Teorema de divergencia

Teorema de cálculo que relaciona el flujo de superficies cerradas con la divergencia sobre su volumen

En cálculo vectorial , el teorema de divergencia , también conocido como teorema de Gauss o teorema de Ostrogradsky , ^[1] es un teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la divergencia del campo en el volumen encerrado.

Más precisamente, el teorema de divergencia establece que la integral de superficie de un campo vectorial sobre una superficie cerrada, que se denomina "flujo" a través de la superficie, es igual a la integral de volumen de la divergencia sobre la región encerrada por la superficie. Intuitivamente, establece que "la suma de todas las fuentes del campo en una región (considerando los sumideros como fuentes negativas) da el flujo neto que sale de la región".

El teorema de divergencia es un resultado importante para las matemáticas de la física y la ingeniería , particularmente en electrostática y dinámica de fluidos . En estos campos, se aplica habitualmente en tres dimensiones. Sin embargo, se generaliza a cualquier número de dimensiones. En una dimensión, es equivalente al teorema fundamental del cálculo . En dos dimensiones, es equivalente al teorema de Green .

Explicación mediante el flujo de líquido.

Los campos vectoriales se suelen ilustrar utilizando el ejemplo del campo de velocidad de un fluido , como un gas o un líquido. Un líquido en movimiento tiene una velocidad (una rapidez y una dirección) en cada punto, que se puede representar mediante un vector , de modo que la velocidad del líquido en cualquier momento forma un campo vectorial. Consideremos una superficie imaginaria cerrada S dentro de un cuerpo de líquido, que encierra un volumen de líquido. El flujo de líquido fuera del volumen en cualquier momento es igual a la tasa de volumen del fluido que cruza esta superficie, es decir, la integral de superficie de la velocidad sobre la superficie.

Como los líquidos son incompresibles, la cantidad de líquido dentro de un volumen cerrado es constante; si no hay fuentes ni sumideros dentro del volumen, entonces el flujo de líquido que sale de S es cero. Si el líquido está en movimiento, puede fluir hacia el volumen en algunos puntos de la superficie S y hacia afuera del volumen en otros puntos, pero las cantidades que fluyen hacia adentro y hacia afuera en cualquier momento son iguales, por lo que el flujo neto de líquido que sale del volumen es cero.

Sin embargo, si una fuente de líquido está dentro de la superficie cerrada, como una tubería a través de la cual se introduce líquido, el líquido adicional ejercerá presión sobre el líquido circundante, causando un flujo hacia afuera en todas las direcciones. Esto causará un flujo neto hacia afuera a través de la superficie S . El flujo hacia afuera a través de S es igual a la tasa de volumen de flujo de fluido hacia S desde la tubería. De manera similar, si hay un sumidero o drenaje dentro de S , como una tubería que drena el líquido, la presión externa del líquido causará una velocidad a través del líquido dirigida hacia adentro hacia la ubicación del drenaje. La tasa de volumen de flujo de líquido hacia adentro a través de la superficie S es igual a la tasa de líquido eliminado por el sumidero.

Si hay múltiples fuentes y sumideros de líquido dentro de S , el flujo a través de la superficie se puede calcular sumando la tasa de volumen de líquido añadido por las fuentes y restando la tasa de líquido drenado por los sumideros. La tasa de volumen de flujo de líquido a través de una fuente o sumidero (con el flujo a través de un sumidero dado un signo negativo) es igual a la divergencia del campo de velocidad en la boca de la tubería, por lo que sumar (integrar) la divergencia del líquido en todo el volumen encerrado por S es igual a la tasa de volumen de flujo a través de S . Este es el teorema de divergencia. ^[2]

El teorema de divergencia se emplea en cualquier ley de conservación que establezca que el volumen total de todos los sumideros y fuentes, es decir, la integral de volumen de la divergencia, es igual al flujo neto a través del límite del volumen. ^[3]

Enunciado matemático

Una región V limitada por la superficie con la normal a la superficie n ${\displaystyle S=\partial V}$

Supóngase que V es un subconjunto de (en el caso de n = 3, V representa un volumen en el espacio tridimensional ) que es compacto y tiene un límite liso por partes S (también indicado con ). Si F es un campo vectorial continuamente diferenciable definido en un entorno de V , entonces: ^{[4] [5]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial V=S}$

