números como sumas de potencias de primos.
• Problema de suma de subconjuntos , un problema algorítmico que se puede utilizar para encontrar la representación más corta de un número dado como suma de potencias.
• Las conjeturas de Pollock
• Sumas de tres cubos , analiza qué números son la suma de tres cubos no necesariamente positivos
• Problema de sumas de cuatro cubos , analiza si cada número entero es la suma de cuatro cubos de números enteros.

Notas

1. Hilbert, David (1909). "Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl n-ter Potenzen (Problema de Waringsches)". Mathematische Annalen (en alemán). 67 (3): 281–300. doi :10.1007/bf01450405. SEÑOR  1511530. S2CID  179177986.
2. Recuerde que nos limitamos a los números naturales. Con los números enteros generales, no es difícil escribir 23 como la suma de 4 cubos, por ejemplo o . ${\displaystyle 2^{3}+2^{3}+2^{3}+(-1)^{3}}$ ${\displaystyle 29^{3}+17^{3}+8^{3}+(-31)^{3}}$
3. Dickson, Leonard Eugene (1920). "Capítulo VIII". Historia de la teoría de los números . Vol. II: Análisis diofántico. Instituto Carnegie de Washington .
4. Wieferich, Arthur (1909). "Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positivn Kuben darstellen läßt". Mathematische Annalen (en alemán). 66 (1): 95-101. doi :10.1007/BF01450913. S2CID  121386035.
5. Kempner, Aubrey (1912). "Problema Bemerkungen zum Waringschen". Mathematische Annalen (en alemán). 72 (3): 387–399. doi :10.1007/BF01456723. S2CID  120101223.
6. Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Vestido, François (1986). "Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solución" [Problema de Waring para bicuadrados. I. Bosquejo de la solución]. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (en francés). 303 (4): 85–88. SEÑOR  0853592.
7. Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Vestido, François (1986). "Problème de Waring pour les bicarrés. II. Résultats auxiliaires pour le théorème asymptotique" [Problema de Waring para bicuadrados. II. Resultados auxiliares del teorema asintótico]. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (en francés). 303 (5): 161–163. SEÑOR  0854724.
8. Pillai, SS (1940). "Sobre el problema de Waring g (6) = 73". Proc. Indian Acad. Sci . 12 : 30–40. doi :10.1007/BF03170721. MR  0002993. S2CID  185097940.
9. L. Euler , "Ópera póstuma" (1), 203-204 (1862).
10. Niven, Ivan M. (1944). "Un caso no resuelto del problema de Waring". American Journal of Mathematics . 66 (1). Prensa de la Universidad Johns Hopkins: 137–143. doi :10.2307/2371901. JSTOR  2371901. MR  0009386.
11. Mahler, Kurt (1957). "Sobre las partes fraccionarias de las potencias de un número racional II". Mathematika . 4 (2): 122–124. doi :10.1112/s0025579300001170. MR  0093509.
12. Kubina, Jeffrey M.; Wunderlich, Marvin C. (1990). "Extendiendo la conjetura de Waring a 471.600.000". Math. Comp. 55 (192): 815–820. Bibcode :1990MaCom..55..815K. doi :10.2307/2008448. JSTOR  2008448. MR  1035936.
13. Hardy, GH; Littlewood, JE (1922). "Algunos problemas de Partitio Numerorum : IV. La serie singular en el problema de Waring y el valor del número G(k)". Revista matemática . 12 (1): 161–188. doi :10.1007/BF01482074. ISSN  0025-5874.
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26. Vaughan, RC (1997). El método Hardy-Littlewood . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 125 (2.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-57347-5.Zbl 0868.11046  .

Referencias

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• Khinchin, A. Ya. (1998). Tres perlas de la teoría de números . Mineola, NY: Dover. ISBN 978-0-486-40026-6.Tiene una prueba elemental de la existencia de G ( k ) utilizando la densidad de Schnirelmann .
• Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría de números aditivos: las bases clásicas . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 164. Springer-Verlag . ISBN. 0-387-94656-X.Zbl 0859.11002  .Tiene pruebas del teorema de Lagrange, el teorema del número poligonal , la prueba de Hilbert de la conjetura de Waring y la prueba de Hardy-Littlewood de la fórmula asintótica para el número de formas de representar N como la suma de s k -ésimas potencias.
• Hans Rademacher y Otto Toeplitz , El placer de las matemáticas (1933) ( ISBN 0-691-02351-4 ). Contiene una demostración del teorema de Lagrange, accesible para estudiantes de secundaria. 

Enlaces externos

• "Problema de Waring", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]