Teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser

Resultado en sistemas dinámicos.

El teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser ( KAM ) es un resultado en sistemas dinámicos sobre la persistencia de movimientos cuasiperiódicos bajo pequeñas perturbaciones. El teorema resuelve en parte el problema del pequeño divisor que surge en la teoría de perturbaciones de la mecánica clásica .

El problema es si una pequeña perturbación de un sistema dinámico conservador da como resultado una órbita cuasiperiódica duradera . El avance original a este problema lo dio Andrey Kolmogorov en 1954. ^[1] Esto fue rigurosamente probado y ampliado por Jürgen Moser en 1962 ^[2] (para mapas de torsión suave) y Vladimir Arnold en 1963 ^[3] (para sistemas hamiltonianos analíticos). ), y el resultado general se conoce como teorema KAM.

Arnold originalmente pensó que este teorema podría aplicarse a los movimientos del Sistema Solar u otros casos del problema de n cuerpos , pero resultó funcionar sólo para el problema de los tres cuerpos debido a una degeneración en su formulación del problema para cuerpos más grandes. números de cuerpos. Más tarde, Gabriella Pinzari demostró cómo eliminar esta degeneración desarrollando una versión del teorema invariante en rotación. ^[4]

Declaración

Sistemas hamiltonianos integrables

El teorema KAM suele expresarse en términos de trayectorias en el espacio de fases de un sistema hamiltoniano integrable . El movimiento de un sistema integrable está confinado a un toro invariante (una superficie en forma de rosquilla ). Diferentes condiciones iniciales del sistema hamiltoniano integrable trazarán diferentes toros invariantes en el espacio de fases. Trazar las coordenadas de un sistema integrable mostraría que son cuasiperiódicos.

Perturbaciones

El teorema KAM establece que si el sistema está sujeto a una perturbación no lineal débil, algunos de los toros invariantes se deforman y sobreviven, es decir, hay un mapa desde la variedad original hasta la deformada que es continua en la perturbación. Por el contrario, otros tori invariantes se destruyen: incluso perturbaciones arbitrariamente pequeñas hacen que la variedad ya no sea invariante y no exista tal mapa para las variedades cercanas. Los tori supervivientes cumplen la condición de no resonancia, es decir, tienen frecuencias "suficientemente irracionales". Esto implica que el movimiento sobre el toro deformado continúa siendo cuasiperiódico , con los períodos independientes cambiados (como consecuencia de la condición de no degeneración). El teorema KAM cuantifica el nivel de perturbación que se puede aplicar para que esto sea cierto.

Esos toros KAM que son destruidos por la perturbación se convierten en conjuntos de Cantor invariantes , denominados Cantori por Ian C. Percival en 1979. ^[5]

Las condiciones de no resonancia y no degeneración del teorema KAM se vuelven cada vez más difíciles de satisfacer para sistemas con más grados de libertad. A medida que aumenta el número de dimensiones del sistema, el volumen ocupado por los toros disminuye.

A medida que la perturbación aumenta y las curvas suaves se desintegran, pasamos de la teoría KAM a la teoría de Aubry-Mather, que requiere hipótesis menos estrictas y funciona con conjuntos tipo Cantor.

La existencia de un teorema KAM para perturbaciones de sistemas integrables cuánticos de muchos cuerpos sigue siendo una cuestión abierta, aunque se cree que perturbaciones arbitrariamente pequeñas destruirán la integrabilidad en el límite de tamaño infinito.

Consecuencias

Una consecuencia importante del teorema KAM es que para un gran conjunto de condiciones iniciales el movimiento permanece perpetuamente cuasiperiódico. ^{[ ¿cual? ]}

Teoría KAM

Los métodos introducidos por Kolmogorov, Arnold y Moser se han convertido en un gran conjunto de resultados relacionados con movimientos cuasiperiódicos, ahora conocidos como teoría KAM . En particular, se ha extendido a sistemas no hamiltonianos (comenzando con Moser), a situaciones no perturbativas (como en el trabajo de Michael Herman ) y a sistemas con frecuencias rápidas y lentas (como en el trabajo de Mikhail B. Sevryuk). .

