Representación de un grupo de Lie

Representación grupal

En matemáticas y física teórica , una representación de un grupo de Lie es una acción lineal de un grupo de Lie sobre un espacio vectorial . De manera equivalente, una representación es un homomorfismo suave del grupo en el grupo de operadores invertibles sobre el espacio vectorial. Las representaciones juegan un papel importante en el estudio de la simetría continua . Se sabe mucho sobre tales representaciones, siendo una herramienta básica en su estudio el uso de las representaciones "infinitesimales" correspondientes de las álgebras de Lie .

Representaciones de dimensión finita

Representaciones

Una representación compleja de un grupo es una acción de un grupo sobre un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo . Una representación del grupo de Lie G , que actúa sobre un espacio vectorial n -dimensional V sobre es entonces un homomorfismo de grupo suave ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$,

donde es el grupo lineal general de todas las transformaciones lineales invertibles de bajo su composición. Dado que todos los espacios n -dimensionales son isomorfos, el grupo puede identificarse con el grupo de las matrices complejas invertibles, generalmente llamadas La suavidad de la función puede considerarse como un tecnicismo, en el sentido de que cualquier homomorfismo continuo será automáticamente suave. ^[1] ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} ).}$ ${\displaystyle \Pi }$

Alternativamente, podemos describir una representación de un grupo de Lie como una acción lineal de sobre un espacio vectorial . En términos de notación, escribiríamos en lugar de para la forma en que un elemento del grupo actúa sobre el vector . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g\cdot v}$ ${\displaystyle \Pi (g)v}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle v\in V}$

Un ejemplo típico en el que surgen representaciones en física sería el estudio de una ecuación diferencial parcial lineal con grupo de simetría . Aunque las soluciones individuales de la ecuación pueden no ser invariantes bajo la acción de , el espacio de todas las soluciones es invariante bajo la acción de . Por lo tanto, constituye una representación de . Véase el ejemplo de SO(3), que se analiza a continuación. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$

Definiciones básicas

Si el homomorfismo es inyectivo (es decir, un monomorfismo ), se dice que la representación es fiel . ${\displaystyle \Pi }$

Si se elige una base para el espacio vectorial complejo V , la representación se puede expresar como un homomorfismo en un grupo lineal general . Esto se conoce como representación matricial . Dos representaciones de G en espacios vectoriales V , W son equivalentes si tienen las mismas representaciones matriciales con respecto a algunas elecciones de bases para V y W. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}$

Dada una representación , decimos que un subespacio W de V es un subespacio invariante si para todos y . Se dice que la representación es irreducible si los únicos subespacios invariantes de V son el espacio cero y V mismo. Para ciertos tipos de grupos de Lie, a saber, los grupos compactos ^[2] y semisimples ^[3] , cada representación de dimensión finita se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles, una propiedad conocida como reducibilidad completa. Para tales grupos, un objetivo típico de la teoría de la representación es clasificar todas las representaciones irreducibles de dimensión finita del grupo dado, hasta el isomorfismo. (Véase la sección Clasificación a continuación). ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle \Pi (g)w\in W}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle w\in W}$

Una representación unitaria en un espacio de producto interno de dimensión finita se define de la misma manera, excepto que se requiere que se mapee en el grupo de operadores unitarios . Si G es un grupo de Lie compacto , cada representación de dimensión finita es equivalente a una unitaria. ^[2] ${\displaystyle \Pi }$

Representaciones del álgebra de Lie

Cada representación de un grupo de Lie G da lugar a una representación de su álgebra de Lie; esta correspondencia se analiza en detalle en las secciones siguientes. Véase la representación de las álgebras de Lie para la teoría del álgebra de Lie.

