Teorema de la esfera de Reeb

On when a manifold that admits a singular foliation is homeomorphic to the sphere

En matemáticas , el teorema de la esfera de Reeb , que lleva el nombre de Georges Reeb , establece que

Una variedad conectada orientada cerrada M ⁿ que admite una foliación singular que tiene solo centros es homeomorfa a la esfera S ⁿ y la foliación tiene exactamente dos singularidades. 

foliación morse

Una singularidad de una foliación F es de tipo Morse si en su pequeña vecindad todas las hojas de la foliación son conjuntos de niveles de una función Morse , siendo la singularidad un punto crítico de la función. La singularidad es un centro si es un extremo local de la función; de lo contrario, la singularidad es una silla de montar .

El número de centros cy el número de sillas , específicamente , está estrechamente relacionado con la topología múltiple. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle c-s}$

Denotamos el índice de una singularidad , donde k es el índice del punto crítico correspondiente de una función Morse. En particular, un centro tiene índice 0, el índice de una silla es al menos 1. ${\displaystyle \operatorname {ind} p=\min(k,n-k)}$ ${\displaystyle p}$

Una foliación Morse F en una variedad M es una codimensión singular orientada transversalmente una foliación de clase con singularidades aisladas tales que: ${\displaystyle C^{2}}$

• cada singularidad de F es de tipo Morse,
• cada hoja singular L contiene una singularidad única  p ; además, si entonces no está conectado. ${\displaystyle \operatorname {ind} p=1}$ ${\displaystyle L\setminus p}$

Teorema de la esfera de Reeb

Este es el caso , el caso sin monturas. ${\displaystyle c>s=0}$

Teorema: ^[1] Sea una variedad conectada y orientada cerrada de dimensión . Supongamos que admite una codimensión orientada transversalmente, una foliación con un conjunto no vacío de singularidades, todos ellos centros. Entonces el conjunto singular de consta de dos puntos y es homeomorfo a la esfera ${\displaystyle M^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle M^{n}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ .

Es una consecuencia del teorema de estabilidad de Reeb .

Generalización

Un caso más general es ${\displaystyle c>s\geq 0.}$

En 1978, Edward Wagner generalizó el teorema de la esfera de Reeb a foliaciones Morse con sillas de montar. Demostró que el número de centros no puede ser demasiado en comparación con el número de sillas de montar, en particular . Entonces hay exactamente dos casos en los que : ${\displaystyle c\leq s+2}$ ${\displaystyle c>s}$

(1) ${\displaystyle c=s+2,}$

(2) ${\displaystyle c=s+1.}$

Obtuvo una descripción de la variedad admitiendo una foliación con singularidades que satisfacen (1).

Teorema: ^[2] Sea una variedad conexa compacta que admite una foliación Morse con centros y sillas de montar. Entonces . ${\displaystyle M^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle c\leq s+2}$ En caso , ${\displaystyle c=s+2}$

• ${\displaystyle M}$es homeomorfo a , ${\displaystyle S^{n}}$
• todos los sillines tienen índice 1,
• cada hoja regular es difeomorfa a . ${\displaystyle S^{n-1}}$

Finalmente, en 2008, César Camacho y Bruno Scardua consideraron el caso (2), . Esto es posible en un pequeño número de dimensiones bajas. ${\displaystyle c=s+1}$

Teorema: ^[3] Sea una variedad compacta conectada y una foliación Morse en . Si entonces ${\displaystyle M^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle s=c+1}$

• ${\displaystyle n=2,4,8}$o , ${\displaystyle 16}$
• ${\displaystyle M^{n}}$es una variedad de Eells-Kuiper .

Referencias

1. Reeb, Georges (1946), "Sur les points singulares d'une forme de Pfaff complètement intégrable ou d'une fonction numérique", CR Acad. Ciencia. París (en francés), 222 : 847–849, SEÑOR  0015613.
2. Wagner, Edward (1978), "Formes de Pfaff à singularités non dégénérées", Annales de l'Institut Fourier (en francés), 28 (3): xi, 165-176, MR  0511820.
3. Camacho, César; Scárdua, Bruno (2008), "Sobre foliaciones con singularidades Morse", Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 136 (11): 4065–4073, arXiv : math/0611395 , doi :10.1090/S0002-9939-08-09371-4 , señor  2425748.

enlaces externos

• Teorema de la esfera de Reeb en nLab