toro KAM

Un invariante múltiple bajo la acción de un flujo se llama -toro invariante, si existe un difeomorfismo en el -toro estándar tal que el movimiento resultante es lineal uniforme pero no estático, es decir , donde hay un vector constante distinto de cero, llamado vector de frecuencia . ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{d}}$ ${\displaystyle \phi ^{t}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varphi }}:{\mathcal {T}}^{d}\rightarrow \mathbb {T} ^{d}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{d}:=\underbrace {\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}\times \cdots \times \mathbb {S} ^{1}} _{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\varphi }}/\mathrm {d} t={\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{d}}$

Si el vector de frecuencia es: ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

• racionalmente independiente ( también conocido como inconmensurable, es decir para todos ) ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\neq 0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}}$
• y "mal" aproximado por los racionales, típicamente en un sentido diofántico : ${\displaystyle \exists ~\gamma ,\tau >0{\text{ such that }}|{\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {k}}|\geq {\frac {\gamma }{\|{\boldsymbol {k}}\|^{\tau }}},\forall ~{\boldsymbol {k}}\in \mathbb {Z} ^{d}\backslash \left\{{\boldsymbol {0}}\right\}}$

entonces el -toro invariante ( ) se llama toro KAM . Este caso normalmente se excluye en la teoría KAM clásica porque no involucra divisores pequeños. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{d}}$ ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle d=1}$

Ver también

• Estabilidad del Sistema Solar
• difusión de arnold
• Teoría ergódica
• mariposa de hofstadter
• Estimaciones de Nekhoroshev

Notas

1. AN Kolmogorov, "Sobre la conservación de movimientos condicionalmente periódicos bajo pequeñas perturbaciones del hamiltoniano [О сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона]", Dokl. Akád. Nauk RSS 98 (1954).
2. J. Moser, "Sobre curvas invariantes de asignaciones de un anillo que preservan el área", Nachr. Akád. Wiss. Göttingen Matemáticas-Física. kl. II 1962 (1962), 1–20.
3. VI Arnold, "Prueba de un teorema de AN Kolmogorov sobre la preservación de movimientos condicionalmente periódicos bajo una pequeña perturbación del hamiltoniano [Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической и небесной механике]", Uspekhi Mat . Nauk 18 (1963) (traducción al inglés: Russ. Math. Surv. 18 , 9--36, doi:10.1070/RM1963v018n05ABEH004130).
4. Khesin, Boris (24 de octubre de 2011), Colliander, James (ed.), "Apéndice al taller conmemorativo de Arnold: Khesin sobre la charla de Pinzari", Blog de James Colliander , archivado desde el original el 29 de marzo de 2017 , consultado el 29 de marzo de 2017
5. Percival, IC (1 de marzo de 1979). "Un principio variacional para tori invariantes de frecuencia fija". Revista de Física A: Matemática y General . 12 (3): L57-L60. Código Bib : 1979JPhA...12L..57P. doi :10.1088/0305-4470/12/3/001.

Referencias

• Arnold, Weinstein, Vogtmann. Métodos matemáticos de la mecánica clásica , 2ª ed., Apéndice 8: Teoría de las perturbaciones del movimiento condicionalmente periódico y teorema de Kolmogorov. Springer 1997.
• Wayne, C. Eugene (enero de 2008). "Una introducción a la teoría KAM" (PDF) . Preimpresión : 29 . Consultado el 20 de junio de 2012 .
• Jürgen Poeschel (2001). "Una conferencia sobre el teorema KAM clásico" (PDF) . Actas de simposios de matemática pura . 69 : 707–732. CiteSeerX  10.1.1.248.8987 . doi :10.1090/pspum/069/1858551. ISBN 9780821826829. Archivado desde el original (PDF) el 3 de marzo de 2016 . Consultado el 6 de junio de 2006 .
• Rafael de la Llave (2001) Un tutorial sobre la teoría KAM .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser". MundoMatemático .
• Teoría KAM: el legado del artículo de Kolmogorov de 1954
• Teoría de Kolmogorov-Arnold-Moser de Scholarpedia
• H Scott Dumas. La historia de KAM: una introducción amistosa al contenido, la historia y la importancia de la teoría clásica de Kolmogorov-Arnold-Moser , 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4556-58-3 . Capítulo 1 Introducción