Curvatura de Ricci

2-tensor obtenido como una contracción de la curvatura de Riemann 4-tensor en una variedad de Riemann

En geometría diferencial , el tensor de curvatura de Ricci , llamado así por Gregorio Ricci-Curbastro , es un objeto geométrico que se determina mediante la elección de una métrica riemanniana o pseudo-riemanniana en una variedad . Puede considerarse, en términos generales, como una medida del grado en que la geometría de un tensor métrico dado difiere localmente de la del espacio euclidiano ordinario o del espacio pseudo-euclidiano .

El tensor de Ricci se puede caracterizar por la medición de cómo se deforma una forma a medida que uno se mueve a lo largo de geodésicas en el espacio. En la relatividad general , que implica el contexto pseudo-riemanniano, esto se refleja en la presencia del tensor de Ricci en la ecuación de Raychaudhuri . En parte por esta razón, las ecuaciones de campo de Einstein proponen que el espacio-tiempo se puede describir mediante una métrica pseudo-riemanniana, con una relación sorprendentemente simple entre el tensor de Ricci y el contenido de materia del universo.

Al igual que el tensor métrico, el tensor de Ricci asigna a cada espacio tangente de la variedad una forma bilineal simétrica (Besse 1987, p. 43). ^[1] En términos generales, se podría establecer una analogía entre el papel de la curvatura de Ricci en la geometría de Riemann y el de la curvatura de Laplacia en el análisis de funciones; en esta analogía, el tensor de curvatura de Riemann , del cual la curvatura de Ricci es un subproducto natural, correspondería a la matriz completa de derivadas segundas de una función. Sin embargo, hay otras formas de establecer la misma analogía.

En la topología tridimensional , el tensor de Ricci contiene toda la información que, en dimensiones superiores, está codificada por el más complicado tensor de curvatura de Riemann . En parte, esta simplicidad permite la aplicación de muchas herramientas geométricas y analíticas, lo que llevó a la solución de la conjetura de Poincaré a través del trabajo de Richard S. Hamilton y Grigori Perelman .

En geometría diferencial, los límites inferiores del tensor de Ricci en una variedad de Riemann permiten extraer información geométrica y topológica global por comparación (cf. teorema de comparación ) con la geometría de una forma de espacio de curvatura constante . Esto se debe a que los límites inferiores del tensor de Ricci se pueden utilizar con éxito para estudiar la función de longitud en la geometría de Riemann, como se demostró por primera vez en 1941 a través del teorema de Myers .

Una fuente común del tensor de Ricci es que surge siempre que se conmuta la derivada covariante con el laplaciano tensorial. Esto, por ejemplo, explica su presencia en la fórmula de Bochner , que se utiliza de forma ubicua en la geometría de Riemann. Por ejemplo, esta fórmula explica por qué las estimaciones de gradiente debidas a Shing-Tung Yau (y sus desarrollos, como las desigualdades de Cheng-Yau y Li-Yau) casi siempre dependen de un límite inferior para la curvatura de Ricci.

En 2007, John Lott , Karl-Theodor Sturm y Cedric Villani demostraron decisivamente que los límites inferiores de la curvatura de Ricci se pueden entender completamente en términos de la estructura espacial métrica de una variedad de Riemann, junto con su forma de volumen. ^[2] Esto estableció un vínculo profundo entre la curvatura de Ricci y la geometría de Wasserstein y el transporte óptimo , que actualmente es objeto de mucha investigación. ^{[ cita requerida ]}

Definición

Supóngase que es una variedad riemanniana o pseudoriemanniana -dimensional , equipada con su conexión de Levi-Civita . La curvatura de Riemann de es una función que toma campos vectoriales suaves , , y , y devuelve el campo vectorial en campos vectoriales . Como es un campo tensorial, para cada punto , da lugar a una función (multilineal): Defina para cada punto la función mediante ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ $${\displaystyle R(X,Y)Z:=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p\in M}$ $${\displaystyle \operatorname {R} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M.}$$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z):=\operatorname {tr} {\big (}X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z{\big )}.}$$