Un ejemplo: El grupo de rotación SO(3)

En mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo , juega un papel importante. En el caso tridimensional, si tiene simetría rotacional, entonces el espacio de soluciones de será invariante bajo la acción de SO(3). Por lo tanto, constituirá, para cada valor fijo de , una representación de SO(3), que es típicamente de dimensión finita. Al intentar resolver , resulta útil saber cómo son todas las posibles representaciones de dimensión finita de SO(3). La teoría de la representación de SO(3) juega un papel clave, por ejemplo, en el análisis matemático del átomo de hidrógeno . ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$ ${\displaystyle V_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$

Todos los libros de texto estándar sobre mecánica cuántica contienen un análisis que clasifica esencialmente las representaciones irreducibles de dimensión finita de SO(3), por medio de su álgebra de Lie. (Las relaciones de conmutación entre los operadores de momento angular son simplemente las relaciones para el álgebra de Lie de SO(3).) Una sutileza de este análisis es que las representaciones del grupo y el álgebra de Lie no están en correspondencia uno a uno, un punto que es crítico para entender la distinción entre espín entero y espín semientero . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Representaciones ordinarias

El grupo de rotación SO(3) es un grupo de Lie compacto y, por lo tanto, cada representación de dimensión finita de SO(3) se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles. El grupo SO(3) tiene una representación irreducible en cada dimensión impar. ^[4] Para cada entero no negativo , la representación irreducible de dimensión se puede realizar como el espacio de polinomios armónicos homogéneos en de grado . ^[5] Aquí, SO(3) actúa en de la manera habitual en que las rotaciones actúan en funciones en : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2k+1}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle (\Pi (R)f)(x)=f(R^{-1}x)\quad R\in \operatorname {SO} (3).}$

La restricción a la esfera unitaria de los elementos de son los armónicos esféricos de grado . ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle k}$

Si, por ejemplo , , entonces todos los polinomios que son homogéneos de grado uno son armónicos, y obtenemos un espacio tridimensional abarcado por los polinomios lineales , , y . Si , el espacio está abarcado por los polinomios , , , y . ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle xz}$ ${\displaystyle yz}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}-z^{2}}$

Como se señaló anteriormente, las representaciones de dimensión finita de SO(3) surgen naturalmente cuando se estudia la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo para un potencial radial, como el átomo de hidrógeno , como un reflejo de la simetría rotacional del problema. (Véase el papel que desempeñan los armónicos esféricos en el análisis matemático del hidrógeno ).

Representaciones proyectivas

Si observamos el álgebra de Lie de SO(3), esta álgebra de Lie es isomorfa al álgebra de Lie de SU(2). Según la teoría de representación de , existe entonces una representación irreducible de en cada dimensión. Sin embargo, las representaciones de dimensión par no corresponden a representaciones del grupo SO(3). ^[6] Sin embargo, estas representaciones denominadas de "espín fraccionario" sí corresponden a representaciones proyectivas de SO(3). Estas representaciones surgen en la mecánica cuántica de partículas con espín fraccionario, como un electrón. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Operaciones sobre representaciones

En esta sección, describimos tres operaciones básicas sobre representaciones. ^[7] Véanse también las construcciones correspondientes para representaciones de un álgebra de Lie.

Sumas directas

Si tenemos dos representaciones de un grupo , y , entonces la suma directa tendría como espacio vectorial subyacente, con la acción del grupo dada por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})}$ ${\displaystyle \Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})}$ ${\displaystyle V_{1}\oplus V_{2}}$

${\displaystyle \Pi (g)(v_{1},v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1},\Pi _{2}(g)v_{2}),}$

para todos , y . ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},}$ ${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$ ${\displaystyle g\in G}$

Ciertos tipos de grupos de Lie (en particular, los grupos de Lie compactos) tienen la propiedad de que toda representación de dimensión finita es isomorfa a una suma directa de representaciones irreducibles. ^[2] En tales casos, la clasificación de las representaciones se reduce a la clasificación de las representaciones irreducibles. Véase el teorema de Weyl sobre reducibilidad completa .

