difusión de arnold

Fenómeno de inestabilidad de sistemas hamiltonianos integrables.

En matemáticas aplicadas , la difusión de Arnold es el fenómeno de inestabilidad de sistemas hamiltonianos casi integrables . El fenómeno lleva el nombre de Vladimir Arnold, quien fue el primero en publicar un resultado en este campo en 1964. ^{[1] [2]} Más precisamente, la difusión de Arnold se refiere a resultados que afirman la existencia de soluciones a sistemas hamiltonianos casi integrables que exhiben una significativa cambio en las variables de acción.

La difusión de Arnold describe la difusión de trayectorias debido al teorema ergódico en una porción del espacio de fase no limitada por ninguna restricción ( es decir, no limitada por toros lagrangianos que surgen de constantes de movimiento ) en sistemas hamiltonianos . Ocurre en sistemas con más de N = 2 grados de libertad, ya que los toros invariantes de N -dimensionales ya no separan el espacio de fase de 2 N -1 dimensiones. Por lo tanto, una perturbación arbitrariamente pequeña puede causar que varias trayectorias deambulen pseudoaleatoriamente a través de toda la porción del espacio de fase dejado por los toros destruidos.

Antecedentes y declaración

Para sistemas integrables, se tiene la conservación de las variables de acción . Según el teorema KAM, si perturbamos ligeramente un sistema integrable, muchas, aunque ciertamente no todas, las soluciones del sistema perturbado permanecen cercanas, para siempre, al sistema no perturbado. En particular, dado que las variables de acción se conservaron originalmente, el teorema nos dice que hay sólo un pequeño cambio en la acción para muchas soluciones del sistema perturbado.

Sin embargo, como se señaló por primera vez en el artículo de Arnold, ^[1] existen sistemas casi integrables para los cuales existen soluciones que exhiben un crecimiento arbitrariamente grande en las variables de acción. Más precisamente, Arnold consideró el ejemplo del sistema hamiltoniano casi integrable con el hamiltoniano

${\displaystyle H(I,\phi ,p,q,t)={1 \over 2}I^{2}+{1 \over 2}p^{2}+\epsilon (\cos {q}-1)+\mu (\cos {q}-1)(\sin {\phi +\cos t)}}$

Los primeros tres términos de este hamiltoniano describen un sistema rotador-péndulo. Arnold demostró que para este sistema, para cualquier elección de y para , existe una solución para el sistema para la cual ${\displaystyle I_{+}>I_{-}>0}$ ${\displaystyle 0<\mu \ll \epsilon \ll 1}$

${\displaystyle I(0)<I_{-}{\text{ and }}I(T)>I_{+}}$

durante algún tiempo ${\displaystyle T\gg 0.}$

Su prueba se basa en la existencia de "cadenas de transición" de toros "con bigotes", es decir, secuencias de toros con dinámica transitiva tal que la variedad inestable (bigotes) de uno de estos toros se cruza transversalmente con la variedad estable (bigotes) del siguiente. uno. Arnold conjeturó que "el mecanismo de 'cadenas de transición' que garantiza esa inestabilidad en nuestro ejemplo también es aplicable al caso general (por ejemplo, al problema de los tres cuerpos)". ^[1]

El teorema KAM y la difusión de Arnold han dado lugar a un compendio de resultados matemáticos rigurosos, con conocimientos de la física. ^{[3] [4]}

Caso general

En el modelo de Arnold el término de perturbación es de un tipo especial. El caso general del problema de difusión de Arnold se refiere a sistemas hamiltonianos de una de las formas

(1) ${\displaystyle H_{\epsilon }(I,\phi ,p,q)=H_{0}(I,p,q)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,p,q,t)}$

donde , y describe un sistema rotador-péndulo, o ${\displaystyle (I,\phi ,p,q,t)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {T} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\times \mathbb {T} ^{1}}$ ${\displaystyle m,n\geq 1}$ ${\displaystyle H_{0}(I,p,q)}$

(2) ${\displaystyle H_{\epsilon }(I,\phi )=H_{0}(I)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,t)}$

dónde , ${\displaystyle (I,\phi ,t)\in \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {T} ^{N}\times \mathbb {T} ^{1}}$ ${\displaystyle N\geq 2.}$

Para sistemas como en (1) , el hamiltoniano imperturbado posee familias suaves de toros invariantes que tienen variedades hiperbólicas estables e inestables ; Estos sistemas se denominan a priori inestables . Para sistemas como en (2) , el espacio de fases del hamiltoniano no perturbado está foliado por toros invariantes lagrangianos ; Estos sistemas se denominan a priori estables . ^[5] En cualquier caso, el problema de difusión de Arnold afirma que, para sistemas "genéricos", existen curvas de solución tales que para cada suficientemente pequeño existen curvas de solución para las cuales ${\displaystyle \rho >0}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \|I(T)-I(0)\|\geq \rho }$

desde hace algún tiempo Se pueden encontrar formulaciones precisas de posibles condiciones de genericidad en el contexto de un sistema a priori inestable y a priori estable en ^{[6] [7]} respectivamente. De manera informal, el problema de difusión de Arnold dice que pequeñas perturbaciones pueden acumularse y generar efectos grandes. ${\displaystyle T\gg 0.}$

