Manejar la descomposición

En matemáticas , una descomposición de una variedad m M es una unión

$${\displaystyle \emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M}$$

sedescomposición CWvariedades suavesiila teoría Morsela teoría de Cerf ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle M_{i-1}}$ ${\displaystyle i}$

Una bola de 3 con tres asas de 1 adjuntas.

Motivación

Considere la descomposición CW estándar de la n -esfera, con una celda cero y una sola n -celda. Desde el punto de vista de las variedades suaves, esta es una descomposición degenerada de la esfera, ya que no existe una forma natural de ver la estructura suave desde los ojos de esta descomposición; en particular, la estructura suave cerca de la celda 0 depende de la comportamiento del mapa característico en un barrio de . ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \chi :D^{n}\to S^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}\subset D^{n}}$

El problema con las descomposiciones CW es que los mapas adjuntos para las células no viven en el mundo de los mapas fluidos entre variedades. La idea germinal para corregir este defecto es el teorema de la vecindad tubular . Dado un punto p en una variedad M , su vecindad tubular cerrada es difeomorfa , por lo que hemos descompuesto M en la unión disjunta de y pegado a lo largo de su límite común. La cuestión vital aquí es que el mapa de pegado es un difeomorfismo. De manera similar, tome un arco incrustado suave en , su vecindad tubular es difeomorfa a . Esto nos permite escribir como la unión de tres variedades, pegadas a lo largo de partes de sus límites: 1) 2) y 3) el complemento de la vecindad tubular abierta del arco en . Observe que todos los mapas de pegado son mapas suaves, en particular cuando pegamos, la relación de equivalencia se genera mediante la incrustación de in , que es suave según el teorema de vecindad tubular . ${\displaystyle N_{p}}$ ${\displaystyle D^{m}}$ ${\displaystyle N_{p}}$ ${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$ ${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$ ${\displaystyle I\times D^{m-1}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle D^{m}}$ ${\displaystyle I\times D^{m-1}}$ ${\displaystyle M\setminus \operatorname {int} (N_{p})}$ ${\displaystyle I\times D^{m-1}}$ ${\displaystyle D^{m}}$ ${\displaystyle (\partial I)\times D^{m-1}}$ ${\displaystyle \partial D^{m}}$

Las descomposiciones de mangos son una invención de Stephen Smale . ^[1] En su formulación original, el proceso de unir un mango j a un colector m M supone que se tiene una incrustación suave de . Dejar . La variedad (en palabras, M unión a j -handle a lo largo de f ) se refiere a la unión disjunta de y con la identificación de con su imagen en , es decir, ${\displaystyle f:S^{j-1}\times D^{m-j}\to \partial M}$ ${\displaystyle H^{j}=D^{j}\times D^{m-j}}$ ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H^{j}}$ ${\displaystyle S^{j-1}\times D^{m-j}}$ ${\displaystyle \partial M}$

$${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim }$$

relación de equivalencia ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle (p,x)\sim f(p,x)}$ ${\displaystyle (p,x)\in S^{j-1}\times D^{m-j}\subset D^{j}\times D^{m-j}}$

Se dice que una variedad N se obtiene a partir de M uniendo j -identificadores si la unión de M con un número finito de j -identificadores es difeomorfa a N . La definición de descomposición de identificadores es entonces la misma que en la introducción. Por lo tanto, una variedad tiene una descomposición de manijas con solo 0 manijas si es difeomorfa a una unión disjunta de bolas. Un colector conectado que contiene manijas de solo dos tipos (es decir, manijas 0 y manijas j para algunas j fijas ) se llama cuerpo de manija .

Terminología

Al formar la unión M , un mango en J ${\displaystyle H^{j}}$

$${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}=\left(M\sqcup (D^{j}\times D^{m-j})\right)/\sim }$$

${\displaystyle f(S^{j-1}\times \{0\})\subset M}$se conoce como esfera de unión .

${\displaystyle f}$A veces se le llama estructura de la esfera adjunta, ya que trivializa su paquete normal .