Productos tensoriales de representaciones

Si tenemos dos representaciones de un grupo , y , entonces el producto tensorial de las representaciones tendría el espacio vectorial del producto tensorial como el espacio vectorial subyacente, con la acción de determinada de manera única por el supuesto de que ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})}$ ${\displaystyle \Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \Pi (g)(v_{1}\otimes v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1})\otimes (\Pi _{2}(g)v_{2})}$

para todos y . Es decir, . ${\displaystyle v_{1}\in V_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$ ${\displaystyle \Pi (g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)}$

La representación del álgebra de Lie asociada a la representación del producto tensorial viene dada por la fórmula: ^[8] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \pi (X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X).}$

El producto tensorial de dos representaciones irreducibles no suele ser irreducible; un problema básico en la teoría de representaciones es entonces descomponer los productos tensoriales de representaciones irreducibles como una suma directa de subespacios irreducibles. Este problema se conoce con el nombre de "suma de momento angular" o " teoría de Clebsch-Gordan " en la literatura de física.

Representaciones duales

Sea un grupo de Lie y una representación de G. Sea el espacio dual, es decir, el espacio de los funcionales lineales en . Entonces podemos definir una representación mediante la fórmula ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow GL(V)}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Pi ^{*}:G\rightarrow GL(V^{*})}$

${\displaystyle \Pi ^{*}(g)=(\Pi (g^{-1}))^{\operatorname {tr} },}$

donde para cualquier operador , el operador de transposición se define como el operador de "composición con": ${\displaystyle A:V\rightarrow V}$ ${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle (A^{\operatorname {tr} }\phi )(v)=\phi (Av).}$

(Si trabajamos en una base, entonces es simplemente la matriz transpuesta habitual de ). La inversa en la definición de es necesaria para garantizar que es en realidad una representación de , a la luz de la identidad . ${\displaystyle A^{\operatorname {tr} }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Pi ^{*}}$ ${\displaystyle \Pi ^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname {tr} }}$

El dual de una representación irreducible es siempre irreducible, ^[9] pero puede o no ser isomorfo a la representación original. En el caso del grupo SU(3), por ejemplo, las representaciones irreducibles están etiquetadas por un par de números enteros no negativos. El dual de la representación asociada a es la representación asociada a . ^[10] ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle (m_{2},m_{1})}$

Representaciones del grupo de Lie frente a representaciones del álgebra de Lie

Descripción general

En muchos casos, resulta conveniente estudiar las representaciones de un grupo de Lie estudiando las representaciones del álgebra de Lie asociada. Sin embargo, en general, no todas las representaciones del álgebra de Lie provienen de una representación del grupo. Este hecho está, por ejemplo, detrás de la distinción entre espín entero y espín semientero en mecánica cuántica. Por otro lado, si G es un grupo simplemente conexo , entonces un teorema ^[11] dice que, de hecho, obtenemos una correspondencia biunívoca entre el grupo y las representaciones del álgebra de Lie.

Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie y supongamos que tenemos una representación de . La correspondencia de Lie puede emplearse para obtener representaciones de grupo del componente conexo de G . En términos generales, esto se efectúa tomando la matriz exponencial de las matrices de la representación del álgebra de Lie. Surge una sutileza si G no es simplemente conexo . Esto puede dar como resultado representaciones proyectivas o, en el lenguaje de la física, representaciones multivaluadas de G . En realidad, estas son representaciones del grupo de recubrimiento universal de G . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Estos resultados se explicarán con más detalle a continuación.

La correspondencia de Lie da resultados solo para el componente conectado de los grupos, y por lo tanto los otros componentes del grupo completo se tratan por separado dando representantes para matrices que representan estos componentes, uno para cada componente. Estos forman (representantes de) el grupo de homotopía cero de G . Por ejemplo, en el caso del grupo de Lorentz de cuatro componentes , los representantes de la inversión espacial y la inversión temporal deben introducirse a mano . Se extraerán más ilustraciones de la teoría de representación del grupo de Lorentz a continuación.

