teoría morse

Analiza la topología de una variedad mediante el estudio de funciones diferenciables en esa variedad.

En matemáticas , específicamente en topología diferencial , la teoría Morse permite analizar la topología de una variedad mediante el estudio de funciones diferenciables en esa variedad. Según las ideas básicas de Marston Morse , una función diferenciable típica en una variedad reflejará la topología de manera bastante directa. La teoría Morse permite encontrar estructuras CW y manejar descomposiciones en variedades y obtener información sustancial sobre su homología .

Antes de Morse, Arthur Cayley y James Clerk Maxwell habían desarrollado algunas de las ideas de la teoría Morse en el contexto de la topografía . Morse originalmente aplicó su teoría a las geodésicas ( puntos críticos de energía funcional en el espacio de caminos). Estas técnicas se utilizaron en la demostración de Raoul Bott de su teorema de periodicidad .

El análogo de la teoría Morse para variedades complejas es la teoría de Picard-Lefschetz .

Conceptos básicos

Un punto de silla

A modo de ejemplo, consideremos la superficie de un paisaje montañoso (más generalmente, un colector ). Si es la función que da la elevación de cada punto, entonces la imagen inversa de un punto es una línea de contorno (más generalmente, un conjunto de niveles ). Cada componente conectado de una línea de contorno es un punto, una curva cerrada simple o una curva cerrada con un punto doble . Las curvas de nivel también pueden tener puntos de orden superior (puntos triples, etc.), pero son inestables y pueden eliminarse mediante una ligera deformación del paisaje. Los puntos dobles en las curvas de nivel ocurren en puntos de silla o pasos, donde el paisaje circundante se curva hacia arriba en una dirección y hacia abajo en la otra. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Líneas de contorno alrededor de un punto de silla

Imagínese inundar este paisaje con agua. Cuando el agua alcanza elevación , la superficie submarina es , los puntos con elevación o por debajo. Considere cómo cambia la topología de esta superficie a medida que el agua sube. Aparece sin cambios excepto cuando pasa la altura de un punto crítico , donde el gradiente de es (de manera más general, la matriz jacobiana que actúa como un mapa lineal entre espacios tangentes no tiene rango máximo ). En otras palabras, la topología de no cambia excepto cuando el agua (1) comienza a llenar una cuenca, (2) cubre una silla (un paso de montaña ) o (3) sumerge un pico. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle M^{a}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,f^{-1}(-\infty ,a]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle M^{a}}$

el toro

A estos tres tipos de puntos críticos (cuencas, pasos y picos (es decir, mínimos, sillas de montar y máximos)) se asocia un número llamado índice, el número de direcciones independientes en las que disminuye desde el punto. Más precisamente, el índice de un punto crítico no degenerado de es la dimensión del subespacio más grande del espacio tangente a en el que el hessiano de es negativo definido. Los índices de cuencas, pasos y picos son y respectivamente. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0,1,}$ ${\displaystyle 2,}$

Considerando una superficie más general, sea un toro orientado como en la imagen, tomando nuevamente un punto a su altura sobre el plano. Se puede analizar nuevamente cómo cambia la topología de la superficie submarina a medida que aumenta el nivel del agua . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$

Un cilindro (arriba a la derecha), formado por cuando , es homotópicamente equivalente a una celda unida a un disco (abajo a la izquierda). ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle f(q)<a<f(r)}$

Un toro al que se le ha quitado un disco (arriba a la derecha), formado por cuando , es homotópicamente equivalente a una celda unida a un cilindro (abajo a la izquierda). ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle f(r)<a<f(s)}$