Es decir, habiendo fijado y , entonces para cualquier base ortonormal del espacio vectorial , se tiene ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

$${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}(Y,Z)=\sum _{i=1}\langle \operatorname {R} _{p}(v_{i},Y)Z,v_{i}\rangle .}$$

Es un ejercicio estándar de álgebra (multi)lineal verificar que esta definición no depende de la elección de la base . ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$

En notación de índice abstracto ,

$${\displaystyle \mathrm {Ric} _{ab}=\mathrm {R} ^{c}{}_{bca}=\mathrm {R} ^{c}{}_{acb}.}$$

Convenciones de signos. Nótese que algunas fuentes definen como lo que aquí se llamaría , entonces definirían como. Aunque las convenciones de signos difieren en el tensor de Riemann, no difieren en el tensor de Ricci. ${\displaystyle R(X,Y)Z}$ ${\displaystyle -R(X,Y)Z;}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}}$ ${\displaystyle -\operatorname {tr} (X\mapsto \operatorname {R} _{p}(X,Y)Z).}$

Definición mediante coordenadas locales en una variedad suave

Sea una variedad riemanniana o pseudoriemanniana suave . Dado un diagrama suave , entonces se tienen funciones y para cada una de las cuales satisfacen ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle g_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g^{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}g^{ik}(x)g_{kj}(x)=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}}$$

para todos . Esto último muestra que, expresado como matrices, . Las funciones se definen evaluando en campos de vectores de coordenadas, mientras que las funciones se definen de modo que, como una función con valor matricial, proporcionen una inversa a la función con valor matricial . ${\displaystyle x\in \varphi (U)}$ ${\displaystyle g^{ij}(x)=(g^{-1})_{ij}(x)}$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{ij}}$ ${\displaystyle x\mapsto g_{ij}(x)}$

Ahora defina, para cada , , , , y entre 1 y , las funciones ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ab}^{c}&:={\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{n}\left({\frac {\partial g_{bd}}{\partial x^{a}}}+{\frac {\partial g_{ad}}{\partial x^{b}}}-{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{d}}}\right)g^{cd}\\R_{ij}&:=\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ij}^{a}}{\partial x^{a}}}-\sum _{a=1}^{n}{\frac {\partial \Gamma _{ai}^{a}}{\partial x^{j}}}+\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{n}\left(\Gamma _{ab}^{a}\Gamma _{ij}^{b}-\Gamma _{ib}^{a}\Gamma _{aj}^{b}\right)\end{aligned}}}$$

como mapas ${\displaystyle \varphi :U\rightarrow \mathbb {R} }$

Ahora sean y dos gráficos suaves con . Sean las funciones calculadas como se indicó anteriormente a través del gráfico y sean las funciones calculadas como se indicó anteriormente a través del gráfico . Luego, se puede verificar mediante un cálculo con la regla de la cadena y la regla del producto que ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle \left(V,\psi \right)}$ ${\displaystyle U\cap V\neq \emptyset }$ ${\displaystyle R_{ij}:\varphi (U)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle r_{ij}:\psi (V)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \left(V,\psi \right)}$

$${\displaystyle R_{ij}(x)=\sum _{k,l=1}^{n}r_{kl}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}(x)\right)D_{i}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{k}D_{j}{\Big |}_{x}\left(\psi \circ \varphi ^{-1}\right)^{l}.}$$

donde es la primera derivada a lo largo de la dirección de . Esto muestra que la siguiente definición no depende de la elección de . Para cualquier , defina una función bilineal mediante ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$ ${\displaystyle p\in U}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{p}:T_{p}M\times T_{p}M\rightarrow \mathbb {R} }$

$${\displaystyle (X,Y)\in T_{p}M\times T_{p}M\mapsto \operatorname {Ric} _{p}(X,Y)=\sum _{i,j=1}^{n}R_{ij}(\varphi (x))X^{i}(p)Y^{j}(p),}$$

donde y son los componentes de los vectores tangentes en en y relativos a los campos de vectores de coordenadas de . ${\displaystyle X^{1},\ldots ,X^{n}}$ ${\displaystyle Y^{1},\ldots ,Y^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(U,\varphi \right)}$

Es común abreviar la presentación formal anterior en el siguiente estilo:

Sea una variedad suave y sea g una métrica riemanniana o pseudo-riemanniana. En coordenadas suaves locales, defina los símbolos de Christoffel ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{ij}^{k}&:={\frac {1}{2}}g^{kl}\left(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij}\right)\\R_{jk}&:=\partial _{i}\Gamma _{jk}^{i}-\partial _{j}\Gamma _{ki}^{i}+\Gamma _{ip}^{i}\Gamma _{jk}^{p}-\Gamma _{jp}^{i}\Gamma _{ik}^{p}.\end{aligned}}}$$

Se puede comprobar directamente que

$${\displaystyle R_{jk}={\widetilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}},}$$

de modo que se defina un campo tensorial (0,2) en . En particular, si y son campos vectoriales en , entonces, en relación con cualquier coordenada suave, se tiene ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}R_{jk}X^{j}Y^{k}&=\left({\widetilde {R}}_{ab}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}\right)\left({\widetilde {X}}^{c}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\widetilde {Y}}^{d}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{a}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial x^{j}}{\partial {\widetilde {x}}^{c}}}\right)\left({\frac {\partial {\widetilde {x}}^{b}}{\partial x^{k}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\widetilde {x}}^{d}}}\right)\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{c}{\widetilde {Y}}^{d}\delta _{c}^{a}\delta _{d}^{b}\\&={\widetilde {R}}_{ab}{\widetilde {X}}^{a}{\widetilde {Y}}^{b}.\end{aligned}}}$$

La línea final incluye la demostración de que la función bilineal Ric está bien definida, lo que es mucho más fácil de escribir con la notación informal.

Comparación de las definiciones

Las dos definiciones anteriores son idénticas. Las fórmulas que definen y en el enfoque de coordenadas tienen un paralelo exacto en las fórmulas que definen la conexión de Levi-Civita y la curvatura de Riemann a través de la conexión de Levi-Civita. Podría decirse que las definiciones que utilizan directamente coordenadas locales son preferibles, ya que la "propiedad crucial" del tensor de Riemann mencionada anteriormente requiere ser Hausdorff para ser válida. Por el contrario, el enfoque de coordenadas locales solo requiere un atlas liso. También es algo más fácil conectar la filosofía de "invariancia" subyacente al enfoque local con los métodos de construcción de objetos geométricos más exóticos, como los campos de espinores . ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle M}$

La fórmula complicada que se define en la sección introductoria es la misma que la que se muestra en la sección siguiente. La única diferencia es que los términos se han agrupado de manera que sea fácil ver que ${\displaystyle R_{ij}}$ ${\displaystyle R_{ij}=R_{ji}.}$

Propiedades

Como se puede ver a partir de las simetrías del tensor de curvatura de Riemann, el tensor de Ricci de una variedad riemanniana es simétrico , en el sentido de que

$${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\operatorname {Ric} (Y,X)}$$

a pesar de ${\displaystyle X,Y\in T_{p}M.}$

De este modo, se deduce algebraicamente y linealmente que el tensor de Ricci está completamente determinado conociendo la cantidad para todos los vectores de longitud unitaria. Esta función sobre el conjunto de vectores tangentes unitarios se suele denominar también curvatura de Ricci , ya que conocerla equivale a conocer el tensor de curvatura de Ricci. ${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,X)}$ ${\displaystyle X}$

La curvatura de Ricci está determinada por las curvaturas seccionales de una variedad de Riemann, pero generalmente contiene menos información. De hecho, si es un vector de longitud unitaria en una variedad de Riemann, entonces es precisamente multiplicado por el valor promedio de la curvatura seccional, tomada sobre todos los 2-planos que contienen . Existe una familia dimensional de tales 2-planos, y por lo tanto solo en las dimensiones 2 y 3 el tensor de Ricci determina el tensor de curvatura completo. Una excepción notable es cuando la variedad se da a priori como una hipersuperficie del espacio euclidiano . La segunda forma fundamental , que determina la curvatura completa a través de la ecuación de Gauss-Codazzi , está determinada por el tensor de Ricci y las direcciones principales de la hipersuperficie son también las direcciones propias del tensor de Ricci. El tensor fue introducido por Ricci por esta razón. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle (n-2)}$