El mapeo exponencial

Sophus Lie , el creador de la teoría de Lie . La teoría de variedades no se había descubierto en la época de Lie, por lo que trabajó localmente con subconjuntos de la estructura que hoy se llamaría grupo local . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Si es un grupo de Lie con álgebra de Lie , entonces tenemos la función exponencial de a , escrita como ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle X\mapsto e^{X},\quad X\in {\mathfrak {g}}.}$

Si es un grupo de Lie de matrices, la expresión se puede calcular mediante la serie de potencias habitual para la exponencial. En cualquier grupo de Lie, existen vecindades de la identidad en y del origen en con la propiedad de que cada en se puede escribir de forma única como con . Es decir, la función exponencial tiene una inversa local . En la mayoría de los grupos, esto es solo local; es decir, la función exponencial no suele ser ni uno a uno ni sobre. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e^{X}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g=e^{X}}$ ${\displaystyle X\in V}$

Representaciones del álgebra de Lie a partir de representaciones de grupos

Siempre es posible pasar de una representación de un grupo de Lie G a una representación de su álgebra de Lie Si Π : G → GL( V ) es una representación de grupo para algún espacio vectorial V , entonces su empuje hacia delante (diferencial) en la identidad, o función de Lie , es una representación del álgebra de Lie. Se calcula explícitamente utilizando ^[12] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\text{End}}V}$

Una propiedad básica que relaciona e involucra el mapa exponencial: ^[12] ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Pi (e^{X})=e^{\pi (X)}.}$

La cuestión que queremos investigar es si toda representación de surge de esta manera a partir de representaciones del grupo . Como veremos, este es el caso cuando está simplemente conexo. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Representaciones grupales a partir de representaciones del álgebra de Lie

El resultado principal de esta sección es el siguiente: ^[13]

Teorema : Si es simplemente conexo, entonces cada representación del álgebra de Lie proviene de una representación de sí misma. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$

De esto deducimos fácilmente lo siguiente:

Corolario : Si es conexo pero no simplemente conexo, toda representación de proviene de una representación de , la cobertura universal de . Si es irreducible, entonces desciende a una representación proyectiva de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$

Una representación proyectiva es aquella en la que cada uno se define solo hasta la multiplicación por una constante. En física cuántica, es natural permitir representaciones proyectivas además de las ordinarias, porque los estados realmente se definen solo hasta una constante. (Es decir, si es un vector en el espacio cuántico de Hilbert, entonces representa el mismo estado físico para cualquier constante ). Toda representación proyectiva de dimensión finita de un grupo de Lie conexo proviene de una representación ordinaria de la cubierta universal de . ^[14] Por el contrario, como discutiremos más adelante, toda representación ordinaria irreducible de desciende a una representación proyectiva de . En la literatura de física, las representaciones proyectivas a menudo se describen como representaciones multivaluadas (es decir, cada una no tiene un solo valor sino toda una familia de valores). Este fenómeno es importante para el estudio del espín fraccionario en mecánica cuántica. ${\displaystyle \Pi (g),\,g\in G,}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle c\psi }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi (g)}$

Aquí V es un espacio vectorial de dimensión finita, GL( V ) es el conjunto de todas las transformaciones lineales invertibles en V y es su álgebra de Lie. Las aplicaciones π y Π son álgebras de Lie y representaciones de grupo respectivamente, y exp es la aplicación exponencial. El diagrama conmuta solo hasta un signo si Π es proyectivo. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

Ahora esbozamos la prueba de los resultados principales anteriores. Supongamos que es una representación de en un espacio vectorial V . Si va a haber una representación de grupo de Lie asociada , debe satisfacer la relación exponencial de la subsección anterior. Ahora, a la luz de la invertibilidad local de la exponencial, podemos definir una función a partir de un entorno de la identidad en mediante esta relación: ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \Pi (e^{X})=e^{\pi (X)},\quad g=e^{X}\in U.}$