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\,\mathrm {d} S.}$

El lado izquierdo es una integral de volumen sobre el volumen V , y el lado derecho es la integral de superficie sobre el límite del volumen V . El conjunto cerrado y medible está orientado por normales que apuntan hacia afuera , y es la normal unitaria que apunta hacia afuera en casi cada punto del límite . ( puede usarse como una abreviatura de ). En términos de la descripción intuitiva anterior, el lado izquierdo de la ecuación representa el total de las fuentes en el volumen V , y el lado derecho representa el flujo total a través del límite S . ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {n} \mathrm {d} S}$

Derivación informal

El teorema de divergencia se deduce del hecho de que si un volumen V se divide en partes separadas, el flujo que sale del volumen original es igual a la suma del flujo que sale de cada volumen componente. ^{[6] [7]} Esto es cierto a pesar del hecho de que los nuevos subvolúmenes tienen superficies que no eran parte de la superficie del volumen original, porque estas superficies son simplemente particiones entre dos de los subvolúmenes y el flujo a través de ellas simplemente pasa de un volumen al otro y, por lo tanto, se cancela cuando se suma el flujo que sale de los subvolúmenes.

Un volumen dividido en dos subvolúmenes. A la derecha, los dos subvolúmenes están separados para mostrar el flujo que sale de las diferentes superficies.

Vea el diagrama. Un volumen cerrado y acotado V está dividido en dos volúmenes V ₁ y V ₂ por una superficie S ₃ (verde) . El flujo Φ( V _i ) que sale de cada región componente V _i es igual a la suma del flujo a través de sus dos caras, por lo que la suma del flujo que sale de las dos partes es

${\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{31}}+\Phi _{\text{2}}+\Phi _{\text{32}}}$

donde Φ ₁ y Φ ₂ son el flujo que sale de las superficies S ₁ y S ₂ , Φ ₃₁ es el flujo que pasa por S ₃ y sale del volumen 1, y Φ ₃₂ es el flujo que pasa por S ₃ y sale del volumen 2. El punto es que la superficie S ₃ es parte de la superficie de ambos volúmenes. La dirección "hacia afuera" del vector normal es opuesta para cada volumen, por lo que el flujo que sale de uno a través de S ₃ es igual al negativo del flujo que sale del otro, por lo que estos dos flujos se cancelan en la suma. ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

${\displaystyle \Phi _{\text{31}}=\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=-\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot (-\mathbf {\hat {n}} )\;\mathrm {d} S=-\Phi _{\text{32}}}$

Por lo tanto:

${\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{2}}}$

Dado que la unión de las superficies S ₁ y S ₂ es S

${\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi (V)}$

El volumen se puede dividir en cualquier número de subvolúmenes y el flujo que sale de V es igual a la suma del flujo que sale de cada subvolúmen, porque el flujo a través de las superficies verdes se cancela en la suma. En (b) los volúmenes se muestran ligeramente separados, lo que ilustra que cada partición verde es parte del límite de dos volúmenes adyacentes.

Este principio se aplica a un volumen dividido en cualquier número de partes, como se muestra en el diagrama. ^[7] Dado que la integral sobre cada partición interna (superficies verdes) aparece con signos opuestos en el flujo de los dos volúmenes adyacentes, se cancelan, y la única contribución al flujo es la integral sobre las superficies externas (gris) . Dado que las superficies externas de todos los volúmenes componentes son iguales a la superficie original.

${\displaystyle \Phi (V)=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\Phi (V_{\text{i}})}$

A medida que el volumen se subdivide en partes más pequeñas, la relación entre el flujo que sale de cada volumen y el volumen se aproxima ${\displaystyle \Phi (V_{\text{i}})}$ ${\displaystyle |V_{\text{i}}|}$ ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} }$

El flujo Φ que sale de cada volumen es la integral de superficie del campo vectorial F ( x ) sobre la superficie

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S}$

El objetivo es dividir el volumen original en una cantidad infinita de volúmenes infinitesimales. A medida que el volumen se divide en partes cada vez más pequeñas, la integral de superficie de la derecha, el flujo que sale de cada subvolumen, se acerca a cero porque el área de superficie S ( V _i ) se acerca a cero. Sin embargo, a partir de la definición de divergencia , la relación entre el flujo y el volumen, , la parte entre paréntesis a continuación, no se anula en general, sino que se acerca a la divergencia div F a medida que el volumen se acerca a cero. ^[7] ${\displaystyle {\frac {\Phi (V_{\text{i}})}{|V_{\text{i}}|}}={\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S}$

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|}$

Mientras el campo vectorial F ( x ) tenga derivadas continuas, la suma anterior se cumple incluso en el límite cuando el volumen se divide en incrementos infinitamente pequeños.