Como se puede ver en la segunda identidad de Bianchi, uno tiene

$${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}dR,}$$

donde es la curvatura escalar , definida en coordenadas locales como Esto a menudo se denomina segunda identidad de Bianchi contraída. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g^{ij}R_{ij}.}$

Significado geométrico directo

Cerca de cualquier punto de una variedad de Riemann , se pueden definir coordenadas locales preferidas, llamadas coordenadas normales geodésicas . Estas están adaptadas a la métrica de modo que las geodésicas a través de corresponden a líneas rectas que pasan por el origen, de tal manera que la distancia geodésica desde corresponde a la distancia euclidiana desde el origen. En estas coordenadas, el tensor métrico se aproxima bien a la métrica euclidiana, en el sentido preciso de que ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}+O\left(|x|^{2}\right).}$$

De hecho, al tomar la expansión de Taylor de la métrica aplicada a un campo de Jacobi a lo largo de una geodésica radial en el sistema de coordenadas normal, se tiene $${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}-{\frac {1}{3}}R_{ikjl}x^{k}x^{l}+O\left(|x|^{3}\right).}$$

En estas coordenadas, el elemento de volumen métrico tiene entonces la siguiente expansión en p :

$${\displaystyle d\mu _{g}=\left[1-{\frac {1}{6}}R_{jk}x^{j}x^{k}+O\left(|x|^{3}\right)\right]d\mu _{\text{Euclidean}},}$$

que se obtiene ampliando la raíz cuadrada del determinante de la métrica.

Por lo tanto, si la curvatura de Ricci es positiva en la dirección de un vector , la región cónica barrida por una familia de segmentos geodésicos estrechamente enfocados de longitud que emanan de , con velocidad inicial dentro de un pequeño cono alrededor de , tendrá un volumen menor que la región cónica correspondiente en el espacio euclidiano, al menos siempre que sea suficientemente pequeña. De manera similar, si la curvatura de Ricci es negativa en la dirección de un vector dado , dicha región cónica en la variedad tendrá en cambio un volumen mayor que el que tendría en el espacio euclidiano. ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \xi }$

La curvatura de Ricci es esencialmente un promedio de curvaturas en los planos que incluyen . Por lo tanto, si un cono emitido con una sección transversal inicialmente circular (o esférica) se distorsiona en una elipse ( elipsoide ), es posible que la distorsión de volumen desaparezca si las distorsiones a lo largo de los ejes principales se contrarrestan entre sí. La curvatura de Ricci desaparecería entonces a lo largo de . En aplicaciones físicas, la presencia de una curvatura seccional que no desaparece no indica necesariamente la presencia de ninguna masa localmente; si una sección transversal inicialmente circular de un cono de líneas de mundo luego se vuelve elíptica, sin cambiar su volumen, entonces esto se debe a efectos de marea de una masa en alguna otra ubicación. ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$

Aplicaciones

La curvatura de Ricci juega un papel importante en la relatividad general , donde es el término clave en las ecuaciones de campo de Einstein .

La curvatura de Ricci también aparece en la ecuación de flujo de Ricci , introducida por primera vez por Richard S. Hamilton en 1982, donde ciertas familias de un parámetro de métricas de Riemann se destacan como soluciones de una ecuación diferencial parcial definida geométricamente. En coordenadas locales armónicas, el tensor de Ricci se puede expresar como (Chow & Knopf 2004, Lema 3.32). ^[3] donde son los componentes del tensor métrico y es el operador de Laplace-Beltrami . Este hecho motiva la introducción de la ecuación de flujo de Ricci como una extensión natural de la ecuación de calor para la métrica. Dado que el calor tiende a propagarse a través de un sólido hasta que el cuerpo alcanza un estado de equilibrio de temperatura constante, si se da una variedad, se puede esperar que el flujo de Ricci produzca una métrica de Riemann de "equilibrio" que sea Einstein o de curvatura constante. Sin embargo, no se puede lograr una imagen de "convergencia" tan clara ya que muchas variedades no pueden soportar tales métricas. Un estudio detallado de la naturaleza de las soluciones del flujo de Ricci, debido principalmente a Hamilton y Grigori Perelman , muestra que los tipos de "singularidades" que ocurren a lo largo de un flujo de Ricci, correspondientes a la falla de convergencia, codifican información profunda sobre la topología tridimensional. La culminación de este trabajo fue una prueba de la conjetura de geometrización propuesta por primera vez por William Thurston en la década de 1970, que puede considerarse como una clasificación de 3-variedades compactas. $${\displaystyle R_{ij}=-{\frac {1}{2}}\Delta \left(g_{ij}\right)+{\text{lower-order terms}},}$$ ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \Delta }$