Comenzando desde la parte inferior del toroide, sean y los cuatro puntos críticos de índice y correspondientes a la cuenca, dos sillas y pico, respectivamente. Cuando es menor que entonces es el conjunto vacío. Después pasa el nivel de cuando entonces es un disco , que es homotópico equivalente a un punto (una celda 0) que ha sido "adjunto" al conjunto vacío. A continuación, cuando excede el nivel de y luego es un cilindro, y la homotopía es equivalente a un disco con una celda adjunta (imagen de la izquierda). Una vez que pasa el nivel de y luego aparece un toroide al que se le ha quitado un disco, lo que equivale en homotopía a un cilindro con una celda adjunta (imagen de la derecha). Finalmente, cuando es mayor que el nivel crítico de es un toro, es decir, un toro con un disco (de 2 celdas) retirado y vuelto a colocar. ${\displaystyle p,q,r,}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 0,1,1,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(p)=0,}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle 0<a<f(q),}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle f(q)<a<f(r),}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle f(r)<a<f(s),}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle M^{a}}$

Esto ilustra la siguiente regla: la topología de no cambia excepto cuando pasa la altura de un punto crítico; en este punto, se adjunta una celda , donde está el índice del punto. Esto no aborda lo que sucede cuando dos puntos críticos están a la misma altura, lo que puede resolverse mediante una ligera perturbación de En el caso de un paisaje o una variedad incrustada en el espacio euclidiano , esta perturbación podría simplemente inclinarse ligeramente, rotando la coordenada. sistema. ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f.}$

Hay que tener cuidado de que los puntos críticos no se degeneren. Para ver qué puede plantear un problema, let y let Entonces es un punto crítico de pero la topología de no cambia cuando pasa El problema es que la segunda derivada es —es decir, la hessiana de desaparece y el punto crítico es degenerada. Esta situación es inestable, ya que al deformarse ligeramente a , el punto crítico degenerado se elimina ( ) o se divide en dos puntos críticos no degenerados ( ). ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle f''(0)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}+\epsilon x}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \epsilon <0}$

Desarrollo formal

Para una función suave de valor real en una variedad diferenciable, los puntos donde el diferencial de desaparece se denominan puntos críticos y sus imágenes debajo se denominan valores críticos . Si en un punto crítico la matriz de segundas derivadas parciales (la matriz de Hesse ) no es singular, entonces se llama ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$punto crítico no degenerado ; si el hessiano es singular entonceses un ${\displaystyle p}$punto crítico degenerado .

Para las funciones

$${\displaystyle f(x)=a+bx+cx^{2}+dx^{3}+\cdots }$$

silla de montar del mono ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle b=0,}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a+cx^{2}+\cdots }$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a+dx^{3}+\cdots }$

El índice de un punto crítico no degenerado es la dimensión del subespacio más grande del espacio tangente a en el que el hessiano es definido negativo . Esto corresponde a la noción intuitiva de que el índice es el número de direcciones en las que disminuye. La degeneración y el índice de un punto crítico son independientes de la elección del sistema de coordenadas local utilizado, como lo muestra la Ley de Sylvester . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$

lema morse

Sea un punto crítico no degenerado de Entonces existe un gráfico en una vecindad de tal que para todos y ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f:M\to R.}$ ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{i}(p)=0}$ ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle f(x)=f(p)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\gamma }^{2}+x_{\gamma +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$$

aisladosel lema de Morse complejoel lema de Morse-Palais ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

Teoremas fundamentales

Una función suave de valor real en una variedad es una función Morse si no tiene puntos críticos degenerados. Un resultado básico de la teoría Morse dice que casi todas las funciones son funciones Morse. Técnicamente, las funciones Morse forman un subconjunto denso y abierto de todas las funciones suaves de la topología. Esto a veces se expresa como "una función típica es Morse" o "una función genérica es Morse". ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{2}}$

Como se indicó antes, estamos interesados ​​en la cuestión de cuándo varía la topología de los cambios . La mitad de la respuesta a esta pregunta viene dada por el siguiente teorema. ${\displaystyle M^{a}=f^{-1}(-\infty ,a]}$ ${\displaystyle a}$

Teorema. Supongamos que es una función suave de valor real que es compacta y no hay valores críticos entre y Entonces es difeomorfa y la deformación se retrae hacia ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle a<b,}$ ${\displaystyle f^{-1}[a,b]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle M^{b},}$ ${\displaystyle M^{b}}$ ${\displaystyle M^{a}.}$