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\lim _{|V_{\text{i}}|\to 0}\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|}$

A medida que se acerca al volumen cero, se convierte en el infinitesimal dV , la parte entre paréntesis se convierte en la divergencia y la suma se convierte en una integral de volumen sobre V. ${\displaystyle |V_{\text{i}}|}$

${\displaystyle \;\iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\iiint _{V}\operatorname {div} \mathbf {F} \;\mathrm {d} V\;}$

Dado que esta derivación no depende de coordenadas, demuestra que la divergencia no depende de las coordenadas utilizadas.

Pruebas

Para subconjuntos abiertos y acotados del espacio euclidiano

Vamos a demostrar lo siguiente: ^{[ cita requerida ]}

Teorema  —  Sea abierto y acotado con borde. Si está en un entorno abierto de , es decir, , entonces para cada , donde es el vector normal unitario que apunta hacia afuera a . Equivalentemente, ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle u\in C^{1}(O)}$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS,}$$ ${\displaystyle \nu :\partial \Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ $${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.}$$

Demostración del teorema. ^[8]

1. El primer paso es reducir al caso donde . Elija tal que en . Nótese que y en . Por lo tanto, basta con demostrar el teorema para . Por lo tanto, podemos suponer que . ${\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(O)}$ ${\displaystyle \phi =1}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle \phi u\in C_{c}^{1}(O)\subset C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \phi u=u}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle \phi u}$ ${\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$
2. Sea arbitrario. La suposición de que tiene frontera significa que existe un entorno abierto de en tal que es el gráfico de una función con que se encuentra en un lado de este gráfico. Más precisamente, esto significa que después de una traslación y rotación de , existen y y una función , tal que con la notación ${\displaystyle x_{0}\in \partial \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \partial \Omega \cap U}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \Omega \cap U}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle h>0}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R} }$

   $${\displaystyle x'=(x_{1},\dots ,x_{n-1}),}$$se sostiene que y para , $${\displaystyle U=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x'|<r{\text{ and }}|x_{n}-g(x')|<h\}}$$ ${\displaystyle x\in U}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}=g(x')&\implies x\in \partial \Omega ,\\-h<x_{n}-g(x')<0&\implies x\in \Omega ,\\0<x_{n}-g(x')<h&\implies x\notin \Omega .\\\end{aligned}}}$$