En una variedad de Kähler , la curvatura de Ricci determina la primera clase de Chern de la variedad (torsión modulada). Sin embargo, la curvatura de Ricci no tiene una interpretación topológica análoga en una variedad genérica de Riemann.

Geometría y topología global

A continuación se presenta una breve lista de resultados globales relativos a variedades con curvatura de Ricci positiva; véase también los teoremas clásicos de la geometría de Riemann . En resumen, la curvatura de Ricci positiva de una variedad de Riemann tiene fuertes consecuencias topológicas, mientras que (para una dimensión de al menos 3), la curvatura de Ricci negativa no tiene implicaciones topológicas. (Se dice que la curvatura de Ricci es positiva si la función de curvatura de Ricci es positiva en el conjunto de vectores tangentes distintos de cero ). También se conocen algunos resultados para variedades pseudo-riemannianas. ${\displaystyle \operatorname {Ric} (\xi ,\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$

1. El teorema de Myers (1941) establece que si la curvatura de Ricci está acotada desde abajo en una n -variedad de Riemann completa por , entonces la variedad tiene diámetro . Mediante un argumento de espacio de recubrimiento, se deduce que cualquier variedad compacta de curvatura de Ricci positiva debe tener un grupo fundamental finito . Cheng (1975) demostró que, en este contexto, la igualdad en la desigualdad del diámetro ocurre solo si la variedad es isométrica a una esfera de curvatura constante . ${\displaystyle (n-1)k>0}$ ${\displaystyle \leq \pi /{\sqrt {k}}}$ ${\displaystyle k}$
2. La desigualdad de Bishop-Gromov establece que si una variedad de Riemann de dimensión completa tiene una curvatura de Ricci no negativa, entonces el volumen de una esfera geodésica es menor o igual que el volumen de una esfera geodésica del mismo radio en el espacio euclidiano. Además, si denota el volumen de la esfera con centro y radio en la variedad y denota el volumen de la esfera de radio en el espacio euclidiano , entonces la función no es creciente. Esto se puede generalizar a cualquier límite inferior de la curvatura de Ricci (no solo a la no negatividad), y es el punto clave en la prueba del teorema de compacidad de Gromov . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v_{p}(R)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle V(R)=c_{n}R^{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v_{p}(R)/V(R)}$
3. El teorema de desdoblamiento de Cheeger-Gromoll establece que si una variedad de Riemann completa con contiene una línea , es decir, una geodésica tal que para todo , entonces es isométrica a un espacio producto . En consecuencia, una variedad completa de curvatura de Ricci positiva puede tener como máximo un extremo topológico. El teorema también es cierto bajo algunas hipótesis adicionales para variedades de Lorentz completas (de signatura métrica ) con tensor de Ricci no negativo (Galloway 2000). ${\displaystyle \left(M,g\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} \geq 0}$ ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to M}$ ${\displaystyle d(\gamma (u),\gamma (v))=\left|u-v\right|}$ ${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times L}$ ${\displaystyle \left(+--\ldots \right)}$
4. El primer teorema de convergencia de Hamilton para el flujo de Ricci tiene como corolario que las únicas 3-variedades compactas que tienen métricas riemannianas de curvatura de Ricci positiva son los cocientes de la 3-esfera por subgrupos discretos de SO(4) que actúan de manera propiamente discontinua. Más tarde, Hamilton amplió este teorema para permitir la curvatura de Ricci no negativa. En particular, la única posibilidad simplemente conexa es la propia 3-esfera.