Una pregunta clave es entonces la siguiente: ¿Es este mapa definido localmente un "homomorfismo local"? (Esta pregunta se aplicaría incluso en el caso especial donde la aplicación exponencial es globalmente biunívoca y sobreyectiva; en ese caso, sería un mapa definido globalmente, pero no es obvio por qué sería un homomorfismo). La respuesta a esta pregunta es sí: es un homomorfismo local, y esto se puede establecer utilizando la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff . ^[15] ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi }$

Si es conexo, entonces cada elemento de es al menos un producto de exponenciales de elementos de . Por lo tanto, podemos definir tentativamente de manera global de la siguiente manera. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Pi }$

Obsérvese, sin embargo, que la representación de un elemento de grupo dado como producto de exponenciales está muy lejos de ser única, por lo que está muy lejos de ser claro que esté realmente bien definido. ${\displaystyle \Pi }$

Para abordar la cuestión de si está bien definido, conectamos cada elemento del grupo a la identidad usando un camino continuo. Entonces es posible definir a lo largo del camino y demostrar que el valor de no cambia bajo la deformación continua del camino con puntos finales fijos. Si está simplemente conectado, cualquier camino que comience en la identidad y termine en puede deformarse continuamente en cualquier otro camino similar, lo que demuestra que es completamente independiente de la elección del camino. Dado que la definición inicial de cerca de la identidad era un homomorfismo local, no es difícil demostrar que la función definida globalmente también es un homomorfismo que satisface (G2) . ^[16] ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \Pi (g)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Pi (g)}$ ${\displaystyle \Pi }$

Si no es simplemente conexo, podemos aplicar el procedimiento anterior a la cobertura universal de . Sea la función de cobertura. Si sucediera que el núcleo de contiene al núcleo de , entonces desciende a una representación del grupo original . Incluso si este no es el caso, observe que el núcleo de es un subgrupo normal discreto de , que por lo tanto está en el centro de . Por lo tanto, si es irreducible, el lema de Schur implica que el núcleo de actuará por múltiplos escalares de la identidad. Por lo tanto, desciende a una representación proyectiva de , es decir, una que está definida solo módulo múltiplos escalares de la identidad. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p:{\tilde {G}}\rightarrow G}$ ${\displaystyle \Pi :{\tilde {G}}\rightarrow \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$

En la vista geométrica se ofrece una visión gráfica de cómo el grupo de recubrimiento universal contiene todas esas clases de homotopía y una definición técnica del mismo (como conjunto y como grupo) .

Por ejemplo, cuando esto se especializa en el SO(3, 1) ⁺ doblemente conexo , el grupo de recubrimiento universal es , y si su representación correspondiente es fiel decide si Π es proyectivo . ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

Clasificación en el caso compacto

Si G es un grupo de Lie compacto conexo , sus representaciones de dimensión finita se pueden descomponer como sumas directas de representaciones irreducibles . ^[17] Los irreducibles se clasifican mediante un " teorema del mayor peso ". Damos una breve descripción de esta teoría aquí; para más detalles, consulte los artículos sobre teoría de representación de un grupo de Lie compacto conexo y la teoría paralela que clasifica las representaciones de álgebras de Lie semisimples .

Sea T un toro maximal en G . Por el lema de Schur , las representaciones irreducibles de T son unidimensionales. Estas representaciones se pueden clasificar fácilmente y se etiquetan mediante ciertos "elementos analíticamente integrales" o "pesos". Si es una representación irreducible de G , la restricción de a T normalmente no será irreducible, pero se descompondrá como una suma directa de representaciones irreducibles de T , etiquetadas mediante los pesos asociados. (El mismo peso puede aparecer más de una vez). Para un fijo , se puede identificar uno de los pesos como "más alto" y las representaciones se clasifican entonces según este peso más alto. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Un aspecto importante de la teoría de la representación es la teoría asociada de caracteres . Aquí, para una representación de G , el carácter es la función ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \chi _{G}:G\rightarrow \mathbb {C} }$

dado por

${\displaystyle \chi _{G}(g)=\operatorname {trace} (\Sigma (g)).}$

Dos representaciones con el mismo carácter resultan ser isomorfas. Además, la fórmula de Weyl para el carácter proporciona una fórmula notable para el carácter de una representación en términos de su peso máximo. Esta fórmula no sólo proporciona mucha información útil sobre la representación, sino que también desempeña un papel crucial en la demostración del teorema del peso máximo.