También es interesante saber cómo cambia la topología cuando pasa un punto crítico. El siguiente teorema responde a esa pregunta. ${\displaystyle M^{a}}$ ${\displaystyle a}$

Teorema. Supongamos que es una función uniforme de valor real y que es un punto crítico no degenerado de índice y que Supongamos que es compacta y no contiene puntos críticos además. Entonces la homotopía es equivalente a con una celda adjunta. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle f(p)=q.}$ ${\displaystyle f^{-1}[q-\varepsilon ,q+\varepsilon ]}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle M^{q+\varepsilon }}$ ${\displaystyle M^{q-\varepsilon }}$ ${\displaystyle \gamma }$

Estos resultados generalizan y formalizan la "regla" establecida en la sección anterior.

Usando los dos resultados anteriores y el hecho de que existe una función Morse en cualquier variedad diferenciable, se puede probar que cualquier variedad diferenciable es un complejo CW con una celda para cada punto crítico de índice . Para hacer esto, se necesita el hecho técnico de que se puede disponer para tener un único punto crítico en cada nivel crítico, lo que generalmente se demuestra mediante el uso de campos vectoriales en forma de gradiente para reorganizar los puntos críticos. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n.}$

Desigualdades de Morse

La teoría de Morse se puede utilizar para demostrar algunos resultados sólidos sobre la homología de variedades. El número de puntos críticos del índice de es igual al número de celdas en la estructura CW obtenida de "escalada" Utilizando el hecho de que la suma alterna de los rangos de los grupos de homología de un espacio topológico es igual a la suma alterna de los rangos de los grupos de cadenas a partir de los cuales se calcula la homología, luego al usar los grupos de cadenas celulares (ver homología celular ) está claro que la característica de Euler es igual a la suma ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle \chi (M)}$

$${\displaystyle \sum (-1)^{\gamma }C^{\gamma }\,=\chi (M)}$$

^{enésimoenésimo}número de Betti ${\displaystyle C^{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle b_{\gamma }(M)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M.}$Desigualdades de Morse

$${\displaystyle C^{\gamma }-C^{\gamma -1}\pm \cdots +(-1)^{\gamma }C^{0}\geq b_{\gamma }(M)-b_{\gamma -1}(M)\pm \cdots +(-1)^{\gamma }b_{0}(M).}$$

En particular, para cualquier

$${\displaystyle \gamma \in \{0,\ldots ,n=\dim M\},}$$

$${\displaystyle C^{\gamma }\geq b_{\gamma }(M).}$$

Esto proporciona una poderosa herramienta para estudiar múltiples topologías. Supongamos que en una variedad cerrada existe una función Morse con exactamente k puntos críticos. ¿De qué manera se restringe la existencia de la función ? El caso fue estudiado por Georges Reeb en 1952; El teorema de la esfera de Reeb establece que es homeomorfo a una esfera. El caso sólo es posible en un pequeño número de dimensiones bajas, y M es homeomorfo a una variedad de Eells-Kuiper . En 1982, Edward Witten desarrolló un enfoque analítico de las desigualdades de Morse considerando el complejo de Rham para el operador perturbado ^{[1] [2]} ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{n}.}$ ${\displaystyle k=3}$ ${\displaystyle d_{t}=e^{-tf}de^{tf}.}$

Aplicación a la clasificación de 2 colectores cerrados.