   Como es compacto, podemos cubrir con un número finito de entornos de la forma anterior. Nótese que es una cubierta abierta de . Al usar una partición de la unidad subordinada a esta cubierta, es suficiente demostrar el teorema en el caso en que o bien tiene soporte compacto en o tiene soporte compacto en algún . Si tiene soporte compacto en , entonces para todo , por el teorema fundamental del cálculo, y puesto que se anula en un entorno de . Por lo tanto, el teorema se cumple para con soporte compacto en . Por lo tanto, hemos reducido al caso en que tiene soporte compacto en algún . ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle U_{1},\dots ,U_{N}}$ ${\displaystyle \{\Omega ,U_{1},\dots ,U_{N}\}}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}=\Omega \cup \partial \Omega }$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U_{j}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle \int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{\infty }u_{x_{i}}(x)\,dx_{i}\,dx'=0}$ ${\displaystyle \int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS=0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U_{j}}$
3. Así que supongamos que tiene soporte compacto en algún . El último paso ahora es demostrar que el teorema es verdadero por cálculo directo. Cambie la notación a , e introduzca la notación de (2) utilizada para describir . Nótese que esto significa que hemos rotado y trasladado . Esta es una reducción válida ya que el teorema es invariante bajo rotaciones y traslaciones de coordenadas. Ya que para y para , tenemos para cada que Para tenemos por el teorema fundamental del cálculo que Ahora fije . Nótese que Defina por . Por la regla de la cadena, Pero como tiene soporte compacto, podemos integrar primero para deducir que Por lo tanto En resumen, con tenemos Recordemos que la normal unitaria exterior al gráfico de en un punto es y que el elemento de superficie está dado por . Por lo tanto Esto completa la prueba. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U_{j}}$ ${\displaystyle U=U_{j}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u(x)=0}$ ${\displaystyle |x'|\geq r}$ ${\displaystyle |x_{n}-g(x')|\geq h}$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV&=\int _{|x'|<r}\int _{g(x')-h}^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle i=n}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{n}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))\,dx'.}$$ ${\displaystyle i\in \{1,\dots ,n-1\}}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'}$$ ${\displaystyle v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle v(x',s)=u(x',g(x')+s)}$ $${\displaystyle v_{x_{i}}(x',s)=u_{x_{i}}(x',g(x')+s)+u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x').}$$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle dx_{i}}$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}v_{x_{i}}(x',s)\,ds\,dx'=0.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}-u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x')\,ds\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}-u(x',g(x'))g_{x_{i}}(x')\,dx'.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \nabla u=(u_{x_{1}},\dots ,u_{x_{n}})}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))(-\nabla g(x'),1)\,dx'.}$$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (x',g(x'))\in \Gamma }$ ${\displaystyle \nu (x',g(x'))={\frac {1}{\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}}(-\nabla g(x'),1)}$ ${\displaystyle dS}$ ${\textstyle dS={\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}\,dx'}$ $${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.}$$

Para variedades riemannianas compactas con contorno

Vamos a demostrar lo siguiente: ^{[ cita requerida ]}

Teorema  —  Sea una variedad compacta con borde con tensor métrico . Sea el interior de la variedad de y sea el borde de la variedad de . Sea el producto interno de funciones y sea el producto interno de vectores. Supóngase que y es un campo vectorial en . Entonces, donde es el vector normal unitario que apunta hacia afuera a . ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle L^{2}({\overline {\Omega }})}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle u\in C^{1}({\overline {\Omega }},\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ $${\displaystyle (\operatorname {grad} u,X)=-(u,\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS,}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

Prueba del teorema. ^[9] Usamos la convención de suma de Einstein. Al usar una partición de la unidad, podemos suponer que y tienen soporte compacto en un parche de coordenadas . Primero considere el caso donde el parche es disjunto de . Entonces se identifica con un subconjunto abierto de y la integración por partes no produce términos de contorno: En la última igualdad usamos la fórmula de coordenadas de Voss-Weyl para la divergencia, aunque la identidad precedente podría usarse para definir como el adjunto formal de . Ahora suponga que interseca . Entonces se identifica con un conjunto abierto en . Extendemos a cero y a y realizamos la integración por partes para obtener donde . Por una variante del teorema de enderezamiento para campos vectoriales , podemos elegir de modo que sea la normal unitaria interna en . En este caso es el elemento de volumen en y la fórmula anterior se lee Esto completa la prueba. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O\subset {\overline {\Omega }}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{O}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\&=-\int _{O}u\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j})\,dx\\&=-\int _{O}u{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j}){\sqrt {g}}\,dx\\&=(u,-{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}({\sqrt {g}}X^{j}))\\&=(u,-\operatorname {div} X).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle -\operatorname {div} }$ ${\displaystyle \operatorname {grad} }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\geq 0\}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} _{+}^{n}}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\&=(u,-\operatorname {div} X)-\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',0)X^{n}(x',0){\sqrt {g(x',0)}}\,dx',\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle dx'=dx_{1}\dots dx_{n-1}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$ ${\displaystyle -N}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle {\sqrt {g(x',0)}}\,dx'={\sqrt {g_{\partial \Omega }(x')}}\,dx'=dS}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ $${\displaystyle (\operatorname {grad} u,X)=(u,-\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS.}$$

Corolarios

Reemplazando F en el teorema de divergencia con formas específicas, se pueden derivar otras identidades útiles (cf. identidades vectoriales ). ^[10]

• Con una función escalar g y un campo vectorial F , ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} g}$