Representaciones unitarias en espacios de Hilbert

Sea V un espacio de Hilbert complejo, que puede ser de dimensión infinita, y sea el grupo de operadores unitarios en V . Una representación unitaria de un grupo de Lie G en V es un homomorfismo de grupo con la propiedad de que para cada fijo , la función ${\displaystyle U(V)}$ ${\displaystyle \Pi :G\rightarrow U(V)}$ ${\displaystyle v\in V}$

${\displaystyle g\mapsto \Pi (g)v}$

es una función continua de G en V.

Representaciones unitarias de dimensión finita

Si el espacio de Hilbert V es de dimensión finita, existe una representación asociada del álgebra de Lie de . Si es conexo, entonces la representación de es unitaria si y solo si es antiadjunta para cada . ^[18] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi (X)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

Si es compacto , entonces cada representación de en un espacio vectorial de dimensión finita V es "unitarizable", lo que significa que es posible elegir un producto interno en V de modo que cada uno sea unitario. ^[19] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi (g),\,g\in G}$

Representaciones unitarias de dimensión infinita

Si se permite que el espacio de Hilbert V sea de dimensión infinita, el estudio de representaciones unitarias implica una serie de características interesantes que no están presentes en el caso de dimensión finita. Por ejemplo, la construcción de una representación apropiada del álgebra de Lie se vuelve técnicamente desafiante. Un entorno en el que la representación del álgebra de Lie se entiende bien es el de los grupos de Lie semisimples (o reductivos), donde la representación del álgebra de Lie asociada forma un módulo (g,K) . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Los ejemplos de representaciones unitarias surgen en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos, pero también en el análisis de Fourier , como se muestra en el siguiente ejemplo. Sea , y sea el espacio complejo de Hilbert V . Definimos la representación por ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} \rightarrow U(L^{2}(\mathbb {R} ))}$

${\displaystyle [\psi (a)(f)](x)=f(x-a).}$

A continuación se presentan algunos ejemplos importantes en los que se han analizado representaciones unitarias de un grupo de Lie.

• El teorema de Stone-von Neumann puede entenderse como una clasificación de las representaciones unitarias irreducibles del grupo de Heisenberg .
• La clasificación de Wigner para las representaciones del grupo de Poincaré juega un papel conceptual importante en la teoría cuántica de campos al mostrar cómo la masa y el espín de las partículas pueden entenderse en términos de teoría de grupos.
• La teoría de representación de SL(2,R) fue elaborada por V. Bargmann y sirve como prototipo para el estudio de representaciones unitarias de grupos de Lie semisimples no compactos.

Representaciones proyectivas

En física cuántica, a menudo nos interesan las representaciones unitarias proyectivas de un grupo de Lie . La razón de este interés es que los estados de un sistema cuántico se representan mediante vectores en un espacio de Hilbert , pero con el entendimiento de que dos estados que difieren en una constante son en realidad el mismo estado físico. Las simetrías del espacio de Hilbert se describen entonces mediante operadores unitarios, pero un operador unitario que es un múltiplo de la identidad no cambia el estado físico del sistema. Por lo tanto, no nos interesan las representaciones unitarias ordinarias, es decir, los homomorfismos de en el grupo unitario , sino más bien las representaciones unitarias proyectivas, es decir, los homomorfismos de en el grupo unitario proyectivo . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U(\mathbf {H} )}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle PU(\mathbf {H} ):=U(\mathbf {H} )/\{e^{i\theta }I\}.}$