Estos resultados, en particular los de Myers y Hamilton, muestran que la curvatura de Ricci positiva tiene fuertes consecuencias topológicas. Por el contrario, excluyendo el caso de las superficies, ahora se sabe que la curvatura de Ricci negativa no tiene implicaciones topológicas; Lohkamp (1994) ha demostrado que cualquier variedad de dimensión mayor que dos admite una métrica riemanniana completa de curvatura de Ricci negativa. En el caso de variedades bidimensionales, la negatividad de la curvatura de Ricci es sinónimo de negatividad de la curvatura gaussiana, que tiene implicaciones topológicas muy claras . Hay muy pocas variedades bidimensionales que no admitan métricas riemannianas de curvatura gaussiana negativa.

Comportamiento bajo reescalamiento conforme

Si se cambia la métrica multiplicándola por un factor conforme , el tensor de Ricci de la nueva métrica conformemente relacionada viene dado (Besse 1987, p. 59) por ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle e^{2f}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2f}g}$

$${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Ric} }}=\operatorname {Ric} +(2-n)\left[\nabla df-df\otimes df\right]+\left[\Delta f-(n-2)\|df\|^{2}\right]g,}$$

donde es el Laplaciano de Hodge (espectro positivo), es decir, el opuesto de la traza habitual del Hessiano. ${\displaystyle \Delta =*d*d}$

En particular, dado un punto en una variedad de Riemann, siempre es posible encontrar métricas conformes a la métrica dada para las cuales el tensor de Ricci se anula en . Sin embargo, tenga en cuenta que esto es solo una afirmación puntual; por lo general, es imposible hacer que la curvatura de Ricci se anule de manera idéntica en toda la variedad mediante un reescalado conforme. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle p}$

Para variedades bidimensionales, la fórmula anterior muestra que si es una función armónica , entonces el escalamiento conforme no cambia el tensor de Ricci (aunque todavía cambia su traza con respecto a la métrica a menos que . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\mapsto e^{2f}g}$ ${\displaystyle f=0}$

Tensor de Ricci sin trazas

En geometría riemanniana y geometría pseudo-riemanniana , el tensor de Ricci libre de trazas (también llamado tensor de Ricci sin trazas ) de una variedad riemanniana o pseudo-riemanniana es el tensor definido por ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left(M,g\right)}$

$${\displaystyle Z=\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg,}$$

donde y denotan la curvatura de Ricci y la curvatura escalar de . El nombre de este objeto refleja el hecho de que su traza desaparece automáticamente: Sin embargo, es un tensor bastante importante ya que refleja una "descomposición ortogonal" del tensor de Ricci. ${\displaystyle \operatorname {Ric} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}Z\equiv g^{ab}Z_{ab}=0.}$

La descomposición ortogonal del tensor de Ricci

La siguiente propiedad, no tan trivial, es

$${\displaystyle \operatorname {Ric} =Z+{\frac {1}{n}}Rg.}$$

Es menos obvio de inmediato que los dos términos del lado derecho son ortogonales entre sí:

$${\displaystyle \left\langle Z,{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}\equiv g^{ab}\left(R_{ab}-{\frac {1}{n}}Rg_{ab}\right)=0.}$$

Una identidad que está íntimamente relacionada con esto (pero que podría probarse directamente) es que

$${\displaystyle \left|\operatorname {Ric} \right|_{g}^{2}=|Z|_{g}^{2}+{\frac {1}{n}}R^{2}.}$$

El tensor de Ricci sin trazas y las métricas de Einstein

Si tomamos una divergencia y utilizamos la identidad de Bianchi contraída, vemos que implica . Por lo tanto, siempre que n ≥ 3 y esté conexo, la desaparición de implica que la curvatura escalar es constante. Entonces, podemos ver que las siguientes son equivalentes: ${\displaystyle Z=0}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}dR-{\frac {1}{n}}dR=0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Z}$

• ${\displaystyle Z=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}$para algún número ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \operatorname {Ric} ={\frac {1}{n}}Rg}$