${\displaystyle \iiint _{V}\left[\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right]\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle g\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

Un caso especial de esto es , en cuyo caso el teorema es la base de las identidades de Green . ${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla f}$

• Con dos campos vectoriales F y G , donde denota un producto vectorial, ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \times \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \times }$

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right]\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

• Con dos campos vectoriales F y G , donde denota un producto escalar , ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\left(\nabla \mathbf {G} \right)\cdot \mathbf {F} +\left(\nabla \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {G} \right]\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} )\mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

• Con una función escalar f y un campo vectorial c : ^[11] ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow f\mathbf {c} }$  

${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot \nabla f\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {c} f)\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S-\iiint _{V}f(\nabla \cdot \mathbf {c} )\,\mathrm {d} V.}$

El último término a la derecha se desvanece para un campo vectorial constante o libre de divergencia (solenoidal), por ejemplo, flujos incompresibles sin fuentes ni sumideros, como cambios de fase o reacciones químicas, etc. En particular, si se toma como constante: ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle f\mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

• Con un campo vectorial F y un vector constante c : ^[11] ${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {c} \times \mathbf {F} }$

${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S.}$

Reordenando el producto triple en el lado derecho y sacando el vector constante de la integral,

${\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V\cdot \mathbf {c} =}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathrm {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {c} .}$

Por eso,

${\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {F} \mathrm {d} S.}$

Ejemplo

El campo vectorial correspondiente al ejemplo mostrado. Los vectores pueden apuntar hacia dentro o hacia fuera de la esfera.

El teorema de divergencia se puede utilizar para calcular un flujo a través de una superficie cerrada que encierra por completo un volumen, como cualquiera de las superficies de la izquierda. No se puede utilizar directamente para calcular el flujo a través de superficies con límites, como las de la derecha. (Las superficies son azules, los límites son rojos).

Supongamos que deseamos evaluar

${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}$

donde S es la esfera unitaria definida por

${\displaystyle S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\},}$

y F es el campo vectorial

${\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .}$

El cálculo directo de esta integral es bastante difícil, pero podemos simplificar la derivación del resultado utilizando el teorema de divergencia, porque el teorema de divergencia dice que la integral es igual a:

${\displaystyle \iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}(1+y+z)\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V,}$

donde W es la bola unitaria :

${\displaystyle W=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.}$

Como la función y es positiva en un hemisferio de W y negativa en el otro, de manera igual y opuesta, su integral total sobre W es cero. Lo mismo sucede con z :

${\displaystyle \iiint _{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V=0.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint _{W}\,dV={\frac {8\pi }{3}},}$

porque la bola unitaria W tiene volumen 4π​/3⁠ .

Aplicaciones

Formas diferenciales e integrales de las leyes físicas

Como resultado del teorema de divergencia, una serie de leyes físicas pueden escribirse tanto en forma diferencial (donde una cantidad es la divergencia de otra) como en forma integral (donde el flujo de una cantidad a través de una superficie cerrada es igual a otra cantidad). Tres ejemplos son la ley de Gauss (en electrostática ), la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Gauss para la gravedad .

Ecuaciones de continuidad

Las ecuaciones de continuidad ofrecen más ejemplos de leyes con formas tanto diferenciales como integrales, relacionadas entre sí por el teorema de divergencia. En dinámica de fluidos , electromagnetismo , mecánica cuántica , teoría de la relatividad y varios otros campos, existen ecuaciones de continuidad que describen la conservación de la masa, el momento, la energía, la probabilidad u otras cantidades. Genéricamente, estas ecuaciones establecen que la divergencia del flujo de la cantidad conservada es igual a la distribución de fuentes o sumideros de esa cantidad. El teorema de divergencia establece que cualquier ecuación de continuidad de este tipo puede escribirse en forma diferencial (en términos de una divergencia) y en forma integral (en términos de un flujo). ^[12]

Leyes del cuadrado inverso

Cualquier ley del cuadrado inverso puede, en cambio, escribirse en forma de ley de Gauss (con una forma diferencial e integral, como se describió anteriormente). Dos ejemplos son la ley de Gauss (en electrostática), que se deduce de la ley de Coulomb del cuadrado inverso , y la ley de Gauss para la gravedad , que se deduce de la ley de gravitación universal de Newton del cuadrado inverso . La derivación de la ecuación del tipo ley de Gauss a partir de la formulación del cuadrado inverso o viceversa es exactamente la misma en ambos casos; consulte cualquiera de esos artículos para obtener más detalles. ^[12]