${\displaystyle \{0\}^{j}\times S^{m-j-1}\subset D^{j}\times D^{m-j}=H^{j}}$es la esfera del cinturón del mango en . ${\displaystyle H^{j}}$ ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$

Una variedad obtenida uniendo g k -asas al disco es un (m,k) -cuerpo con manijas de género g . ${\displaystyle D^{m}}$

Presentaciones de cobordismo

Una presentación asa de un cobordismo consta de un cobordismo W donde y una unión ascendente ${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$

$${\displaystyle W_{-1}\subset W_{0}\subset W_{1}\subset \cdots \subset W_{m+1}=W}$$

MmWm+1i ${\displaystyle W_{-1}}$ ${\displaystyle M_{0}\times [0,1]}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle W_{i-1}}$

Punto de vista teórico de Morse

Dada una función Morse en una variedad compacta sin límites M , tal que los puntos críticos de f satisfacen , y siempre que ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{p_{1},\ldots ,p_{k}\}\subset M}$ ${\displaystyle f(p_{1})<f(p_{2})<\cdots <f(p_{k})}$

$${\displaystyle t_{0}<f(p_{1})<t_{1}<f(p_{2})<\cdots <t_{k-1}<f(p_{k})<t_{k},}$$

jIjíndice I(j)hessiano ${\displaystyle f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]}$ ${\displaystyle (f^{-1}(t_{j-1})\times [0,1])\cup H^{I(j)}}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle T_{p_{j}}M}$

Siempre que los índices satisfagan que esta es una descomposición de control de M , además, cada variedad tiene tales funciones Morse, por lo que tienen descomposiciones de control. De manera similar, dado un cobordismo con una función que es Morse en el interior y constante en el límite y que satisface la propiedad del índice creciente, existe una presentación de control inducida del cobordismo W. ${\displaystyle I(1)\leq I(2)\leq \cdots \leq I(k)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \partial W=M_{0}\cup M_{1}}$ ${\displaystyle f:W\to \mathbb {R} }$

Cuando f es una función Morse en M , - f también es una función Morse. La descomposición/presentación del identificador correspondiente se denomina descomposición dual .

Algunos teoremas y observaciones importantes.

• Una división de Heegaard de una variedad 3 cerrada y orientable es una descomposición de una variedad 3 en la unión de dos cuerpos de mango (3,1) a lo largo de su límite común, llamado superficie de división de Heegaard. Las divisiones de Heegaard surgen para variedades de 3 de varias maneras naturales: dada una descomposición de manija de una variedad de 3, la unión de las manijas de 0 y 1 es un cuerpo de manija (3,1) , y la unión de las manijas de 3 y 2 - handles también es un (3,1) -handlebody (desde el punto de vista de la descomposición dual), por lo tanto, una división de Heegaard. Si la variedad 3 tiene una triangulación T , hay una división de Heegaard inducida donde el primer cuerpo con mango (3,1) es una vecindad regular del esqueleto 1 y el otro cuerpo con mango (3,1) es una vecindad regular. del 1 -esqueleto dual . ${\displaystyle T^{1}}$
• Al colocar dos manijas en sucesión , es posible cambiar el orden de unión, siempre que , es decir, este colector sea difeomorfo a un colector de la forma para colocar mapas adecuados. ${\displaystyle (M\cup _{f}H^{i})\cup _{g}H^{j}}$ ${\displaystyle j\leq i}$ ${\displaystyle (M\cup H^{j})\cup H^{i}}$
• El límite de es difeomorfo y surge a lo largo de la esfera enmarcada . Este es el vínculo principal entre la cirugía , las manijas y las funciones Morse. ${\displaystyle M\cup _{f}H^{j}}$ ${\displaystyle \partial M}$ ${\displaystyle f}$
• Como consecuencia, una variedad m M es el límite de una variedad m+1 W si y solo si M se puede obtener mediante cirugía en una colección de enlaces enmarcados en . Por ejemplo, se sabe que cada variedad de 3 limita a una variedad de 4 (variedades de 3 orientadas de manera similar y de 3 giros orientadas y de 4 giros, respectivamente) debido al trabajo de René Thom sobre el cobordismo . Por lo tanto, cada 3 colectores se puede obtener mediante cirugía en enlaces enmarcados en las 3 esferas. En el caso orientado, es convencional reducir este vínculo enmarcado a una incrustación enmarcada de una unión disjunta de círculos. ${\displaystyle S^{m}}$ ${\displaystyle S^{m}}$
• El teorema del cobordismo H se demuestra simplificando las descomposiciones manuales de variedades suaves.

Ver también

• mango casson
• Teoría del cobordismo
• complejo CW
• Cuerpo del mango
• cálculo de kirby
• Descomposición múltiple

Referencias

Notas

1. S. Smale, "Sobre la estructura de las variedades" Amer. J. Matemáticas. , 84 (1962) págs. 387–399

Referencias generales

• A. Kosinski, Colectores diferenciales Vol 138 Matemáticas puras y aplicadas, Academic Press (1992).
• Robert Gompf y Andras Stipsicz, 4-Manifolds and Kirby Calculus , (1999) (Volumen 20 en Estudios de Posgrado en Matemáticas ), Sociedad Matemática Estadounidense, Providence, RI ISBN  0-8218-0994-6