En el contexto riemanniano, la descomposición ortogonal anterior muestra que también es equivalente a estas condiciones. En el contexto pseudoriemmanniano, por el contrario, la condición no implica necesariamente que lo máximo que se puede decir es que estas condiciones implican ${\displaystyle R^{2}=n|\operatorname {Ric} |^{2}}$ ${\displaystyle |Z|_{g}^{2}=0}$ ${\displaystyle Z=0,}$ ${\displaystyle R^{2}=n\left|\operatorname {Ric} \right|_{g}^{2}.}$

En particular, la desaparición del tensor de Ricci sin trazas caracteriza las variedades de Einstein , tal como se define por la condición para un número En la relatividad general , esta ecuación establece que es una solución de las ecuaciones de campo de vacío de Einstein con constante cosmológica . ${\displaystyle \operatorname {Ric} =\lambda g}$ ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle \left(M,g\right)}$

Colectores Kähler

En una variedad de Kähler , la curvatura de Ricci determina la forma de curvatura del fibrado lineal canónico (Moroianu 2007, Capítulo 12). El fibrado lineal canónico es la potencia exterior superior del fibrado de diferenciales de Kähler holomorfas : ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \kappa ={\textstyle \bigwedge }^{n}~\Omega _{X}.}$$

La conexión de Levi-Civita correspondiente a la métrica en da lugar a una conexión en . La curvatura de esta conexión es la 2-forma definida por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$

$${\displaystyle \rho (X,Y)\;{\stackrel {\text{def}}{=}}\;\operatorname {Ric} (JX,Y)}$$

donde es la función de estructura compleja en el fibrado tangente determinada por la estructura de la variedad de Kähler. La forma de Ricci es una 2-forma cerrada . Su clase de cohomología es, hasta un factor constante real, la primera clase de Chern del fibrado canónico, y es por lo tanto un invariante topológico de (para compacto ) en el sentido de que depende solo de la topología de y la clase de homotopía de la estructura compleja. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Por el contrario, la forma de Ricci determina el tensor de Ricci por

$${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,Y)=\rho (X,JY).}$$

En coordenadas holomórficas locales , la forma de Ricci viene dada por ${\displaystyle z^{\alpha }}$

$${\displaystyle \rho =-i\partial {\overline {\partial }}\log \det \left(g_{\alpha {\overline {\beta }}}\right)}$$

donde ∂ es el operador Dolbeault y

$${\displaystyle g_{\alpha {\overline {\beta }}}=g\left({\frac {\partial }{\partial z^{\alpha }}},{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}^{\beta }}}\right).}$$

Si el tensor de Ricci se anula, entonces el fibrado canónico es plano, por lo que el grupo de estructura puede reducirse localmente a un subgrupo del grupo lineal especial . Sin embargo, las variedades de Kähler ya poseen holonomía en , y por lo tanto la holonomía (restringida) de una variedad de Kähler Ricci-plana está contenida en . Por el contrario, si la holonomía (restringida) de una variedad de Riemann bidimensional está contenida en , entonces la variedad es una variedad de Kähler Ricci-plana (Kobayashi y Nomizu 1996, IX, §4). ${\displaystyle SL(n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle U(n)}$ ${\displaystyle SU(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle SU(n)}$

Generalización a conexiones afines

El tensor de Ricci también puede generalizarse a conexiones afines arbitrarias , donde es un invariante que juega un papel especialmente importante en el estudio de la geometría proyectiva (geometría asociada a geodésicas no parametrizadas) (Nomizu y Sasaki 1994). Si denota una conexión afín, entonces el tensor de curvatura es el tensor (1,3) definido por ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z}$$

Para cualquier campo vectorial , el tensor de Ricci se define como la traza: ${\displaystyle X,Y,Z}$

$${\displaystyle \operatorname {ric} (X,Y)=\operatorname {tr} {\big (}Z\mapsto R(Z,X)Y{\big )}.}$$

En esta situación más general, el tensor de Ricci es simétrico si y sólo si existe localmente una forma de volumen paralela para la conexión.