Historia

Joseph-Louis Lagrange introdujo el concepto de integrales de superficie en 1760 y de nuevo en términos más generales en 1811, en la segunda edición de su Mécanique Analytique . Lagrange empleó las integrales de superficie en su trabajo sobre mecánica de fluidos. ^[13] Descubrió el teorema de divergencia en 1762. ^[14]

Carl Friedrich Gauss también utilizó integrales de superficie mientras trabajaba en la atracción gravitatoria de un esferoide elíptico en 1813, cuando demostró casos especiales del teorema de divergencia. ^{[15] [13]} Demostró casos especiales adicionales en 1833 y 1839. ^[16] Pero fue Mikhail Ostrogradsky , quien dio la primera prueba del teorema general, en 1826, como parte de su investigación del flujo de calor. ^[17] Los casos especiales fueron demostrados por George Green en 1828 en Un ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo , ^{[18] [16]} Siméon Denis Poisson en 1824 en un artículo sobre elasticidad, y Frédéric Sarrus en 1828 en su trabajo sobre cuerpos flotantes. ^{[19] [16]}

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1

Para verificar la variante planar del teorema de divergencia para una región : ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}$

y el campo vectorial:

${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=2y\mathbf {i} +5x\mathbf {j} .}$

El límite de es el círculo unitario, , que se puede representar paramétricamente mediante: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle x=\cos(s),\quad y=\sin(s)}$

de manera que donde las unidades son la longitud del arco desde el punto hasta el punto en . Entonces una ecuación vectorial de es ${\displaystyle 0\leq s\leq 2\pi }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle C(s)=\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} .}$

En un momento dado : ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle P=(\cos(s),\,\sin(s))\,\Rightarrow \,\mathbf {F} =2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} .}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} )\cdot (\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} )\,\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\cos(s)+5\sin(s)\cos(s))\,\mathrm {d} s\\&=7\int _{0}^{2\pi }\sin(s)\cos(s)\,\mathrm {d} s\\&=0.\end{aligned}}}$

Porque podemos evaluar y porque . Por lo tanto ${\displaystyle M={\mathfrak {Re}}(\mathbf {F} )=2y}$ ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}=0}$ ${\displaystyle N={\mathfrak {Im}}(\mathbf {F} )=5x}$ ${\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial y}}=0}$

${\displaystyle \iint _{R}\,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} A=\iint _{R}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A=0.}$

Ejemplo 2

Digamos que queremos evaluar el flujo del siguiente campo vectorial definido y acotado por las siguientes desigualdades: ${\displaystyle \mathbf {F} =2x^{2}{\textbf {i}}+2y^{2}{\textbf {j}}+2z^{2}{\textbf {k}}}$

${\displaystyle \left\{0\leq x\leq 3\right\},\left\{-2\leq y\leq 2\right\},\left\{0\leq z\leq 2\pi \right\}}$

Por el teorema de divergencia,

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,\mathrm {d} S.}$

Ahora necesitamos determinar la divergencia de . Si es un campo vectorial tridimensional, entonces la divergencia de está dada por . ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ ${\textstyle \nabla \cdot {\textbf {F}}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\textbf {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\textbf {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\textbf {k}}\right)\cdot {\textbf {F}}}$

De esta forma, podemos establecer la siguiente integral de flujo de la siguiente manera: ${\displaystyle I=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \mathbf {F_{x}} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{y}} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{z}} }{\partial z}}\right)\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\end{aligned}}}$

Ahora que hemos establecido la integral, podemos evaluarla.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V&=\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(12y+12z+18)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }24(2z+3)\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=48\pi (2\pi +3)\end{aligned}}}$

Generalizaciones

Múltiples dimensiones

Se puede utilizar el teorema de Stokes generalizado para igualar la integral de volumen n -dimensional de la divergencia de un campo vectorial F sobre una región U a la integral de superficie ( n − 1) -dimensional de F sobre el límite de U :

${\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\underbrace {\oint _{}\cdots \oint _{\partial U}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}$

Esta ecuación también se conoce como teorema de divergencia.