Los resultados recientes en el caso a priori inestable incluyen, ^{[8] [9] [10] [11] [12]} y en el caso a priori estable. ^{[13] [14]}

En el contexto del problema restringido de los tres cuerpos , la difusión de Arnold puede interpretarse en el sentido de que, para todos los valores suficientemente pequeños y distintos de cero de la excentricidad de las órbitas elípticas de los cuerpos masivos, existen soluciones a lo largo de las cuales la energía de la masa insignificante cambia en una cantidad que es independiente de la excentricidad. ^{[15] [16] [17]}

Ver también

• teorema de KAM
• Estimaciones de Nekhoroshev

Referencias

1. Arnold, Vladimir I. (1964). "Inestabilidad de sistemas dinámicos con varios grados de libertad". Matemáticas soviéticas . 5 : 581–585.
2. Florín Diacu ; Philip Holmes (1996). Encuentros celestiales: los orígenes del caos y la estabilidad. Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 193.ISBN​ 0-691-00545-1.
3. Pierre Lochak, (1999) Difusión de Arnold; un compendio de comentarios y preguntas en "Sistemas hamiltonianos con tres o más grados de libertad" (S'Agar´o, 1995), C. Sim´o, ed, NATO ASI Series C: Math. Física. Ciencia, vol. 533, Académico Kluwer, Dordrecht (1999), 168–183.
4. Henk W. Broer, Mikhail B. Sevryuk (2007) Teoría KAM: cuasiperiodicidad en sistemas dinámicos En: HW Broer, B. Hasselblatt y F. Takens (eds.), Handbook of Dynamical Systems vol. 3, Holanda Septentrional, 2010
5. Chierchia, Luigi; Gallavotti, Giovanni (1994). "Deriva y difusión en el espacio de fases". Annales de l'IHP: Physique Théorique . 60 : 1–144. SEÑOR  1259103. Zbl  1010.37039. (Errata: [Annales de l'IHP: Physique Théorique. 68: 135 (1998)] . Si la fe de erratas ha sido comprobada y no afecta al material citado, sustitúyala por .{{erratum|...}}{{erratum|...|checked=yes}} )
6. Chen, Qinbo; de la Llave, Rafael (2022-03-09). "Genericidad analítica de órbitas difusas en sistemas hamiltonianos a priori inestables". No linealidad . 35 (4). Publicaciones del PIO: 1986-2019. arXiv : 2103.03847 . Código Bib : 2022Nonli..35.1986C. doi : 10.1088/1361-6544/ac50bb . ISSN  0951-7715.
7. Mather, John N. (2012). "Difusión de Arnold por métodos variacionales". Ensayos de Matemáticas y sus Aplicaciones . Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. págs. 271–285. doi :10.1007/978-3-642-28821-0_11. ISBN 978-3-642-28820-3.
8. Bolotín, S; Treschev, D (1 de enero de 1999). "Crecimiento ilimitado de energía en sistemas hamiltonianos no autónomos". No linealidad . 12 (2). Publicación del PIO: 365–388. Código Bib : 1999Nonli..12..365B. doi : 10.1088/0951-7715/2/12/013. ISSN  0951-7715. S2CID  250852828.
9. Cheng, Chong-Qing; Yan, junio (1 de julio de 2004). "Existencia de órbitas de difusión en sistemas hamiltonianos a priori inestables". Revista de Geometría Diferencial . 67 (3). Prensa Internacional de Boston. doi : 10.4310/jdg/1102091356 . ISSN  0022-040X.
10. Delshams, Amadeu; de la Llave, Rafael; M-Seara, Tere (2006). "Un mecanismo geométrico para la difusión en sistemas hamiltonianos superando el problema de la gran brecha: heurística y verificación rigurosa de un modelo". Memoria. Soy. Matemáticas. Soc . 179 (844). doi : 10.1090/memo/0844. hdl : 2117/872 .
11. Gelfreich, Vassili; Turaev, Dmitry (24 de abril de 2017). "Difusión de Arnold en mapas simplécticos caóticos a priori". Comunicaciones en Física Matemática . 353 (2). Springer Science y Business Media LLC: 507–547. Código Bib : 2017CMaPh.353..507G. doi :10.1007/s00220-017-2867-0. hdl : 10044/1/44044 . ISSN  0010-3616. S2CID  253744630.
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17. Capinski, Maciej; Gidea, Marian (2021). "Un mecanismo general de inestabilidad en los sistemas hamiltonianos: saltar a lo largo de una variedad invariante normalmente hiperbólica". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . doi : 10.1002/cpa.22014 .