Curvatura de Ricci discreta

Se han definido nociones de curvatura de Ricci en variedades discretas en grafos y redes, donde cuantifican las propiedades de divergencia local de las aristas. La curvatura de Ricci de Ollivier se define utilizando la teoría del transporte óptimo. ^[4] Una noción diferente (y anterior), la curvatura de Ricci de Forman, se basa en argumentos topológicos. ^[5]

Véase también

• Curvatura de las variedades de Riemann
• Curvatura escalar
• Cálculo de Ricci
• Descomposición de Ricci
• Colector plano Ricci
• Símbolos de Christoffel
• Introducción a las matemáticas de la relatividad general

Notas al pie

1. Aquí se supone que la variedad tiene su conexión única de Levi-Civita . Para una conexión afín general , el tensor de Ricci no necesita ser simétrico.
2. Lott, John; Villani, Cedric (23 de junio de 2006). "Curvatura de Ricci para espacios de medida métrica mediante transporte óptimo". arXiv : math/0412127 .
3. Chow, Bennett (2004). El flujo de Ricci: una introducción. Dan Knopf. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 0-8218-3515-7.OCLC 54692148  .
4. Ollivier, Yann (1 de febrero de 2009). "Curvatura de Ricci de cadenas de Markov en espacios métricos". Journal of Functional Analysis . 256 (3): 810–864. doi : 10.1016/j.jfa.2008.11.001 . ISSN  0022-1236. S2CID  14316364.
5. Forman (1 de febrero de 2003). "Método de Bochner para complejos celulares y curvatura de Ricci combinatoria". Geometría discreta y computacional . 29 (3): 323–374. doi : 10.1007/s00454-002-0743-x . ISSN  1432-0444. S2CID  9584267.

Referencias

• Besse, AL (1987), variedades de Einstein , Springer, ISBN 978-3-540-15279-8.
• Chow, Bennet y Knopf, Dan (2004), El flujo de Ricci: una introducción , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3515-7.
• Eisenhart, LP (1949), Geometría de Riemann , Princeton Univ. Press.
• Forman (2003), "Método de Bochner para complejos celulares y curvatura de Ricci combinatoria", Geometría discreta y computacional , 29 (3): 323–374. doi:10.1007/s00454-002-0743-x. ISSN 1432-0444
• Galloway, Gregory (2000), "Principios máximos para hipersuperficies nulas y teoremas de división nula", Annales de l'Institut Henri Poincaré A , 1 (3): 543–567, arXiv : math/9909158 , Bibcode :2000AnHP....1..543G, doi :10.1007/s000230050006, S2CID  9619157.
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), Fundamentos de geometría diferencial, Volumen 1 , Interscience.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial, vol. 2 , Wiley-Interscience , ISBN 978-0-471-15732-8.
• Lohkamp, ​​Joachim (1994), "Métricas de la curvatura negativa de Ricci", Anales de Matemáticas , Segunda serie, 140 (3), Anales de Matemáticas: 655–683, doi : 10.2307/2118620, ISSN  0003-486X, JSTOR  2118620, MR  1307899.
• Moroianu, Andrei (2007), Lecciones sobre geometría de Kähler , Textos para estudiantes de la London Mathematical Society, vol. 69, Cambridge University Press , arXiv : math/0402223 , doi :10.1017/CBO9780511618666, ISBN 978-0-521-68897-0, MR  2325093, S2CID  209824092
• Nomizu, Katsumi ; Sasaki, Takeshi (1994), Geometría diferencial afín , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3.
• Ollivier, Yann (2009), "Curvatura de Ricci de cadenas de Markov en espacios métricos", Journal of Functional Analysis 256 (3): 810–864. doi:10.1016/j.jfa.2008.11.001. ISSN 0022-1236
• Ricci, G. (1903-1904), "Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque", Atti R. Inst. Véneto , 63 (2): 1233–1239.
• LA Sidorov (2001) [1994], "Tensor de Ricci", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• LA Sidorov (2001) [1994], "Curvatura de Ricci", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Najman, Laurent y Romon, Pascal (2017): Enfoques modernos de la curvatura discreta, Springer (Cham), Apuntes de clase de matemáticas

Enlaces externos

• Z. Shen, C. Sormani "La topología de variedades abiertas con curvatura de Ricci no negativa" (una encuesta)
• G. Wei, "Variedades con un límite inferior de curvatura de Ricci" (una encuesta)