Cuando n = 2 , esto es equivalente al teorema de Green .

Cuando n = 1 , se reduce al teorema fundamental del cálculo , parte 2.

Campos tensoriales

Escribiendo el teorema en notación de Einstein :

${\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial \mathbf {F} _{i}}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}n_{i}\,\mathrm {d} S}$

Sugerentemente, reemplazando el campo vectorial F con un campo tensorial de rango n T , esto se puede generalizar a: ^[20]

${\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}}}\mathrm {d} V=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,\mathrm {d} S.}$

donde en cada lado, se produce una contracción tensorial para al menos un índice. Esta forma del teorema todavía está en 3d, cada índice toma los valores 1, 2 y 3. Puede generalizarse aún más a dimensiones superiores (o inferiores) (por ejemplo, al espacio-tiempo de 4d en la relatividad general ^[21] ).

Véase también

• Teorema de Kelvin-Stokes
• Teorema de Stokes generalizado
• Forma diferencial

Referencias

1. Katz, Victor J. (1979). "La historia del teorema de Stokes". Revista de Matemáticas . 52 (3): 146–156. doi :10.2307/2690275. JSTOR  2690275.Reimpreso en Anderson, Marlow (2009). ¿Quién te dio el épsilon?: Y otros cuentos de historia matemática. Asociación Matemática de Estados Unidos. Págs. 78-79. ISBN. 978-0-88385-569-0.
2. RG Lerner ; GL Trigg (1994). Enciclopedia de Física (2.ª ed.). VHC. ISBN 978-3-527-26954-9.
3. Byron, Frederick; Fuller, Robert (1992), Matemáticas de la física clásica y cuántica, Dover Publications, pág. 22, ISBN 978-0-486-67164-2
4. Wiley, C. Ray Jr. Matemáticas avanzadas de ingeniería, 3.ª ed . McGraw-Hill. págs. 372–373.
5. Kreyszig, Erwin; Kreyszig, Herbert; Norminton, Edward J. (2011). Matemáticas avanzadas para ingeniería (10.ª ed.). John Wiley and Sons. págs. 453–456. ISBN 978-0-470-45836-5.
6. Benford, Frank A. (mayo de 2007). "Notes on Vector Calculus" (PDF) . Materiales del curso de Matemáticas 105: Cálculo multivariable . Página web del profesor Steven Miller, Williams College . Consultado el 14 de marzo de 2022 .
7. Purcell, Edward M.; David J. Morin (2013). Electricidad y magnetismo. Cambridge Univ. Press. págs. 56-58. ISBN 978-1-107-01402-2.
8. Alt, Hans Wilhelm (2016). "Análisis funcional lineal". Universitext . Londres: Springer London. págs. 259–261, 270–272. doi :10.1007/978-1-4471-7280-2. ISBN 978-1-4471-7279-6. ISSN  0172-5939.
9. Taylor, Michael E. (2011). "Ecuaciones diferenciales parciales I". Applied Mathematical Sciences . Nueva York, NY: Springer New York. págs. 178-179. doi :10.1007/978-1-4419-7055-8. ISBN 978-1-4419-7054-1. ISSN  0066-5452.
10. Señor Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial . Esquemas de Schaum (2ª ed.). Estados Unidos: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
11. MathWorld
12. CB Parker (1994). Enciclopedia de Física McGraw Hill (2.ª ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-051400-3.
13. Katz, Victor (2009). "Capítulo 22: Análisis vectorial". Una historia de las matemáticas: una introducción . Addison-Wesley. págs. 808-9. ISBN 978-0-321-38700-4.
14. En su artículo de 1762 sobre el sonido, Lagrange trata un caso especial del teorema de la divergencia: Lagrange (1762) "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" (Nuevas investigaciones sobre la naturaleza y propagación del sonido), Miscellanea Taurinensia (también conocido como: Mélanges de Turin ), 2 : 11 – 172. Este artículo se reimprime como: "Nouvelles recherches sur la Nature et la propagation du son" en: JA Serret, ed., Oeuvres de Lagrange , (París, Francia: Gauthier -Villars, 1867), vol. 1, páginas 151–316; En las páginas 263–265, Lagrange transforma integrales triples en integrales dobles mediante integración por partes.