La teoría de Morse se ha utilizado para clasificar variedades cerradas de 2 hasta el difeomorfismo. Si está orientado, entonces se clasifica por su género y es difeomorfo a una esfera con asas: así, si es difeomorfo a las 2 esferas; y si es difeomorfo a la suma conexa de 2-tori. Si no es orientable, se clasifica por un número y es difeomorfo a la suma conexa de espacios proyectivos reales. En particular, dos variedades 2 cerradas son homeomorfas si y sólo si son difeomorfas. ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g=0,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g>0,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle g>0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbf {RP} ^{2}.}$

homología morse

La homología Morse es una forma particularmente sencilla de comprender la homología de variedades suaves . Se define utilizando una elección genérica de función Morse y métrica de Riemann . El teorema básico es que la homología resultante es una invariante de la variedad (es decir, independiente de la función y la métrica) e isomorfa a la homología singular de la variedad; esto implica que los números Morse y Betti singular concuerdan y proporciona una prueba inmediata de las desigualdades de Morse. Un análogo de dimensión infinita de la homología Morse en geometría simpléctica se conoce como homología de Floer .

Teoría de Morse-Bott

La noción de función Morse se puede generalizar para considerar funciones que tienen variedades no degeneradas de puntos críticos. ALa función Morse-Bott es una función suave en una variedad cuyo conjunto crítico es una subvariedad cerrada y cuya hessiana no es degenerada en la dirección normal. (De manera equivalente, el núcleo de la variedad crítica de Hesse en un punto crítico es igual al espacio tangente a la subvariedad crítica). Una función Morse es el caso especial en el que las variedades críticas son de dimensión cero (por lo que la variedad de Hesse en los puntos críticos no es degenerada en cada dirección, es decir, no tiene núcleo).

Lo más natural es pensar que el índice es un par

$${\displaystyle \left(i_{-},i_{+}\right),}$$

${\displaystyle i_{-}}$ ${\displaystyle i_{+}}$ ${\displaystyle i_{-}}$ ${\displaystyle i_{-}}$ ${\displaystyle i_{+}.}$

Las funciones Morse-Bott son útiles porque es difícil trabajar con funciones Morse genéricas; las funciones que se pueden visualizar y con las que se pueden calcular fácilmente suelen tener simetrías. A menudo conducen a variedades críticas de dimensiones positivas. Raoul Bott utilizó la teoría de Morse-Bott en su prueba original del teorema de periodicidad de Bott .

Las funciones redondas son ejemplos de funciones Morse-Bott, donde los conjuntos críticos son (uniones disjuntas de) círculos.

La homología Morse también se puede formular para funciones Morse-Bott; "El diferencial en la homología Morse-Bott se calcula mediante una secuencia espectral ". Frederic Bourgeois esbozó un enfoque en el curso de su trabajo sobre una versión Morse-Bott de la teoría de campos simpléctica, pero este trabajo nunca se publicó debido a importantes dificultades analíticas.

Ver también

• Teoría mín-máx de Almgren-Pitts
• Teoría de Morse digital  : adaptación digital de la teoría de Morse continuo para datos de volumen escalarPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Teoría de Morse discreta
• conjunto jacobi
• Lagrangiano Grassmanniano  : el espacio de subespacios lagrangianos de un espacio vectorial simpléctico fijoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Categoría de Lusternik-Schnirelmann  : invariante de homotopía de espacios con valores enteros; el tamaño de la cubierta mínima abierta que consta de conjuntos contraíblesPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Sistema Morse-Smale
• Teorema del paso de montaña  : teorema matemático sobre una condición suficiente para la existencia de un punto de sillaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Lema de Sard  - Teorema en análisis matemáticoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teoría de Morse estratificada

Referencias

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Otras lecturas

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• Bott, Raoul (1982). "Conferencias sobre la teoría Morse, antiguas y nuevas". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . (NS). 7 (2): 331–358. doi : 10.1090/s0273-0979-1982-15038-8 .
• Cayley, Arturo (1859). "Sobre curvas de nivel y pendientes" (PDF) . La Revista Filosófica . 18 (120): 264–268.
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• Hirsch, M. (1994). Topología diferencial (2ª ed.). Saltador.
• Kosinski, Antoni A. (19 de octubre de 2007). Colectores diferenciales . Libro de Dover sobre Matemáticas (Reimpresión de la edición de 1993). Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-46244-8. OCLC  853621933.
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• Maxwell, James Secretario (1870). "En colinas y valles" (PDF) . La Revista Filosófica . 40 (269): 421–427.
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