En otras palabras, para una representación proyectiva, construimos una familia de operadores unitarios , donde se entiende que el cambio por una constante de valor absoluto 1 se considera como "el mismo" operador. Los operadores deben entonces satisfacer la propiedad de homomorfismo hasta una constante : ${\displaystyle \rho (g),\,\,g\in G}$ ${\displaystyle \rho (g)}$ ${\displaystyle \rho (g)}$

${\displaystyle \rho (g)\rho (h)=e^{i\theta _{g,h}}\rho (gh).}$

Ya hemos discutido las representaciones unitarias proyectivas irreducibles del grupo de rotación SO(3) anteriormente; considerar las representaciones proyectivas permite el espín fraccionario además del espín entero.

El teorema de Bargmann establece que para ciertos tipos de grupos de Lie , las representaciones unitarias proyectivas irreducibles de están en correspondencia biunívoca con las representaciones unitarias ordinarias de la cubierta universal de . Ejemplos importantes en los que se aplica el teorema de Bargmann son SO(3) (como se acaba de mencionar) y el grupo de Poincaré . El último caso es importante para la clasificación de Wigner de las representaciones proyectivas del grupo de Poincaré, con aplicaciones a la teoría cuántica de campos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Un ejemplo en el que no se aplica el teorema de Bargmann es el grupo . El conjunto de traslaciones en posición y momento en forma una representación unitaria proyectiva de pero no provienen de una representación ordinaria de la cobertura universal de —que es simplemente ella misma. En este caso, para obtener una representación ordinaria, hay que pasar al grupo de Heisenberg , que es una extensión central unidimensional de . (Véase la discusión aquí .) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

El caso conmutativo

Si es un grupo de Lie conmutativo , entonces toda representación unitaria irreducible de en espacios vectoriales complejos es unidimensional. (Esta afirmación se desprende del lema de Schur y se mantiene incluso si no se supone de antemano que las representaciones sean de dimensión finita). Por lo tanto, las representaciones unitarias irreducibles de son simplemente homomorfismos continuos de en el grupo del círculo unitario, U(1). Por ejemplo, si , las representaciones unitarias irreducibles tienen la forma ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\mathbb {R} }$

${\displaystyle \Pi (x)=[e^{iax}]}$,

para algún número real . ${\displaystyle a}$

Véase también la dualidad de Pontryagin para este caso.

Véase también

• Teoría de la representación de grupos compactos conexos
• Representación del álgebra de Lie
• Representación proyectiva
• Teoría de la representación de SU(2)
• Teoría de la representación del grupo de Lorentz
• Teoría de la representación de las álgebras de Hopf
• Representación adjunta de un grupo de Lie
• Lista de temas del grupo Lie
• Simetría en mecánica cuántica
• Matriz D de Wigner

Notas

1. Hall 2015 Corolario 3.51
2. Hall 2015 Teorema 4.28
3. Hall 2015 Sección 10.3
4. Sala 2015 Sección 4.7
5. Hall 2013 Sección 17.6
6. Propuesta 4.35 del Salón 2015
7. Hall 2015, Sección 4.3
8. Hall 2015, Proposición 4.18
9. Propuesta 4.22 del Salón 2015
10. Hall 2015 Capítulo 6, Ejercicio 3. Véase también Capítulo 10, Ejercicio 10
11. Hall 2015 Teorema 5.6
12. Hall 2015, Teorema 3.28
13. Hall 2015, Teorema 5.6
14. Hall 2013, Sección 16.7.3
15. Hall 2015, Proposición 5.9
16. Hall 2015, Teorema 5.10
17. Hall 2015 Teoremas 4.28
18. Propuesta 4.8 del Salón 2015
19. Hall 2015 prueba de la Proposición 4.28

Referencias

• Fulton, W. ; Harris, J. (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97495-8.Señor 1153249  .
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158.
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• Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de Lie más allá de una introducción, Progress in Mathematics, vol. 140 (2.ª ed.), Boston: Birkhäuser.
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