15. CF Gauss (1813) "Theoria atracciónis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum Methodo nova tractata", Commentationes societatis regiae scientiarium Gottingensis Recentiores , 2 : 355–378; Gauss consideró un caso especial del teorema; consulte las páginas 4, 5 y 6 de su artículo.
16. Katz, Victor (mayo de 1979). "Una historia del teorema de Stokes". Revista de matemáticas . 52 (3): 146–156. doi :10.1080/0025570X.1979.11976770. JSTOR  2690275.
17. Mikhail Ostragradsky presentó su prueba del teorema de la divergencia a la Academia de París en 1826; sin embargo, su trabajo no fue publicado por la Academia. Regresó a San Petersburgo, Rusia, donde entre 1828 y 1829 leyó el trabajo que había realizado en Francia en la Academia de San Petersburgo, que publicó su trabajo en forma abreviada en 1831.
    • Su demostración del teorema de la divergencia –Demostración de un teorema del cálculo integral–, que había leído en la Academia de París el 13 de febrero de 1826, fue traducida al ruso en 1965 junto con otro artículo suyo. Véase: Юшкевич А.П. (Yushkevich AP) y Антропова В.И. (Antropov VI) (1965) "Неопубликованные работы М.В. Остроградского" (Obras inéditas de MV Ostrogradskii), Историко-математические исследования (Istoriko-Matematicheskie Issledovaniya / Historical- Estudios Matemáticos), 16 : 49–96; consulte la sección titulada: "Остроградский М.В. Доказательство одной теоремы интегрального исчисления" (Ostrogradskii MV Dokazatelstvo odnoy teoremy integralnogo ischislenia / Ostragradsky MV Prueba de un teorema en cálculo integral).
    • M. Ostrogradsky (presentado: 5 de noviembre de 1828; publicado: 1831) "Première note sur la théorie de la chaleur" (Primera nota sobre la teoría del calor) Mémoires de l'Académie impériale des sciences de St. Pétersbourg , serie 6, 1 : 129–133; para obtener una versión abreviada de su demostración del teorema de la divergencia, consulte las páginas 130-131.
    • Victor J. Katz (mayo de 1979) "La historia del teorema de Stokes", archivado el 2 de abril de 2015 en Wayback Machine Mathematics Magazine , 52 (3): 146–156; para la prueba de Ostragradsky del teorema de divergencia, consulte las páginas 147–148.
18. George Green, An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo) (Nottingham, Inglaterra: T. Wheelhouse, 1838). En las páginas 10 a 12 aparece una versión del "teorema de la divergencia".
19. Otros investigadores tempranos que utilizaron alguna forma del teorema de divergencia incluyen:
    • Poisson (presentado: 2 de febrero de 1824; publicado: 1826) "Mémoire sur la théorie du magnetétisme" (Memorias sobre la teoría del magnetismo), Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France , 5 : 247–338; en las páginas 294–296, Poisson transforma una integral de volumen (que se utiliza para evaluar una cantidad Q) en una integral de superficie. Para realizar esta transformación, Poisson sigue el mismo procedimiento que se utiliza para demostrar el teorema de la divergencia.
    • Frédéric Sarrus (1828) "Mémoire sur les oscillations des corps flottans" (Memoria sobre las oscilaciones de los cuerpos flotantes), Annales de mathématiques pures et appliquées (Nismes), 19 : 185-211.
20. KF Riley; MP Hobson; SJ Bence (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
21. Véase, por ejemplo, JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co., págs. 85-86, §3.5. ISBN.
     978-0-7167-0344-0., y R. Penrose (2007). El camino a la realidad . Libros antiguos. ISBN
     978-0-679-77631-4.

Enlaces externos

• "Fórmula de Ostrogradski", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Operadores diferenciales y teorema de divergencia en MathPages
• El teorema de divergencia (Gauss) de Nick Bykov, Proyecto de demostraciones Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de divergencia". MathWorld .– Este artículo se basó originalmente en el artículo GFDL de PlanetMath en https://web.archive.org/web/20021029094728/http://planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html